Source Latex: Exercices de mathématiques, Convexité

Terminale générale, spécialité mathématiques

Convexité

Exercices de mathématiques: convexité des fonctions. Dérivée seconde, position relative de la courbe et de ses tangentes et inégalités de convexité
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Type: Exercices
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Description
Exercices de mathématiques: convexité des fonctions. Dérivée seconde, position relative de la courbe et de ses tangentes et inégalités de convexité
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Mots clé
Exercices de mathématiques, convexité, dérivée seconde, tangente, position relative, terminle générale, spécialité mathématiques
Voir aussi:

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      convexit� des fonctions, d�riv�e, d�riv�e seconde, tangente}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
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\def\Ga{\Gamma}

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\nwc{\tm}{\times}
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%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{%
  \vspt\noindent%
  \ul{D�monstration:} #1%
  \hfill$\square$%
}

\newcounter{nex}%[section]
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - sp� maths en terminale g�n�rale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{.1em}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale g�n�rale\\sp�cialit� maths\enmp}


\bgex \textbf{Des calculs de d�riv�es \dots }\\
Calculer la d�riv�e des fonctions suivantes: \\[.5em]
\hspace*{1em}$f(x)=x^3+2x-\dfrac2x$\hfill
$g(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$\hfill
$h(x)=xe^x$\hfill
$k(x)=(x+1)e^{-2x+1}$\hfill
\enex

\bgex \textbf{\dots et des d�riv�es de d�riv�es}\\
Calculer la d�riv�e $f'$ puis la d�riv�e seconde $f''=\lp f'\rp'$ des fonctions suivantes: \\
$a)\ f(x)=3x^2-\dfrac12x^2+3$\hfill
$b)\ f(x)=e^{2x+1}$\hfill
$c)\ f(x)=e^{-x^2}$\hfill
$d)\ f(x)=\dfrac{e^x}x$
\enex


\bgex \textbf{Position relative de deux courbes.}
\bgen
\item \'Etudier la position relative de la courbe de la fonction $f:x\mapsto x^2$ et de la droite $y=x+1$. \\
Rer�senter graphiquement la situation. 
\item \'Etudier la position relative des courbes des fonctions $f:x\mapsto\dfrac{x}{x+1}$ et $g:x\mapsto\dfrac{x}{x-1}$. 

\'Etudier les variations (en pr�cisant les limites et �ventuelles asymptotes) de ces fonctions et tracer les deux courbes. 

\item \'Etudier la position relative de la courbe de la fonction $f:x\mapsto e^x$ et de la droite $y=x$.\\
Repr�senter graphiquement la situation. 
\enen
\enex

\bgex \textbf{Retour sur la fonction carr� et sa parabole}\\
On consid�re la fonction carr� $f:x\mapsto x^2$ d�finie sur $\R$. 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe et $T_a$ la tangente � sa courbe au point d'abscisse $a$. 

\bgen[a)]
\item Donner l'�quation de la tangente $T_1$ puis �tudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ avec cette tangente. 

\item \'Etudier de m\^eme la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ avec ses tangentes $T_2$, $T_0$, et $T_{-1}$. 

\item Tracer dans un rep�re la courbe $\mathcal{C}$ et ses tangentes. 
\item G�n�raliser les r�sultats pr�c�dents: montrer que $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de toutes ses tangentes $T_a$. 
\enen
\enex


\noindent\bgmp{10.2cm}
\bgex \textbf{Pente sur un toboggan}

La pente en un point � une courbe est la pente en ce point de sa tangente, ou encore le coefficient directeur de cette tangente. 
\\[-1em]
\[f(x)=\la\bgar{rl}-\dfrac{x^2}2+1&\text{ si } x\leqslant1\\
\dfrac{x^2}2-2x+2&\text{ si } x\geqslant1\enar\right.\]

