Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de math�matiques: convexit�},
pdftitle={Convexit�},
pdfkeywords={Math�matiques, exercices, terminale g�n�rale, sp�cialit� maths,
convexit� des fonctions, d�riv�e, d�riv�e seconde, tangente}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
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\def\Ga{\Gamma}
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{%
\vspt\noindent%
\ul{D�monstration:} #1%
\hfill$\square$%
}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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\stepcounter{ntheo}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Convexit� - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - sp� maths en terminale g�n�rale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{.1em}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale g�n�rale\\sp�cialit� maths\enmp}
\bgex \textbf{Des calculs de d�riv�es \dots }\\
Calculer la d�riv�e des fonctions suivantes: \\[.5em]
\hspace*{1em}$f(x)=x^3+2x-\dfrac2x$\hfill
$g(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}$\hfill
$h(x)=xe^x$\hfill
$k(x)=(x+1)e^{-2x+1}$\hfill
\enex
\bgex \textbf{\dots et des d�riv�es de d�riv�es}\\
Calculer la d�riv�e $f'$ puis la d�riv�e seconde $f''=\lp f'\rp'$ des fonctions suivantes: \\
$a)\ f(x)=3x^2-\dfrac12x^2+3$\hfill
$b)\ f(x)=e^{2x+1}$\hfill
$c)\ f(x)=e^{-x^2}$\hfill
$d)\ f(x)=\dfrac{e^x}x$
\enex
\bgex \textbf{Position relative de deux courbes.}
\bgen
\item \'Etudier la position relative de la courbe de la fonction $f:x\mapsto x^2$ et de la droite $y=x+1$. \\
Rer�senter graphiquement la situation.
\item \'Etudier la position relative des courbes des fonctions $f:x\mapsto\dfrac{x}{x+1}$ et $g:x\mapsto\dfrac{x}{x-1}$.
\'Etudier les variations (en pr�cisant les limites et �ventuelles asymptotes) de ces fonctions et tracer les deux courbes.
\item \'Etudier la position relative de la courbe de la fonction $f:x\mapsto e^x$ et de la droite $y=x$.\\
Repr�senter graphiquement la situation.
\enen
\enex
\bgex \textbf{Retour sur la fonction carr� et sa parabole}\\
On consid�re la fonction carr� $f:x\mapsto x^2$ d�finie sur $\R$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe et $T_a$ la tangente � sa courbe au point d'abscisse $a$.
\bgen[a)]
\item Donner l'�quation de la tangente $T_1$ puis �tudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ avec cette tangente.
\item \'Etudier de m\^eme la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ avec ses tangentes $T_2$, $T_0$, et $T_{-1}$.
\item Tracer dans un rep�re la courbe $\mathcal{C}$ et ses tangentes.
\item G�n�raliser les r�sultats pr�c�dents: montrer que $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de toutes ses tangentes $T_a$.
\enen
\enex
\noindent\bgmp{10.2cm}
\bgex \textbf{Pente sur un toboggan}
La pente en un point � une courbe est la pente en ce point de sa tangente, ou encore le coefficient directeur de cette tangente.
\\[-1em]
\[f(x)=\la\bgar{rl}-\dfrac{x^2}2+1&\text{ si } x\leqslant1\\
\dfrac{x^2}2-2x+2&\text{ si } x\geqslant1\enar\right.\]
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
\[\psset{unit=3.3cm}
\nwc{\f}[1]{#1 10 div}
\begin{pspicture*}(-.15,-.22)(2.2,1.15)
\psline(-.1,0)(2.2,0)
\psline(0,-.12)(0,1.25)
\multido{\i=-1+1}{23}{\psline[linestyle=dotted](!\f{\i}\space-.1)(!\f{\i}\space1.2)\psline[linewidth=1.2pt](!\f{\i}\space-.02)(!\f{\i}\space.02)}
\multido{\i=-1+1}{15}{\psline[linestyle=dotted](!-.1\space\f{\i})(!2.1\space\f{\i})\psline[linewidth=1.2pt](!-.01\space\f{\i})(!.01\space\f{\i})}\rput(1,-.08){1}
\rput(-.03,-.05){0}
\rput(1,-.08){1}
\rput(2,-.08){2}
\rput(-.03,1){1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.6pt]{0}{1}{-.5 x 2 exp mul 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.6pt]{1}{2}{.5 x 2 exp mul -2 x mul add 2 add}
\end{pspicture*}\]
\enmp
\bgen
\item Justifier que $f$ estcontinue sur $[0;2]$.
\item Donner une expression de la fonction d�riv�e $f'$ de $f$.
