Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: primitives, équations différentielles},
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pdfkeywords={Mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale,
primitives, équations différentielles
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Primitives - \'Equations différentielles - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\rfoot{\'Equations différentielles - Exercices\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\vspace*{-0.7cm}
\ct{\Large \bf \TITLE}
%\hfill{\bgmp{9em}Terminale générale\\spécialité maths\enmp}
\vspace{.1em}
\ct{\sc{Terminale générale, spécialité maths}}
\vspace{-.2em}
\bgex
\bgen
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=5e^{2x}$.
Montrer que $f$ est solution de l'équation
$y'-2y=0$ d'inconnue $y$.
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=f(x)-3x-\dfrac32$
est solution de l'équation $y'-2y=6x$.
\enen
\enex
\vspace{-.2em}
\bgex {\bf Accélération rectiligne d'un train}
Si on note $x(t)$ la position à l'instant $t$ d'un objet qui se déplace en mouvement rectiligne, alors la vitesse instantannée au m\^eme instant $t$ est donnée par $v(t)=x'(t)$ et son accélération par $a(t)=v'(t)$, soit aussi $a(t)=x''(t)$.
\medskip
Juste après son départ, la vitesse d'un TGV passe de 61,2 km.h$^{-1}$, à l'instant $t=0$, à 244,8 km.h$^{-1}$ 150 secondes plus tard, avec une accélaration constante.
\bgen
\item Montrer que l'accélération du TGV durant ces 150 secondes est égale à 0,34 m.s$^{-1}$.
\item Déterminer la vitesse $v(t)$ du TGV en fonction du temps $t$.
\item Déterminer la position $x(t)$ du TGV en fonction du temps $t$.
\item Quelle distance le TGV a-t-il parcourue en 150 secondes ?
\enen
\enex
\bgex
Déterminer des fonctions $f$ telles que: \\
a) $f'(x)=6x+2$ \qquad
b) $f'(x)=x^2-3x+5$ \qquad
b) $f'(x)=2e^{4x}$ \qquad
c) $f'(x)=\dfrac1x$ \qquad
d) $f'(x)=\dfrac5x+\dfrac2{x^2}$
\enex
\bgex Soit $f$ une solution de l'équation différentielle
$(E) : 3y'-6y=1$ qui vérifie de plus $f'(1)=2$.
\bgen[a)]
\item Déterminer $f(1)$.
\item Montrer que $\dsp f:x\mapsto e^{2x-2}-\frac{1}{6}$ est
solution de $(E)$.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer une primitive des fonctions suivantes:
a) $f(x)=3x^2+x-6$
\qquad
b) $f(x)=x^4-4x^3-5x^2+\dfrac73x+2$
\qquad
c) $f(x)=2x-4+\dfrac3{x^2}$
\qquad
d) $f(x)=\dfrac1{x^2}$
e) $f(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$
\qquad
e) $f(x)=\dfrac{5x^2}{(x^3+1)^2}$
\qquad
f) $f(x)=\dfrac1{2x+1}$
\qquad
g) $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{3x^2+6x+4}{(x+1)^2}$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $I$ par
$F(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+1}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
\item La fonction $G$ définie sur $I$ par
$G(x)=\dfrac{3x^2-x-5}{x+1}$ est-elle une autre primitive de $f$ sur
$I$ ?
\enen
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $F$ de $f:x\mapsto x^2-4x+2$ telle que $F(1)=0$.
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $G$ de $g:x\mapsto 12x^5-9x^2+6x-3$ telle que $G(0)=4$.
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $H$ de $\dsp h:x\mapsto \frac{4}{(2x+1)^2}$
telle que $\dsp H\lp\frac{1}{2}\rp=2$.
\enex
\bgex
Résoudre l'équation $y'=3y$.
\enex
\bgex
Résoudre l'équation différentielle $2y'+y=0$.
\enex
\bgex
Rechercher la fonction $f$ solution de l'équation différentielle
$2y'+5y=0$, sachant que $f(0)=3$.
Dresser le tableau de variation de $f$ et tracer l'allure de sa courbe.
\enex
\bgex
$(E)$ est l'équation différentielle $2y'+y=1$.
\bgen[a)]
\item Résoudre $(E)$.