\enex
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
\[\psset{unit=3.3cm}
\nwc{\f}[1]{#1 10 div}
\begin{pspicture*}(-.15,-.22)(2.2,1.15)
\psline(-.1,0)(2.2,0)
\psline(0,-.12)(0,1.25)
\multido{\i=-1+1}{23}{\psline[linestyle=dotted](!\f{\i}\space-.1)(!\f{\i}\space1.2)\psline[linewidth=1.2pt](!\f{\i}\space-.02)(!\f{\i}\space.02)}
\multido{\i=-1+1}{15}{\psline[linestyle=dotted](!-.1\space\f{\i})(!2.1\space\f{\i})\psline[linewidth=1.2pt](!-.01\space\f{\i})(!.01\space\f{\i})}\rput(1,-.08){1}
\rput(-.03,-.05){0}
\rput(1,-.08){1}
\rput(2,-.08){2}
\rput(-.03,1){1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.6pt]{0}{1}{-.5 x 2 exp mul 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.6pt]{1}{2}{.5 x 2 exp mul -2 x mul add 2 add}
\end{pspicture*}\]
\enmp

\bgen
\item Justifier que $f$ estcontinue sur $[0;2]$. 
\item Donner une expression de la fonction d�riv�e $f'$ de $f$. 
  Montrer que $f'$ est aussi continue sur $[0;2]$. 
\item Donner la pente � la courbe en 0 et en 2. 
\item Donner la pente de la courbe au point d'abscisse $x$. Comment varie cette pente ? Dresser son tableau de variation. 
\item Une norme impose que la pente d'un tel toboggan ne d�passe pas 1,5 en valeur absolue. Est-ce le cas ici ? 
\enen




\bgex
Soit $f$ la fonction exponentielle. 
\bgen
\item Donner la convexit� de $f$. 
\item D�terminer l'�quation de la tangente � la courbe de $f$ au point d'abscisse 1. 
\item En d�duire que, pour tout r�el $x$, $e^x>x$. 
\enen
\enex



\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par 
$f(x)=x^3+3x^2+0,5x+1$. 

\bgen
\item \'Etudier la convexit� de $f$ sur $\R$. 
\item D�terminer les abscisses des �ventuels points d'inflexion de la courbe de $f$. 
\enen
\enex

\bgex
M\^eme exercice avec la fonction $g(x)=xe^x$, puis avec la fonction 
$h(x)=e^{-x^2}$. 
\enex



\bgex \textbf{QCM} Indiquer les bonnes r�ponses (une ou plusieurs par question). \\[.4em]

\noindent\bgmp{8.8cm}
1. \bgmp[t]{8.6cm}La fonction d�riv�e de la fonction $h$ d�finie sur~$\R$ 
  par $h(x)=\lp2x^2+4x+6\rp e^{5x+7}$ est $h'(x)=$: 

  \bgen[a)]
  \item $\lp2x^2+4x+6\rp e^{5x+7}+(4x+4)e^{5x+7}$
  \item $2\lp5x^2+12x+17\rp e^{5x+7}$
  \item $5e^{5x+7}\lp2x^2+4x+6\rp+e^{5x+7}(4x+4)$
  \item $5e^{5x+7}(4x+4)$
  \enen\enmp
\enmp\hfill
\bgmp{8.8cm}
2. \bgmp[t]{8.5cm}La fonction $k$ d�finie sur $\R$ par $k(x)=\sqrt{x^2+1}$ est: 
  \bgen[a)]
  \item croissante sur $\R$
  \item croissante sur $[0;+\infty[$
  \item convexe sur $[0;+\infty[$
  \item convexe sur $\R$. 
  \enen\enmp
\enmp\\[.6em]
\noindent\bgmp{8.8cm}
3. \bgmp[t]{8.5cm}La fonction $l$ d�finie sur $\R$ par 
  \mbox{$l(x)=\lp x^2-5x+4\rp^2$} admet
  \bgen[a)]
  \item un point d'inflexion
  \item deux points d'inflexion
  \item trois points d'inflexion
  \item quatre points d'inflexion
  \enen\enmp
\enmp\hfill
\bgmp{8.8cm}
4. \bgmp[t]{8.5cm}La fonction $m$ d�finie sur $\R$ par 
  \mbox{$m(x)=e^{x^2-2x+3}$}: 
  \bgen[a)]
  \item admet pour d�riv�e $m':x\mapsto 2(x-1)m(x)$
  \item admet pour d�riv�e $m':x\mapsto e^{2x-2}$
  \item est concave sur $\R$
  \item est convexe sur $\R$. 
  \enen\enmp
\enmp
\enex


\noindent\bgmp{9.6cm}
\bgex
On consid�re la fonction $g$ d�finie sur $[1;5]$ dont la courbe repr�sentative est trac�e ci-contre. 

