Bac 2021 (sujet 0): Arbre pondéré, loi binomiale et python
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :
On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les évènements suivants :
- la formation avec conduite accompagnée ;
- la formation traditionnelle.
On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :
- 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
- 225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.
On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les évènements suivants :
- : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
- : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
- : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
- : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».
- Modéliser la situation par un arbre pondéré.
Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.
-
- Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
- Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à .
- La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée?
- On note la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite.
Ainsi, correspond à l’évènement .- Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .
- Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
- On choisit, successivement et de façon indépendante, personnes parmi les 300 du groupe étudié, où est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de personnes parmi les 300 personnes du groupe.
On admet que la probabilité de l’évènement est égale à .
- Dans le contexte de cette question, préciser un évènement dont la probabilité est égale à .
On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0;1[.
- Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil(0,9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
- Dans le contexte de cette question, préciser un évènement dont la probabilité est égale à .
On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0;1[.
Correction
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- On modélise la situation par un arbre pondéré.
-
- La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation est:
- La probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est soit, d'après la formule des probabilités totales,
- La personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation. La probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée est alors la probabilité conditionnelle:
- La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation est:
- On note la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s'est présentée à l'examen jusqu'à sa réussite.
- La loi de probabilité de la variable aléatoire est:
soit, en calculant les différentes probabilités:
Donc la loi de probabilité de la variable aléatoire est:
- L'espérance de cette variable aléatoire est:
Cela signifie que le nombre de passages pour réussir l'examen est en moyenne de .
- La loi de probabilité de la variable aléatoire est:
- On choisit, successivement et de façon indépendante, personnes parmi les 300 du groupe étudié, où est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de personnes parmi les 300 personnes du groupe.
On admet que la probabilité de l'évènement est égale à .- On cherche un évènement dont la probabilité est égale à
.
donc . Le nombre est donc la probabilité de l'événement " ou ", c'est-à-dire la probabilité qu'une personne prise au hasard réussisse l'examen à la première tentative ou à la deuxième.
La probabilité que personnes réussissent l'examen à la première ou à la deuxième tentative est de .
L'événement de probabilité est l'événement contraire du précédent, donc correspond à l'événement "au moins une personne n'a pas réussi l'examen à la première ou à la deuxième tentative", c'est-à-dire "au moins une personne a réussi l'examen à la troisième tentative''.
- La valeur renvoyée par seuil(0.9) est la première valeur de pour laquelle .
On résout cette inéquation:
La commande seuil(0.9) renvoie donc la valeur 13.
Il faut donc prendre personnes sur les 300 pour que la probabilité d'en avoir une qui a réussi l'examen à sa troisième tentative soit supérieure à .
- On cherche un évènement dont la probabilité est égale à
.
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