Montrer que $f'$ est aussi continue sur $[0;2]$.
\item Donner la pente � la courbe en 0 et en 2.
\item Donner la pente de la courbe au point d'abscisse $x$. Comment varie cette pente ? Dresser son tableau de variation.
\item Une norme impose que la pente d'un tel toboggan ne d�passe pas 1,5 en valeur absolue. Est-ce le cas ici ?
\enen
\bgex
Soit $f$ la fonction exponentielle.
\bgen
\item Donner la convexit� de $f$.
\item D�terminer l'�quation de la tangente � la courbe de $f$ au point d'abscisse 1.
\item En d�duire que, pour tout r�el $x$, $e^x>x$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par
$f(x)=x^3+3x^2+0,5x+1$.
\bgen
\item \'Etudier la convexit� de $f$ sur $\R$.
\item D�terminer les abscisses des �ventuels points d'inflexion de la courbe de $f$.
\enen
\enex
\bgex
M\^eme exercice avec la fonction $g(x)=xe^x$, puis avec la fonction
$h(x)=e^{-x^2}$.
\enex
\bgex \textbf{QCM} Indiquer les bonnes r�ponses (une ou plusieurs par question). \\[.4em]
\noindent\bgmp{8.8cm}
1. \bgmp[t]{8.6cm}La fonction d�riv�e de la fonction $h$ d�finie sur~$\R$
par $h(x)=\lp2x^2+4x+6\rp e^{5x+7}$ est $h'(x)=$:
\bgen[a)]
\item $\lp2x^2+4x+6\rp e^{5x+7}+(4x+4)e^{5x+7}$
\item $2\lp5x^2+12x+17\rp e^{5x+7}$
\item $5e^{5x+7}\lp2x^2+4x+6\rp+e^{5x+7}(4x+4)$
\item $5e^{5x+7}(4x+4)$
\enen\enmp
\enmp\hfill
\bgmp{8.8cm}
2. \bgmp[t]{8.5cm}La fonction $k$ d�finie sur $\R$ par $k(x)=\sqrt{x^2+1}$ est:
\bgen[a)]
\item croissante sur $\R$
\item croissante sur $[0;+\infty[$
\item convexe sur $[0;+\infty[$
\item convexe sur $\R$.
\enen\enmp
\enmp\\[.6em]
\noindent\bgmp{8.8cm}
3. \bgmp[t]{8.5cm}La fonction $l$ d�finie sur $\R$ par
\mbox{$l(x)=\lp x^2-5x+4\rp^2$} admet
\bgen[a)]
\item un point d'inflexion
\item deux points d'inflexion
\item trois points d'inflexion
\item quatre points d'inflexion
\enen\enmp
\enmp\hfill
\bgmp{8.8cm}
4. \bgmp[t]{8.5cm}La fonction $m$ d�finie sur $\R$ par
\mbox{$m(x)=e^{x^2-2x+3}$}:
\bgen[a)]
\item admet pour d�riv�e $m':x\mapsto 2(x-1)m(x)$
\item admet pour d�riv�e $m':x\mapsto e^{2x-2}$
\item est concave sur $\R$
\item est convexe sur $\R$.
\enen\enmp
\enmp
\enex
\noindent\bgmp{9.6cm}
\bgex
On consid�re la fonction $g$ d�finie sur $[1;5]$ dont la courbe repr�sentative est trac�e ci-contre.
\medskip
1. \bgmp[t]{8cm}Que vaut $g'(3)$ ?\\[.5em]
a) $g'(3)=-3$ \hfill b) $g'(3)=-1$ \\[.5em]
c) $g'(3)=\dfrac32$ \hfill d) $g'(3)=-\dfrac32$
\enmp
\enex
\enmp\quad
\bgmp{8cm}
\[\psset{unit=1.8cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-.2,-.4)(5.2,2)
\nwc{\divd}[1]{#1 2 div}
\nwc{\divt}[1]{#1 3 div}
\psline(-.5,0)(5.2,0)
\psline(0,-1)(0,2.2)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{1}{5}{1 3 div x 1 sub mul x 4 sub 2 exp mul}
\multido{\i=0+1}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!\divd{\i}\space-2)(!\divd{\i}\space2)
\psline(!\divd{\i}\space-.1)(!\divd{\i}\space.1)}
\multido{\i=-1+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!0\space\divt{\i})(!5.5\space\divt{\i})
\psline(!-.1\space\divt{\i})(!.1\space\divt{\i})}
\rput[r](-.1,-.3){0}
\rput[r](-.1,1){1}
\multido{\i=1+1}{5}{\rput(\i,-.3){\i}}
\psline{<->}(2,1.66)(4,-.33)
\end{pspicture*}\]
\enmp
\medskip
2. $g'(x)=0$ pour: \qquad
a) $x=1$ \qquad
b) $x=2$ \qquad
c) $x=3$ \qquad
d) $x=4$
\medskip
3. La fonction $g$ semble convexe sur: \qquad
a) $[2;4]$ \qquad b) $[1;3]$ \qquad c) $[1;2]$ \qquad d) $[3;5]$
\medskip
4. $g''$ �tant la d�riv�e de $g'$, on a: \qquad
a) $g''(3)=3$ \qquad
b) $g''(2)=0$ \qquad
c) $g''(3)=0$ \qquad
d) $g''(4)=0$
\medskip
5. $g'\geqslant0$ sur: \qquad
a) $[1;5]$ \qquad
b) $[1;2]\cup[4;5]$ \qquad
c) $[2;4]$ \qquad
d) $[2;3[\cup]3;4]$
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par: \quad
$f(x)=4x^3-15x^2-18x+12$.
