Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: Intégration},
pdftitle={Intégration - Exercices},
pdfkeywords={Mathématiques, terminale générale, spécialité maths,
intégration, intégrale, aire sous une courbe
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
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\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Intégration - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale générale\\spécialité maths\enmp}
\bgex
Calculer les intégrales suivantes:
$\dsp I=\int_0^1 x\,dx$,\
$\dsp J=\int_1^3 (2t+1)\,dt$,
et $\dsp K=\int_{-2}^3 |x|\,dx$.
\enex
\bgex
Calculer l'intégrale $\dsp I=\int_0^4 E(x)\,dx$, où $E(x)$ désigne la
partie entière de $x$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=4x-3$.
\vspace{-0.1cm}\qquad
Déterminer de façon explicite, pour tout réel $t\geq 1$, la fonction
$\dsp F(t)=\int_1^t f(x)\,dx$.
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] Démontrer que pour tout réel $t$ de $[0;1]$,
on a $\dsp\frac{t}{1+t^2}\leq t$.
\item[b)] En déduire que
$\dsp\int_0^1\frac{t}{1+t^2}\,dt\leq\frac{1}{2}$.
\enit
\enex
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $[1;2]$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}$.
\bgen[a)]
\item Etudier les variations de $f$ sur $[1;2]$.
\item Démontrer que pour tout $x$ de $[1;2]$, \quad
$\dfrac{e^2}{4}\leqslant \dfrac{e^x}{x^2}\leqslant e$.
\item En déduire un encadrement de $\dsp\int_1^2 \dfrac{e^x}{x^2}\,dx$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ définie sur $[-3;3]$ par
$f(x)=E(x^2)$ où $E$ désigne la fonction partie entière.
\bgit
\item[1.] Montrer que $f$ est une fonction paire, et tracer sa
représentation graphique sur l'intervalle~$[0;3]$.
\item[2.] Calculer $\dsp\int_0^3 f(x)\,dx$.
En déduire $\dsp\int_{-3}^3 f(x)\,dx$.
\enit
\enex
\bgex Soit $F$ la fonction définie par
$\dsp F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt$.
Déterminer le sens de variation de $F$.
\enex
\bgex Déterminer les intégrales suivantes: \ \
$\dsp I_1=\int_0^1x^2\,dx$ \quad
$\dsp I_2=\int_{-1}^3(5-2x)\,dx$ \\
$\dsp I_3=\int_0^1e^{-2x}\,dx$ \quad
$\dsp I_4=\int_0^1\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx$ \quad
$\dsp I_5=\int_0^1x^2(x^3-1)^5\,dx$ \quad
$\dsp I_6=\int_0^1\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx$ \quad
$\dsp I_7=\int_0^{\frac12}\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}\,e^{\frac{1}{x}}$,
et, pour un entier $n\geqslant1$, l'integrale
$\dsp I_n=\int_1^nf(x)\,dx$.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$ et tracer l'allure de
sa courbe représentative. \\
Représenter sur ce graphique $I_n$.
\item Calculer $I_n$ pour tout entier, puis déterminer
$\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n$
\enen
\enex
\bgex
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle
$I$ donné:
\bgen[a)]
\item $f:x\mapsto x^2$ sur $I=[-1;1]$
\item $f:x\mapsto x^3$ sur $I=[-1;1]$
\item $f:x\mapsto x\lp3x^2-1\rp^2$ sur $I=[-1;2]$
\item $f:x\mapsto \dfrac{3}{2x+1}$ sur $I=[0;4]$
\item $f:x\mapsto \dfrac{x^2}{\lp8-x^3\rp^2}$ sur $I=[0;1]$
\enen
\enex
\bgex\nopagebreak
\noindent\bgmp{12cm}
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.
\vspd
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\vspt
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$)}
\enmp
\bgmp{4cm}
\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-0.5,0.1)(1.2,1.)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}
\renewcommand{\g}[1]{#1 #1 mul}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
\grestore}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]
\grestore}
%
\psline{->}(-0.1,0)(1.15,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.2)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex\nopagebreak
\noindent\bgmp{12cm}
Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes des fonctions
$f$ et $g$ définies par
$f(x)=x^2-4$ et $g(x)=-\dfrac12x^2+2$.
\enmp
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=.7cm,yunit=.5cm,arrowsize=5pt,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-5)(2.5,2.5)
\nwc\f[1]{#1 2 exp 4 sub}
\renewcommand{\g}[1]{#1 2 exp -.5 mul 2 add}
\pscustom{
\psplot{-2}{2}{\f{x}}\gsave
\psplot{2}{-2}{\g{x}}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
\grestore}
%
\psline{->}(-2.5,0)(2.9,0)
\psline{->}(0,-4.3)(0,3)
\psplot{-2}{2}{\f{x}}
\psplot{2}{-2}{\g{x}}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
Calculer la valeur moyenne de chaque fonction sur l'intervalle donné:
a)\ \ $f(x)=(2-x)(x-1)$ sur $I=[-1;0]$
\qquad
b)\ \ $g(x)=e^{-3x+1}$ sur $I=[-1;1]$.
