Bac 2022 (11 mai): QCM, limite, convexité, primitive

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les six questions sont indépendantes

La courbe représentative de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}$ admet pour asymptote la droite d'équation:
a.
b.
c.
d.
Soit la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x e^{x^2}$ .
La primitive de sur $\R$ qui vérifie est définie par :

a.   $F(x) = \dfrac{x^2}{2} e^{x^2}$
b.   $F(x) = \dfrac12 e^{x^2}$
c.   $F(x) = \lp1 + 2x^2\right) e^{x^2}$ ;
d.   $F(x) = \dfrac12e^{x^2} + \dfrac12$
On donne ci-contre la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de la fonction dérivée d'une fonction définie sur $\R$ .

$\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-5)(10,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-0.5,-5)(10,1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=11,Dy=11](0,0)(-0.5,-5)(10,1) \psecurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-0.3,-6)(-0.2,-5)(0,-4)(1,-1.2)(2,0)(3,0.45)(4,0.5)(5,0.45)(6,0.4)(10,0.1)(11,0.08) \uput[d](1,0){\footnotesize 1}\uput[d](2,0){\footnotesize 2}\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}\uput[d](0,1){\footnotesize 1} \uput[r](0.4,3.5){$\mathcal{C}_{f'}$} \end{pspicture*}$

On peut affirmer que la fonction est :
a.   concave sur $]0~;~+\infty[$
b.   convexe sur $]0~;~+\infty[$
c.   convexe sur [0 ; 2]
d.   convexe sur $[2~;~+\infty[$
Parmi les primitives de la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3e^{-x^2} + 2$ :

a. toutes sont croissantes sur $\R$
b. toutes sont décroissantes sur $\R$
c. certaines sont croissantes sur $\R$ et d'autres décroissantes sur $\R$
d. toutes sont croissantes sur $]-\infty~;~0]$ et décroissantes sur $[0~;~+\infty[$
La limite en $+\infty$ de la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1}$ est égale à :

a.   $\dfrac23$ ;
b.   $+ \infty$ ;
c.   $- \infty$
d.
L'équation $e^{2x} + e^x - 12 = 0$ admet dans $\R$ :

a.   trois solutions;
b.   deux solutions;
c.   une seule solution;
d.   aucune solution.

Correction

c.
On a

$\begin{array}{ll}f(x) &= \dfrac{-2x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}\\[1em] &=\dfrac{-2x^2\lp1-\frac3{2x}+\frac1{2x^2}\right)}{x^2\lp1+\frac1{x^2}\right)}\\[1em] &=-2\dfrac{1-\frac3{2x}+\frac1{2x^2}}{1+\frac1{x^2}} \enar$

d'où

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2$

et donc la droite d'équation est asymptote.
d.
On peut par exemple dériver chacune des propositions, seule la b. et la d. convienne.
Comme on veut de plus que , seule la réponse d. convient finalement.
c.
Une fonction est convexe lorsque sa dérivée est croissante (et donc dérivée seconde positive).
Ici on peut conjecturer que la fonction est convexe sur $]-\infty;3]$ environ, et donc en particulier sur .
a. Les primitives de vérifient $F'(x)=f(x)=3e^{-x^2} + 2$ . En particulier, comme $e^{-x^2}>0$ sur $\R$ , on a et donc est nécessairement strictement croissante sur $\R$ .
d. On a

$f(x) = \dfrac{2\ln x}{3x^2 + 1} =\dfrac{\ln(x)}{x^2}\tm\dfrac{2}{3+\frac1{x^2}}$

avec, par croissances comparées

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$

et donc

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
c.
On pose et alors l'équation se réécrit

$X^2+X-12=0$

c'est une équation du second degré de discriminant qui admet donc deux solutions réelles distinctes et .
On revient alors à l'équation de départ:
- $X_1=e^{x_1}=-4$ qui est impossible, car pour tout réel
- $X_2=e^{x_2}=3\iff x_2=\ln(3)$
L'équation admet donc une unique solution sur .

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Tags:QCM Limites de fonctions Convexité Primitive

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