Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: loi binomiale},
pdftitle={Probabilités - Répétition d'expériences, loi binomiale},
pdfkeywords={Mathématiques, spécialité mathématiques en terminale générale,
probabilités, répétition d'expériences,
Bernoulli, schéma de Bernoulli, loi binomiale
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\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{1.5em}{1.3em}}
\makeatother
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=19.2cm
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\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
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\paragraph{Propriétés}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
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\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités - Conditionnement - Loi binomiale}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - Terminale générale, spé maths}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE\bf\bgmp{11.7cm}\TITLE\enmp}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale générale\\spécialité maths\enmp}
\vfill
\hfill\bgmp{17.5cm}\textit{
Les questions les plus importantes de la vie
ne sont pour la plupart que des problèmes de probabilité.\\[.3em]
Pierre Simon de Laplace
(1749 - 1827)
}\enmp
\vfill
\hspace*{1.2em}\bgmp{18cm}\renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize
\enmp
\vfill
\hfill\bgmp{11.3cm}\textit{
Toute connaissance dégénère en probabilité; \\
et cette probabilité est plus ou moins grande, \\
en fonction de notre expérience de la vérité
ou de la fausseté de notre compréhension, \\
et en fonction de la simplicité ou de la
complexité de la question.\\[.3em]
David Hume (1711-1776)
}
\enmp
\vfill
\hfill\bgmp{10cm}\textit{
%Notre cerveau a une fâcheuse tendance à penser \\
%que [...] si dans cette hypothèse les résultats sont peu
%probables, \\
%alors l'hypothèse a peu de chance d'être vraie.\\
%Ce qui est faux.\\[.3em]
%Christophe Michel (1974-)
Notre cerveau a une tendance naturelle à penser que
si, sous une hypothèse, des résultats sont peu probables
alors l'hypothèse elle-m\^eme est peu probable. \\
Ce raisonnement est faux.
}
\enmp
\vfill
\clearpage
\section{Rappels: arbres et probabilités conditionnelles}
\subsection{Probabilités conditionnelles}
\vspace{-1.5em}
\bgdef{
Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A)\not=0$.
La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ sachant $A$,
notée $P_A(B)$, est définie par
\[P_A(B)=\dfrac{P\lp A\cap B\rp}{P(A)}\]
}
\bgex
La probabilité qu'un jeune réussisse l'examen du permis de conduire
l'année de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit reçu au
baccalauréat cette même année est de 0,82.
De plus, la probabilité d'être à la fois reçu au baccalauréat et à
l'examen du permis de conduire la même année est de 0,56.
\bgen
\item Calculer la probabilité qu'un jeune soit reçu à au moins un
des deux examens.
\item En déduire la probabilité qu'il ne soit reçu à aucun des
deux examens.
\item Déterminer la probabilité qu'un jeune réussisse au baccalauréat
sachant qu'il a déjà eu son permis la même année.
\enen
\enex
\subsection{Arbre pondéré}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(0,-1.8)(5,1.8)
\psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$\scriptstyle P(A)$}
\psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.6){$\scriptstyle P_A(B)$}
\psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
\rput(2.8,0.4){$\scriptstyle P_A(\overline{B})$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
\rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P(\overline{A})$}
\psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$B$}
\rput(2.8,-.5){$\scriptstyle P_{\overline{A}}(B)$}
\psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C_1$}
\psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$C_2$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{13cm}
\bgen[{\bf Règle 1.}]
\item La somme des probabilités issues d'un n\oe ud est égale à 1.
\vspd
\item Sur chaque branche, on inscrit la probabilité conditionnelle:
probabilité de l'événement de droite sachant celui de gauche.
\vspd
\item Un chemin correspond à l'intersection des événements.
Sa probabilité est le produit des probabilités.
\item La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des
chemins qui mènent à cet événement.
\enen
\enmp
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
On considère une expérience aléatoire modélisée par l'arbre ci-contre.
\bgen
\item Compléter cet arbre.
\item Déterminer $P(A\cap B)$ et $P(B)$.
\item Déterminer $P_A(B)$ et $P_B(A)$.