\item Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(-1)=2$.
\item Tracer la courbe représentant $f$ dans un repère
orthonormal.
\enen
\enex
\bgex Résoudre les équations différentielles:
a) $\la\bgar{ll} y'=2y+3 \vspd\\ y(0)=1 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
b) $\la\bgar{ll} 4y'=2y-3 \vspd\\ y(5)=-1 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
c) $\la\bgar{ll} 3y'+4y-6=0 \vspd\\ y(-1)=0 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
d) $\la\bgar{ll} 3u'=u+6 \vspd\\ u(0)=5 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
e) $\la\bgar{ll} \dsp 5p=2p'-\frac{1}{4} \vspd\\ p(0)=1 \enar\right.$
\enex
\bgex
Soit $f$ la solution de l'équation différentielle
$(E) : 3y'-6y=1$ telle que $f'(1)=2$.
\bgen[a)]
\item Déterminer $f(1)$.
\item Déterminer la solution $f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $(E)$ l'équation différentielle $2y'=3y+6x+1$.
\bgen
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que
$f_p(x)=ax+b$ est solution de $(E)$.
\item \'Ecrire et résoudre l'équation homogène associée à $(E)$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
\enen
\enex
\bgex
On considère l'équation différentielle $(E): y'+3y=3e^{-3x}(-6x+1)$.
On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par
$g(x)=e^{-3x}(-9x^2+3x+19)$.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $g$.
Préciser les limites.
\item Montrer que la fonction $g$ est solution de $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle
$(E_0) : y'+3y=0$.
\item Résoudre alors $(E)$.
\item Déterminer la fonction solution de $(E)$ qui prend la valeur
$1$ en $\dsp\frac{1}{3}$.
\enen
\enex
\bgex {\it (D'après Baccalauréat)}
On considère l'équation différentielle
$(E) : y'-2y=e^{2x}$.
\bgen
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par :
$u(x)=xe^{2x}$ est une solution de $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle
$(E_0) : y'-2y=0$.
\item En déduire toutes les solutions de l'équation $(E)$.
\item Déterminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la
valeur $1$ en $0$.
\enen
\enex
\bgex
On cherche à résoudre l'équation différentielle
$(E) : y'=3y-5y^2$.
\vspace{-.4em}
\bgen
\item Démontrer qu'une fonction $u$ définie sur $\R$ est solution
de $(E)$ si, et seulement si, la fonction $\dsp v=\frac{1}{u}$ est
solution de $(E') : y'=-3y+5$.
\item Résoudre $(E')$.
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\item Déterminer la solution de $(E)$ qui prend la valeur $1$ en $0$.
\enen
\enex
\bgex
Deux cuves $A$ et $B$ sot séparées par une membrane poreuse.
On injecte 10 cm$^3$ d'un gaz dans la cuve $A$ à un instant $t=0$
alors que la cuve $B$ est laissée vide.
Ce gaz se diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée
vers l'extérieur. \\
On appelle respectivement $A(t)$ et $B(t)$ le volume en cm$^3$ de ce gaz
dans les cuves $A$ et $B$ à l'instant $t$ (exprimé en heure).
On a donc $A(0)=10$ et $B(0)=0$. \\
On admet que les fonctions $A$ et $B$ sont définies et dérivables
sur $[0;+\infty[$ et vérifient les équations différentielles
$A'(t)=-5A(t)+2B(t)$
et $B'(t)=2A(t)-2B(t)$. \\[.4em]
On définit de plus sur $[0;+\infty[$ deux fonctions $f$ et $g$ par
$f(t)=A(t)+2B(t)$ et $g(t)=-2A(t)+B(t)$.
\bgen[a)]
\item Calculer $f(0)$ et $g(0)$.
\item Déterminer, pour tout $t\geqslant0$,
$f'(t)$ et $g'(t)$ et en déduire que $f$ et $g$ sont solutions
de deux équations différentielles de la forme $y'=ay$.
\item Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout $t\geqslant0$,
$f(t)$ et $g(t)$. \\
En déduire $A(t)$ et $B(t)$.
\enen
%Déterminer graphiquement l'instant T pour lequel les deux cuves contiendront le meme volume de gaz
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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