\medskip
1. \bgmp[t]{8cm}Que vaut $g'(3)$ ?\\[.5em]
a) $g'(3)=-3$  \hfill b) $g'(3)=-1$ \\[.5em]
c) $g'(3)=\dfrac32$ \hfill d) $g'(3)=-\dfrac32$
\enmp

\enex
\enmp\quad
\bgmp{8cm}
\[\psset{unit=1.8cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-.2,-.4)(5.2,2)
\nwc{\divd}[1]{#1 2 div}
\nwc{\divt}[1]{#1 3 div}
\psline(-.5,0)(5.2,0)
\psline(0,-1)(0,2.2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1}{5}{1 3 div x 1 sub mul x 4 sub 2 exp mul}
\multido{\i=0+1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!\divd{\i}\space-2)(!\divd{\i}\space2)
\psline(!\divd{\i}\space-.1)(!\divd{\i}\space.1)}
\multido{\i=-1+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!0\space\divt{\i})(!5.5\space\divt{\i})
\psline(!-.1\space\divt{\i})(!.1\space\divt{\i})}
\rput[r](-.1,-.3){0}
\rput[r](-.1,1){1}
\multido{\i=1+1}{5}{\rput(\i,-.3){\i}}
\psline{<->}(2,1.66)(4,-.33)
\end{pspicture*}\]
\enmp

\medskip
2. $g'(x)=0$ pour: \qquad 
a) $x=1$ \qquad
b) $x=2$ \qquad
c) $x=3$ \qquad
d) $x=4$

\medskip
3. La fonction $g$ semble convexe sur: \qquad
a) $[2;4]$ \qquad b) $[1;3]$ \qquad c) $[1;2]$ \qquad d) $[3;5]$

\medskip
4. $g''$ �tant la d�riv�e de $g'$, on a: \qquad 
a) $g''(3)=3$ \qquad 
b) $g''(2)=0$ \qquad
c) $g''(3)=0$ \qquad 
d) $g''(4)=0$

\medskip
5. $g'\geqslant0$ sur: \qquad
a) $[1;5]$ \qquad 
b) $[1;2]\cup[4;5]$ \qquad 
c) $[2;4]$ \qquad 
d) $[2;3[\cup]3;4]$


\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par: \quad 
$f(x)=4x^3-15x^2-18x+12$. 
\bgen
\item Dresser le tableau de variations de $f$. Pr�ciser les limites. 
\item \'Etudier la convexit� de $f$. 
\item D�terminer les coordonn�es des �ventuels points d'inflexion de la courbe repr�sentative de $f$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$. 
\bgen
\item 
  \bgen[a)]
  \item D�terminer la d�riv�e $f'$ de $f$, puis sa d�riv�e seconde $f''$. 
  \item \'Etudier le signe de $f''(x)$ sur $\R$. En d�duire les variations de $f'$. 
  \item En d�duire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$. 
    Pr�ciser les limites en l'infini. 
  \enen

\item On note $\mathcal{C}$ la courbe repr�sentative de $f$ dans un rep�re orthonorm� et la droite $\mathcal{D}: y=x+1$. 
  \bgen[a)]
  \item Pr�ciser la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$. 
  \item D�terminer les coordonn�es des �ventuels points de $\mathcal{C}$ o� la tangente � $\mathcal{C}$ est parall�le � $\mathcal{D}$. 
  \enen
\enen
\enex