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.8)
\psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
\rput(0.65,1){$0,6$}
\rput(0.6,-1.2){\dots}
\psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.9,2){\dots}
\psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
\rput(2.7,2.2){\dots}
\rput(2.7,.7){$0,7$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.9,-2){\dots}
\rput(2.7,-2.2){$0,9$}
\rput(2.7,-1){\dots}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré ci-contre.
On sait de plus que $P(B)=0,39$.
\bgen
\item Calculer la probabilité de l'événement $A\cap B$.
\item En déduire la probabilité de $B$ sachant $A$.
\item Déterminer la probabilité de $A$ sachant $B$.
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.8)
\psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
\rput(0.65,1){$0,1$}
\psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
\psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
\rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais.
\bgit
\item $80\,\%$ ont réussi le test.
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
1ère fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, $2\,\%$ le passaient pour la
1ère fois.
\enit
On considère les événements $R$:"l'élève a réussi au test",
et $F$:"l'élève a passé le test plusieurs fois".
\bgen
\item Traduire l'énoncé en termes de probabilité et dresser un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
le test pour la 1ère fois et l'ait réussi.
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
plusieurs fois le test.
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le
test.
Quelle est la probabilité qu'il ait réussi ?
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{14cm}
\bgex {\bf Formule de Bayes.}
\bgen
\item Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle.
Représenter la situation par un arbre et montrer la formule
$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\tm P(A)}{P(B)}$,
puis \ $P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\tm P(A)}
{P_A(B)\tm P(A)+P_{\overline{A}}(B)\tm P(\overline{A})}$.
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.65cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.)
\psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
\rput(0.65,1){\scriptsize$P(A)$}
\rput(0.6,-1.2){\scriptsize$P(\overline{A})$}
\psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
\psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
\rput(2.7,2.2){\scriptsize$P_A(B)$}
\rput(2.7,.7){\scriptsize$P_A(\overline{B})$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
\rput(2.7,-2.3){\scriptsize$P_{\overline{A}}(B)$}
\rput(2.7,-.9){\scriptsize$P_{\overline{A}}(B)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgex {\bf Applications de la formule de Bayes}
\bgen
\item On dispose de 100 pièces de monnaie.
Une pièce sur quatre est truquée.
Une pièce truquée indique Pile avec une probabilité de $\dfrac45$.
\noindent
On choisit au hasard une pièce parmi les 100, on la lance et on
obtient Pile.
Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une pièce truquée ?
\item Dans une population, une personne sur quatre triche.
Lorsqu'on fait tirer une carte d'un jeu de 52 cartes à un tricheur,
il
tire à tous les coups un as.
\noindent $\alpha)$ On demande à une personne au hasard de tirer
une carte, quelle est la probabilité qu'un as soit tiré ?
\noindent $\beta)$ Un as a été tiré.
Quelle est la probabilité que j'ai eu affaire à un tricheur ?
\item \textbf{Peur des coupures de courant ?}\\
Le système électrique dans un b\^atiment est quasi-certainement
endommagé lors d'un incendie;
plus précisément, il y a 99 chances sur 100 pour que le courant
soit coupé lors d'un incendie.
Hors incendie, les normes électriques permettent d'avoir des
systèmes assez fiables et la probabilité d'une coupure de courant
reste de l'ordre d'une chance sur 1000.
Enfin, statistiquement, un incendie se déclare tous les 3 ou 4 ans,
c'est-à-dire que, plus précisément, un incendie survient un jour
donné avec une probabilité de $10^{-3}$.
\medskip
Les lunières viennent de s'éteindre brusquement !
Quelle est la probabilité pour que se soit un incendie ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Test de dépistage}
\noindent
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie:
\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilité}: la probabilité qu'il soit positif
si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl spécificité}: la probabilité qu'il soit négatif
si la personne est indemne de la maladie (vrai~négatif).
\item sa valeur prédictive positive (ou valeur diagnostique): la probabilité que
la personne soit réellement malade si son test est~positif.