\enex
\bgex {\bf Vrai-Faux}\quad
Pour chaque affirmation proposée, dire si elle est vraie ou
fausse. Justifier.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;+\infty[$,
et soit $F$ et $G$ les fonctions définies $[0;+\infty[$ par
$\dsp F(x)=\int_1^x f(t)\,dt$
et $\dsp G(x)=x\int_1^x f(t)\,dt$.
Soit de plus $\Ga$ la courbe représentative de $f$ dans un
repère.
\bgen
\item $G(0)=G(1)$
\item $G$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, et pour tout
$x\in[0;+\infty[$, $G'(x)=F(x)+xf(x)$.
\item On ne peut pas prévoir le sens de variation de $G$ avec les
seules informations de l'énoncé.
\item L'aire de la surface délimitée par les droites d'équations
$x=0$, $x=2$, $y=0$ et la courbe $\Ga$ se calcule par $F(2)+F(0)$.
\enen
\enex
\bgex {\bf \'Etude d'une suite} {\it (D'après Bac)}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par
$f(x)=e^{-x^2}$ et on définit la suite $(u_n)$ par:
\[u_0=\int_0^1 f(x)\,dx
\quad\text{ et, pour tout entier }n\geqslant 1,\quad
u_n=\int_0^1 x^n\,f(x)\,dx
\]
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$,
\quad$\dfrac{1}{e}\leqslant f(x)\leqslant 1$.
\item En déduire que \quad$\dfrac{1}{e}\leqslant u_0\leqslant 1$.
\enen
\item Calculer $u_1$.
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\quad $0\leqslant u_n$.
\item Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\quad$u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enen
\enex
\bgex {\bf D'après Bac}
\noindent
On considère la suite numérique $(J_n)$ définie, pour tout entier
naturel $n$ non nul, par:
\[ J_n=\int_1^n e^{-t}\,\sqrt{1+t}\,dt\,.\]
\bgen
\item Démontrer que la suite $(J_n)$ est croissante.
\item On définit la suite $(I_n)$, pour tout entier naturel $n$ non nul,
par: \quad$I_n=\dsp\int_1^n (t+1)\,e^{-t}\,dt$.
\bgen[a)]
\item Justifier que, pour tout $t\geqslant 1$, on a
$\sqrt{t+1}\leqslant t+1$.
\item En déduire que $J_n\leqslant I_n$.
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que
la fonction $t\mapsto (at+b)e^{-t}$ soit une primitive de la
fonction $t\mapsto (t+1)e^{-t}$.
Exprimer alors $I_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que la suite $(J_n)$ est majorée par un nombre réel.
\item Que peut-on en conclure pour la suite $(J_n)$ ?
\enen
\enen
\enex
\bgex
Calculer les intégrales suivantes:
\hspace{-0.7cm}
$\bullet\,\dsp I=\int_0^3 xe^x\,dx$
\hspace{0.15cm}
$\bullet\,\dsp J=\int_{-2}^2 4xe^{3x-1}dx$
\hspace{0.15cm}
$\bullet\,\dsp K=\int_{-1}^1 2x(8x+2)^2dx$
\hspace{0.15cm}
$\bullet\,\dsp L=\int_{-1}^1 2x^3e^{x^2-1}dx$
\hspace{0.15cm}
$\bullet\,\dsp L=\int_0^1 x^2e^xdx$
\enex
\bgex
$I$ et $J$ sont les intégrales définies par
$\dsp I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin(x)\,dx$ et
$\dsp J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x)\,dx$.
\vspd
\bgen[a)]
\item En appliquant de deux façons différentes à l'intégrale $I$
la méthode d'intégration par parties, trouver deux relation entre
$I$ et $J$.
\vsp
\item Calculer alors les intégrales $I$ et $J$.
\enen
\enex
\bgex Pour tout entier naturel $n$, on pose
$\dsp I_n=\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx$.
A l'aide d'une double intégration par parties, calculer $I_n$ en
fonction de $n$.
\enex
\bgex
Soit $(I_n)$ la suite définie pour tout entier $n\geq0$ par
$\dsp I_n=\int_0^1 t^n\,e^{-t}\,dt$.
\bgen[1.]
\item Calcul des premiers termes de la suite
\bgen[a)]
\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
\item Exprimer $I_2$ en fonction de $I_1$, puis en déduire $I_2$.
\item Exprimer $I_3$ en fonction de $I_2$, puis calculer $I_3$.
\enen
\medskip
\item \'Etude de la suite
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier $n$, $I_n\geq 0$.
\item \'Etudier le sens de variation de la suite $I$.
\item Démontrer que la suite $(I_n)$ est convergente.
\enen
\medskip
\item Calcul de la limite de la suite
\bgen[a)]
\item \`A l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n+1}$
en fonction de $I_n$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$,
$\dsp I_n\leqslant \dfrac{1}{ne}$.
\item En déduire la limite de la suite $(I_n)$.
\enen
\enen
\enex
\end{document}
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