Source Latex: Exercices de mathématiques, Primirtives, équations différentielles
Terminale générale, spécialité mathématiques
Primirtives, équations différentielles
Exercices (non corrigés) de mathématiques: primitives et équations différentielles- Fichier
- Type: Exercices
- File type: Latex, tex (source)
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- Description
- Exercices (non corrigés) de mathématiques: primitives et équations différentielles
- Niveau
- Terminale générale, spécialité mathématiques
- Mots clé
- primitive, équation différentielle du 1er ordre, terminale générale, spécialité mathématiques, cours de mathématiques,
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[french]{babel} \selectlanguage{french} %\usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{pst-all} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Exercices de mathématiques: primitives, équations différentielles}, pdftitle={Primitives, équations différentielles}, pdfkeywords={Mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale, primitives, équations différentielles } } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = blue, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \vspace{.29em}{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \headheight=0cm \textheight=26.4cm \topmargin=-1.8cm \footskip=.8cm \textwidth=19cm \oddsidemargin=-1.5cm \parindent=0.2cm \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.3cm} \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \newlength{\lprops} \nwc{\bgprops}[1]{ \settowidth{\lprops}{Propriétés \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{Démonstration:} #1 \hfill$\square$ } %\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ - } %\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} %\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Primitives - \'Equations différentielles - Exercices} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage{lastpage} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}} \rfoot{\'Equations différentielles - Exercices\ - \thepage/\pageref{LastPage}} %\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-0.7cm} \ct{\Large \bf \TITLE} %\hfill{\bgmp{9em}Terminale générale\\spécialité maths\enmp} \vspace{.1em} \ct{\sc{Terminale générale, spécialité maths}} \vspace{-.2em} \bgex \bgen \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=5e^{2x}$. Montrer que $f$ est solution de l'équation $y'-2y=0$ d'inconnue $y$. \item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)-3x-\dfrac32$ est solution de l'équation $y'-2y=6x$. \enen \enex \vspace{-.2em} \bgex {\bf Accélération rectiligne d'un train} Si on note $x(t)$ la position à l'instant $t$ d'un objet qui se déplace en mouvement rectiligne, alors la vitesse instantannée au m\^eme instant $t$ est donnée par $v(t)=x'(t)$ et son accélération par $a(t)=v'(t)$, soit aussi $a(t)=x''(t)$. \medskip Juste après son départ, la vitesse d'un TGV passe de 61,2 km.h$^{-1}$, à l'instant $t=0$, à 244,8 km.h$^{-1}$ 150 secondes plus tard, avec une accélaration constante. \bgen \item Montrer que l'accélération du TGV durant ces 150 secondes est égale à 0,34 m.s$^{-1}$. \item Déterminer la vitesse $v(t)$ du TGV en fonction du temps $t$. \item Déterminer la position $x(t)$ du TGV en fonction du temps $t$. \item Quelle distance le TGV a-t-il parcourue en 150 secondes ? \enen \enex \bgex Déterminer des fonctions $f$ telles que: \\ a) $f'(x)=6x+2$ \qquad b) $f'(x)=x^2-3x+5$ \qquad b) $f'(x)=2e^{4x}$ \qquad c) $f'(x)=\dfrac1x$ \qquad d) $f'(x)=\dfrac5x+\dfrac2{x^2}$ \enex \bgex Soit $f$ une solution de l'équation différentielle $(E) : 3y'-6y=1$ qui vérifie de plus $f'(1)=2$. \bgen[a)] \item Déterminer $f(1)$. \item Montrer que $\dsp f:x\mapsto e^{2x-2}-\frac{1}{6}$ est solution de $(E)$. \enen \enex \bgex Déterminer une primitive des fonctions suivantes: a) $f(x)=3x^2+x-6$ \qquad b) $f(x)=x^4-4x^3-5x^2+\dfrac73x+2$ \qquad c) $f(x)=2x-4+\dfrac3{x^2}$ \qquad d) $f(x)=\dfrac1{x^2}$ e) $f(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ \qquad e) $f(x)=\dfrac{5x^2}{(x^3+1)^2}$ \qquad f) $f(x)=\dfrac1{2x+1}$ \qquad g) $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ \enex \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x^2+6x+4}{(x+1)^2}$. \bgen \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+1}$ est une primitive de $f$ sur $I$. \item La fonction $G$ définie sur $I$ par $G(x)=\dfrac{3x^2-x-5}{x+1}$ est-elle une autre primitive de $f$ sur $I$ ? \enen \enex \bgex Déterminer la primitive $F$ de $f:x\mapsto x^2-4x+2$ telle que $F(1)=0$. \enex \bgex Déterminer la primitive $G$ de $g:x\mapsto 12x^5-9x^2+6x-3$ telle que $G(0)=4$. \enex \bgex Déterminer la primitive $H$ de $\dsp h:x\mapsto \frac{4}{(2x+1)^2}$ telle que $\dsp H\lp\frac{1}{2}\rp=2$. \enex \bgex Résoudre l'équation $y'=3y$. \enex \bgex Résoudre l'équation différentielle $2y'+y=0$. \enex \bgex Rechercher la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $2y'+5y=0$, sachant que $f(0)=3$. Dresser le tableau de variation de $f$ et tracer l'allure de sa courbe. \enex \bgex $(E)$ est l'équation différentielle $2y'+y=1$. \bgen[a)] \item Résoudre $(E)$. \item Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(-1)=2$. \item Tracer la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal. \enen \enex \bgex Résoudre les équations différentielles: a) $\la\bgar{ll} y'=2y+3 \vspd\\ y(0)=1 \enar\right.$ \hspace{0.1cm} b) $\la\bgar{ll} 4y'=2y-3 \vspd\\ y(5)=-1 \enar\right.$ \hspace{0.1cm} c) $\la\bgar{ll} 3y'+4y-6=0 \vspd\\ y(-1)=0 \enar\right.$ \hspace{0.1cm} d) $\la\bgar{ll} 3u'=u+6 \vspd\\ u(0)=5 \enar\right.$ \hspace{0.1cm} e) $\la\bgar{ll} \dsp 5p=2p'-\frac{1}{4} \vspd\\ p(0)=1 \enar\right.$ \enex \bgex Soit $f$ la solution de l'équation différentielle $(E) : 3y'-6y=1$ telle que $f'(1)=2$. \bgen[a)] \item Déterminer $f(1)$. \item Déterminer la solution $f$. \enen \enex \bgex Soit $(E)$ l'équation différentielle $2y'=3y+6x+1$. \bgen \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f_p(x)=ax+b$ est solution de $(E)$. \item \'Ecrire et résoudre l'équation homogène associée à $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$. \enen \enex \bgex On considère l'équation différentielle $(E): y'+3y=3e^{-3x}(-6x+1)$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=e^{-3x}(-9x^2+3x+19)$. \bgen \item Dresser le tableau de variation de $g$. Préciser les limites. \item Montrer que la fonction $g$ est solution de $(E)$. \item Résoudre l'équation différentielle $(E_0) : y'+3y=0$. \item Résoudre alors $(E)$. \item Déterminer la fonction solution de $(E)$ qui prend la valeur $1$ en $\dsp\frac{1}{3}$. \enen \enex \bgex {\it (D'après Baccalauréat)} On considère l'équation différentielle $(E) : y'-2y=e^{2x}$. \bgen \item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x)=xe^{2x}$ est une solution de $(E)$. \item Résoudre l'équation différentielle $(E_0) : y'-2y=0$. \item En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$. \item Déterminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la valeur $1$ en $0$. \enen \enex \bgex On cherche à résoudre l'équation différentielle $(E) : y'=3y-5y^2$. \vspace{-.4em} \bgen \item Démontrer qu'une fonction $u$ définie sur $\R$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, la fonction $\dsp v=\frac{1}{u}$ est solution de $(E') : y'=-3y+5$. \item Résoudre $(E')$. \item En déduire les solutions de $(E)$. \item Déterminer la solution de $(E)$ qui prend la valeur $1$ en $0$. \enen \enex \bgex Deux cuves $A$ et $B$ sot séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm$^3$ d'un gaz dans la cuve $A$ à un instant $t=0$ alors que la cuve $B$ est laissée vide. Ce gaz se diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l'extérieur. \\ On appelle respectivement $A(t)$ et $B(t)$ le volume en cm$^3$ de ce gaz dans les cuves $A$ et $B$ à l'instant $t$ (exprimé en heure). On a donc $A(0)=10$ et $B(0)=0$. \\ On admet que les fonctions $A$ et $B$ sont définies et dérivables sur $[0;+\infty[$ et vérifient les équations différentielles $A'(t)=-5A(t)+2B(t)$ et $B'(t)=2A(t)-2B(t)$. \\[.4em] On définit de plus sur $[0;+\infty[$ deux fonctions $f$ et $g$ par $f(t)=A(t)+2B(t)$ et $g(t)=-2A(t)+B(t)$. \bgen[a)] \item Calculer $f(0)$ et $g(0)$. \item Déterminer, pour tout $t\geqslant0$, $f'(t)$ et $g'(t)$ et en déduire que $f$ et $g$ sont solutions de deux équations différentielles de la forme $y'=ay$. \item Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout $t\geqslant0$, $f(t)$ et $g(t)$. \\ En déduire $A(t)$ et $B(t)$. \enen %Déterminer graphiquement l'instant T pour lequel les deux cuves contiendront le meme volume de gaz \enex \label{LastPage} \end{document}
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