\item sa valeur prédictive négative: la probabilité que
la personne n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\enit\enmp\\[.3em]
Les deux premières sont des valeurs
caractérisant un test, du point de vue du concepteur (laboratoire). \\
Les valeurs prédictives sont quant à elles des données intéressantes
du point de vue de l'usager (patient). \\
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes:
\bgit
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
$0,98$ (sensiblité du test);
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
$0,99$ (spécificité du test).
\enit
On notera par la suite les événements
$M$:"l'individu est malade" et
$T$:"le test est positif".
\bgen
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de
la population.
\bgen[a)]
\item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité de l'événement $T$.
\item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
test.
\enen
\item Calculer de m\^eme les valeurs prédictives positives de ce test
pour une maladie qui toucherait 1\% de la population,
puis 0,1\% de la population.
\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$.
\bgen[a)]
\item Déterminer l'expression $G(f)$ de la valeur prédictive positive
en fonction de $f$.
\item Etudier la fonction $G$ et tracer l'allure de sa
courbe représentative.
\item Quel inconvénient majeur présente, dans une population, le
dépistage d'une maladie rare ?
d'une maladie dont on ne conna\^it pas (encore) l'étendue ?
\enen
\enen
\enex
\bgex %{\sl Type Bac}
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties
successives.
On admet que:
\bgit
\item la probabilité qu'il gagne la première partie est $0,1$;
\item s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est
égale à $0,8$;
\item s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est
égale à $0,6$.
\enit
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$G_n$ l'événement \og le joueur gagne la n-ième partie\fg\
et $p_n$ sa probabilité.
On a donc en particulier $p_1=0,1$.
\bgen
\item Montrer que $p_2=0,62$.
\item Le joueur a gagné la deuxième partie.
Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie
sur les trois premières parties.
\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ non nul,
$p_{n+1}=\dfrac15 p_n+\dfrac35$.
\item Conjecturer à l'aide de la calculatrice la limite de la suite
$(p_n)$.
\item Démontrer que, pour tout $n\geqslant 1$,
$p_n=\dfrac34-\dfrac{13}{4}\lp\dfrac15\rp^n$.
\item En déduire la limite de la suite $(p_n)$.
\item Déterminer la valeur du plus
petit entier $n$ à partir duquel on a
$\dfrac34-p_n<10^{-6}$.
\enen
\enex
\subsection{Indépendance}
\vspace{-1.2em}
\bgdef{
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque
$P_A(B)=P(B)$.
"Savoir que l'événement $A$ est arrivé ne change pas la
probabilité de l'événement~$B$".
}
\bigskip\noindent
\ul{Remarque:}
%\hspace*{5.4em}
\bgmp[t]{16cm}
\bgit
\item Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a aussi $P_B(A)=P(A)$.
\item Ne pas confondre indépendance et incompatibilité
{\sl ($A$ et $B$ sont incompatibles, ou disjoints, lorsque $A\cap B=\emptyset$)}
\enit
\enmp
\bgprop{
Les événements $A$ et $B$ sont indépendans si et seulement si
$P(A\cap B)=P(A)\tm P(B)$.
}
\bgex
Les événements $A$ et $B$ des exercices 2 et 3 sont-ils indépéndants ?
\enex
\clearpage
\section{Répétition d'expériences aléatoires: loi binomiale}
%\vspace{-1.2em}
\bgex
On dispose d'une pièce déséquilibrée: quand on la lance, la probabilité d'obtenir Pile est~$p$.
\bgen
\item On lance cette pièce 2 fois successivement.
\bgen[a)]
\item Représenter la situation par un arbre.
\item Combien de façons y-a-t'il d'obtenir exactement:
0 fois Pile ? \
1 fois Pile ? \
2 fois Pile ?
\item \'Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ égale au nombre de Pile obtenus sur 2 lancers.
\enen
\item Mêmes questions en lançant 3 fois successivement cette pièce:
combien de façons y-a-t'il d'obtenir exactement
0 fois Pile, 1 fois Pile, 2 fois Pile et 3 fois Pile ?
Donner la loi de probabilité correspondante.
\item Mêmes questions en lançant 4 fois successivement cette pièce.
\item Une pièce donne Pile avec une probabilité de 0,9.
On la lance 10 fois de suite.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 9 fois Pile.