\bgex
Soit $h$ la fonction d�finie par l'expression 
$h(x)=e^{\sqrt{x^2-5x+6}}$. 
\bgen
\item Pr�ciser l'ensemble $\mathcal{D}_h$ de d�finition de $f$. 
\item D�terminer la fonction d�riv�e $h'$ de $h$. 
\item \'Etudier les variations de $h$. 
\item D�terminer les �quations des tangentes $T_1$ et $T_4$ � la courbe repr�sentative de $h$ aux points d'abscisses 1 et 4. 
\item D�terminer les points d'intersection de $T_1$ et $T_4$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $g$ la fonction d�finie sur $\R\setminus\la1\ra$ par 
$g(x)=\dfrac{e^x}{1-x}$. 
\bgen
\item D�terminer $g'(x)$, puis montrer que $g''$ a pour expression $g''(x)=\dfrac{e^x\lp x^2-4x+5\rp}{(1-x)^3}$. 
\item En d�duire la convexit� de $g$ et les abscisses des �ventuels points d'inflexion. 
\item D�terminer une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de $g$ au point d'abscisse 0. 
\item Montrer que, pour tout $x>1$, on a 
%  $e^x\geqslant5x^2-6x+1$.
$e^x\geqslant-2x^2+3x-1$.
\enen
\enex

\medskip
\noindent\bgmp[t]{10.4cm}
\bgex \textsl{D'apr�s BAC ES, 2019}\\
On donne ci-contre la courbe $C$ repr�sentative d'une fonction $f$ d�finie et d�rivable sur $[0;3]$. La droite $\mathcal{D}$ est tangente � $C$ au point d'abscisse 0 et passe par le point $A(0,5\,;\,1)$ et par l'origine du rep�re. \\
La tangente $T$ � la courbe $C$ au point d'abscisse 1 est parall�le � l'axe des abscisses.

\medskip
\textbf{Partie A}
\bgen
\item D�terminer une �quation de $\mathcal{D}$.
\item Donner la valeur de $f'(1)$. Jusifier. 
\item Proposer un intervalle sur lequel $f$ semble concave. 
\enen
\enex
\enmp
\bgmp[t]{8cm} 
\[\psset{xunit=2.5cm,yunit=3.3cm}
\begin{pspicture*}(-.4,-.38)(3.3,1.6)
\nwc{\divd}[1]{#1 2 div}
\psline(-.2,0)(3.2,0)
\psline(0,-.2)(0,2)
\multido{\i=1+1}{6}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!\divd{\i}\space-.2)(!\divd{\i}\space2)
\psline(!\divd{\i}\space-.06)(!\divd{\i}\space.06)}
\multido{\i=0+1}{5}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!-.2\space\divd{\i})(!3.2\space\divd{\i})
\psline(!-.06\space\divd{\i})(!.06\space\divd{\i})}
\rput[r](-.1,1){1}
\rput(1,-.2){1}
\rput(2,-.2){2}
\rput(3,-.2){3}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x mul 2.718 -.5 x 2 exp mul exp mul}
\rput(2.8,.22){\blue$C$}
\psplot{-.15}{2}{2 x mul}
\rput(.56,1.4){$\mathcal{D}$}
\psline[arrowsize=7pt]{<->}(.66,1.22)(1.4,1.22)
\rput(1,1.22){\large\bf$+$}
\rput(1.1,1.3){$T$}
\psline[arrowsize=7pt]{<->}(1.38,1.14)(2.35,.18)
\rput(1.8,.7){\large\bf$+$}
\end{pspicture*}\]
\enmp

%\medskip
\noindent\textbf{Partie B}
La fonction $f$ est d�finie sur $[0;3]$ apr l'expression 
$f(x)=2xe^{-0,5x^2}$. 
\bgen
\item Montrer que, pour tout $x\in[0;3]$, 
  $f'(x)=\lp2-2x^2\rp e^{-0,5x^2}$. 
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $[0;3]$. 
\item D�terminer la d�riv�e seconde de $f$ et �tudier sa convexit�. 
\enen

\medskip
\noindent\textbf{Partie C}
En Europe, les observateurs d'une maladie n�cessitant une hospitalisation consid�rent qu'ils peuvent mod�liser par cette fonction $f$ l'�volution du nombre de lits occup�s par des malades pendant les trois mois d'hiver. \\
Pour tout $x$ appartenant � l'intervalle $[0;3]$, $f(x)$ repr�sente le nombre de lits occup�s, exprim� en million, � l'instant $x$, exprim� en mois. \\
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occup�s lors du pic de la maladie a d�pass� le million. \\
Que dire de cette affirmation ?



\end{document}

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