\enen
\enex
\subsection{Coefficients binomiaux}
\vspace{-1em}
\bgdef{Le nombre de fa\c cons d'obtenir $k$ succès parmi $n$
répétitions s'appelle
\textbf{coefficient binomial}, noté
$\dsp\binom{n}{k}$, qui se lit
"$k$ parmi $n$".
Le \textbf{Triangle de Pascal} contient ces coefficients binomiaux:
\\[.5em]
\bgmp{7cm}
%\rput(2.2,-1.8){$+$}
%\psellipse(2.2,-1.78)(0.65,0.25)
%\pscircle(2.6,-2.3){0.2}
%\psline{->}(2.9,-1.85)(2.9,-2.25)
\begin{tabular}[t]{c|*6{p{0.41cm}}}
\psline(-0.3,0.32)(0.38,-0.18)
\rput(-0.2,0){\small $n$}
\rput(0.14,0.22){\small $k$}
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
0 & 1 &&&&&\\
1 & 1 & 1 &&&&\\
2 & 1 & 2 & 1 &&&\\
3 & 1 & 3 & 3 & 1 &&\\
4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
5 & \multicolumn{6}{c}{\dots \ \ \ \dots}
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{8cm}
\textbf{Relation de Pascal:}
\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\]
\enmp
}
\subsection{\'Epreuve et loi de Bernoulli}
\noindent
\bgmp{16cm}
\bgdef{Une \textbf{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement sucès $S$ et échec $E$, de probabilités $p$ et $q=1-p$. }
\enmp
\hspace{2em}
\bgmp{2cm}
\[\begin{pspicture}(0,-.7)(1.5,.7)
\psline(1,-.5)(0,0)(1,.5)
\rput(.5,.5){$p$}
\rput(.5,-.6){$q$}
\rput[l](1.2,.5){$S$}
\rput[l](1.2,-.5){$E$}
\end{pspicture}\]
\enmp
\noindent
\bgmp{14cm}
\bgdef{Une \textbf{variable aléatoire de Bernoulli} est à valeur dans $\la0;1\ra$ et associée à une épreuve de Bernoulli.\\
La loi de probabilité est appelée \textbf{loi de Bernoulli} de paramètre~$p$.}
\enmp
\hfill
\bgmp{4cm}
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
$x_i$ & 1 & 0 \\\hline
$P(X=x_i)$ & $p$ & $1-p$ \\\hline
\end{tabular}\]
\enmp
\bgprop{Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, on a
$E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$, et donc $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.}
\bgproof{
\textit{Rappels:
$E(X)=\dsp\sum_{k=1}^nx_kp_k=\sum_{k=1}^nx_k$
et
$V(X)=\dsp\sum_{k=1}^n(x_k-E(X))^2p_k$,
avec \mbox{$p_k=P(X=x_k)$}.
}
Par définition de l'espérance,
on a
\[E(X)=x_1\tm P(X=x_1)+x_2\tm P(X=x_2)=1\tm p+0\tm(1-p)=p\]
De m\^eme,
\[\bgar{ll}
V(X)&=\lp x_1-E(x)\rp^2\tm P(X=x_1)+\lp x_2-E(x)\rp^2\tm P(X=x_2)\\[.6em]
&=(1-p)^2\tm p+(0-p)^2\tm(1-p)\\
&=p(1-p)^2+p^2(1-p)=(1-p)\Bigl(p(1-p)+p^2\Bigr)=p(1-p)
\enar\]
}
\subsection{Schéma de Bernoulli}
\bgdef{Un \textbf{Schéma de Bernoulli} est la répétition d'épreuves
de Bernoulli identiques et indépendantes.
}
\bgex
On tire au hasard successivement et avec remise trois cartes dans un
jeu de 32 cartes.
\`A chaque tirage, tirer un as est considéré comme un succès.
\bgen
\item Montrer qu'il s'agit d'un schéma de Bernoulli.
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'as tirés.
Donner la loi de probabilité de $X$.
\enen
\enex
\subsection{Loi binomiale}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{On considère un schéma de Bernoulli, répétition de $n$ épreuves aléatoires identiques et indépendantes de probabilité de succès $p$. \\
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus. \\
La loi de probabilité de la variable $X$ est appelée
\textbf{loi binomiale} de paramètre $n$ et $p$,
et est notée $\mathcal{B}(n;p)$.
}
\bgprop{Si $X$ est une variable aléatoire
suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$
alors, pour tout entier $k$, avec $0\leqslant k \leqslant n$,
\[P(X=k)=\binom{n}{k} p^k \lp 1-p\rp^{n-k}\]
\vsp
De plus, l'espérance de $X$ est $E(X)=np$, sa variance est $V(X)=np(1-p)$
et son écart type $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.
}
\bgproof{
On peut décrire la situation par un arbre à $n$ "étages".
Chaque chemin de cet arbre a $k$ succès et $n-k$ échecs, et a donc une probabilité $p^k(1-p)^k$.
Le nombre de chemins contenant $n$ succès (et donc $n-k$ échecs) est le nombre de fa\c cons qu'il y a de choisir ces $k$ succès parmi les $n$ répétitions, soit
$\dsp\binom{n}{k}$.
On en déduit donc la formule
$P(X=k)=\dsp\binom{n}{k} p^k \lp 1-p\rp^{n-k}$.
}
\bgex
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres
$n=100$ et $p=0,15$.
\bgen
\item Donner les expressions et calculer
$P(X=6)$, $P(X=15)$, $P(X\leqslant15)$, $P(X\geqslant16)$
et \mbox{$P(13\leqslant X\leqslant 17)$}.
\item Préciser l'espérance et l'écart type de $X$.
\item Déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X\leqslant a)\geqslant0,95$.
\item Calculer les probabilités
$P_{X\leqslant10}(X=9)$ et $P_{X\geqslant10}(X\leqslant15)$.
\enen
\enex
\bgex
Un élève répond au hasard aux 6 questions d'un QCM.
\`A chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est
exacte. \\
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bonnes
réponses.
\bgen
\item Montrer que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que l'élève a d'avoir exactement 3
bonnes réponses.
\item Calculer la probabilité que l'élève a d'avoir au moins 3
bonnes réponses.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce
résultat.
\enen
\enex
\vspace{-.3cm}
\bgex
Dans une ville de 50\,000 habitants, on a recensé 1\,000 cas de
grippe.
On s'intéresse au nombre d'enfants malades dans une crèche de 30
enfants.
On note $X$ le nombre d'enfants atteints par la grippe et on modélise
la loi de $X$ par une loi binomiale.
\bgen
\item Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$.
\item Calculer la probabilité des événements suivants:\\
a) $A$:"Deux enfants exactements sont malades" \quad
b) $B$:"Il y a au moins un enfant malade".
\enen
\enex
\vspace{-.3cm}
\bgex
Une étude statistique a montré qu'une mère qui possède un caractère
génétique C le transmet à son enfant dans un cas sur dix.
Une femme, qui possède ce caractère génétique C, souhaite fonder une
famille de quatre enfants.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
d'enfants parmi les quatre présentant le caractère C.
\bgen
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ?
\item Calculer la probabilité de l'événement:
"Un enfant au moins présente le caractère C".
\item L'événement: "Deux enfants ou plus présentent le caractère C."
est-il très improbable ?
\enen
\enex
%\clearpage
\bgex
Dans chacun des cas suivants, la variable aléatoire $X$ suit-elle une loi
binomiale ?
Donner le cas échéant les valeurs de ses paramètres.
\bgen
\item On lance 5 fois successivement un dé à jouer truqué, et on
note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de 2 obtenus parmi
ces lancers.
\item On lance 5 fois successivement un dé à jouer, et on
note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier lancer pour
lequel on obtient le chiffre 6.
\item On lance 10 fois successivement 2 dés à jouer, et on
note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où une somme
de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 dés.
\item Une branche présente 10 fleurs: 2 blanches et 8 roses.
On cueille, successivement et au hasard, 3~fleurs et on note $X$ la
variable aléatoire égale au nombre de fleurs blanches cueillies.
\item On fait un sondage en interrogeant successivement 10 personnes dans un groupe de 20 personnes. On note $X$ le nombre de personnes qui ont répondu "Oui".
\item Dans une population de 10 millions personnes, on fait un sondage en interrogeant successivement 100 personnes. On note $X$ le nombre de personnes qui ont répondu "Oui".
\enen
\enex
\bgex
Une machine produit des pièces dont, en moyenne, 5\,\% sont
défectueuses.
On prépare des lots en prélèvant au hasard 10 pièces dans la
production.
Le nombre de pièces dans le stock est assez important pour que l'on
puisse considérer le tirage comme étant avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses
sur nos 10 pièces prélevées.
\bgen
\item Montrer que la loi de probabilité de $X$ est une loi binomiale
dont on précisera les paramètres.
\item Calculer les probabilités des événements:
$"X=0"$, $"X=1"$, $X=2$, et $"X\geqslant 3"$.
\enen
\enex
\bgex
En france, il y a environ 12\,\% de gauchers.
On considère une classe de 30 élèves,
et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de gauchers dans
cette classe.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
Préciser ses paramètres.
\item Combien d'élèves gauchers peut-on s'attendre à trouver dans la classe ?
\item Déterminer la probabilité qu'il y ait un seul gaucher dans la
classe.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait 2 gauchers ou plus dans la
classe.
\item Déterminer le plus petit entier $k$ tel que
$P(X\geqslant k)\geqslant0,99$. Interpréter ce nombre.
\enen
\enex
\bgex Un homme se présente dans un village gaulois et se déclare
devin.
Les habitant sceptiques se proposent de tester ses dons en lui
demandant de deviner les résultats de 10 lancers d'une pièce
équlibrée.
Il donne 8 fois la bonne réponse.
\bgen
\item On suppose que les réponses du devin sont données au hasard.
Calculer dans ce cas la probabilité qu'il donne 8 fois la bonne
réponse.
\item Les habitants du village (experts bien s\^ur en probabilité)
seront-ils enclins à croire ce devin ?
\enen
\enex
\bgex
Pour contr\^oler des lots d'articles on procède de la manière suivante:
on prélève un article au hasard dans le lot, s'il est défectueux le lot est déclaré mauvais, sinon on en prélève un deuxième. S'il est défectueux on déclare le lot mauvais, sinon on en prélève un troisième. S'il est défectueux on déclare le lot mauvais, sinon on accepte le lot. \\
On note $p$ la proportion d'articles défecteux et on considère que le nombre important d'articles permet de d'assimiler le tirage à un tirage avec remise.
\bgen
\item Déterminer en fonction de $p$ la probabilité de refuser le lot.
\item Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'articles prélevés.
Déterminer l'espérance de $Y$.
\item Comparer ces résultats à ceux que l'on aurait obtenus en prélevant directement trois articles et en refusant le lot si au moins l'un de ces articles était défectueux.
\enen
\enex
\bgex
Dans une population de grand effectif, on a observé que 5\% des individus sont allergiques au médicament A et 40\% sont allergiques au médicament B.\\
Ces allergies sont détectées par des tests effectués en laboratoire et ce de fa\c con indépendante.
On examine un échantillon de $n$ analyses choisies au hasard.
On note $X$ la variable aléatoire qui associe à $n$ analyses le nombre d'individus allergiques à A qu'elles révèlent.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
\item On suppose que $n=10$.
Calculer à $10^{-2}$ près les probabilités de chacun des événements suivants:
\bgen[a)]
\item aucune analyse ne révèle l'allergie à A;
\item au moins deux analyses révèlent l'allergie à A.
\enen
\item Un organisme tiers établit que 2\% des individus sont allergiques à A et à B simultanément. Peut-on en conclure que les événements "\^etre allergique à A" et "\^etre allergique à B" sont indépendants ?
\item On considère la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,4$.
\bgen[a)]
\item Déterminer le plus petit entier $a$tel que
$P(Y\leqslant a)>0,025$ et le plus petit entier $b$ tel que
$P(Y\leqslant b)\geqslant0,95$.
\item En déduire un intervalle $I$ tel que
$P(Y\in I)\geqslant0,95$.
\item Dans un échantillon de 100 analyses, on a observé que 30 individus révèlent l'allergie B. Que peut-on en conclure ?
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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