\bgen
\item Dresser le tableau de variations de $f$. Pr�ciser les limites.
\item \'Etudier la convexit� de $f$.
\item D�terminer les coordonn�es des �ventuels points d'inflexion de la courbe repr�sentative de $f$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item D�terminer la d�riv�e $f'$ de $f$, puis sa d�riv�e seconde $f''$.
\item \'Etudier le signe de $f''(x)$ sur $\R$. En d�duire les variations de $f'$.
\item En d�duire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.
Pr�ciser les limites en l'infini.
\enen
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe repr�sentative de $f$ dans un rep�re orthonorm� et la droite $\mathcal{D}: y=x+1$.
\bgen[a)]
\item Pr�ciser la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
\item D�terminer les coordonn�es des �ventuels points de $\mathcal{C}$ o� la tangente � $\mathcal{C}$ est parall�le � $\mathcal{D}$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Soit $h$ la fonction d�finie par l'expression
$h(x)=e^{\sqrt{x^2-5x+6}}$.
\bgen
\item Pr�ciser l'ensemble $\mathcal{D}_h$ de d�finition de $f$.
\item D�terminer la fonction d�riv�e $h'$ de $h$.
\item \'Etudier les variations de $h$.
\item D�terminer les �quations des tangentes $T_1$ et $T_4$ � la courbe repr�sentative de $h$ aux points d'abscisses 1 et 4.
\item D�terminer les points d'intersection de $T_1$ et $T_4$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $g$ la fonction d�finie sur $\R\setminus\la1\ra$ par
$g(x)=\dfrac{e^x}{1-x}$.
\bgen
\item D�terminer $g'(x)$, puis montrer que $g''$ a pour expression $g''(x)=\dfrac{e^x\lp x^2-4x+5\rp}{(1-x)^3}$.
\item En d�duire la convexit� de $g$ et les abscisses des �ventuels points d'inflexion.
\item D�terminer une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de $g$ au point d'abscisse 0.
\item Montrer que, pour tout $x>1$, on a
% $e^x\geqslant5x^2-6x+1$.
$e^x\geqslant-2x^2+3x-1$.
\enen
\enex
\medskip
\noindent\bgmp[t]{10.4cm}
\bgex \textsl{D'apr�s BAC ES, 2019}\\
On donne ci-contre la courbe $C$ repr�sentative d'une fonction $f$ d�finie et d�rivable sur $[0;3]$. La droite $\mathcal{D}$ est tangente � $C$ au point d'abscisse 0 et passe par le point $A(0,5\,;\,1)$ et par l'origine du rep�re. \\
La tangente $T$ � la courbe $C$ au point d'abscisse 1 est parall�le � l'axe des abscisses.
\medskip
\textbf{Partie A}
\bgen
\item D�terminer une �quation de $\mathcal{D}$.
\item Donner la valeur de $f'(1)$. Jusifier.
\item Proposer un intervalle sur lequel $f$ semble concave.
\enen
\enex
\enmp
\bgmp[t]{8cm}
\[\psset{xunit=2.5cm,yunit=3.3cm}
\begin{pspicture*}(-.4,-.38)(3.3,1.6)
\nwc{\divd}[1]{#1 2 div}
\psline(-.2,0)(3.2,0)
\psline(0,-.2)(0,2)
\multido{\i=1+1}{6}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!\divd{\i}\space-.2)(!\divd{\i}\space2)
\psline(!\divd{\i}\space-.06)(!\divd{\i}\space.06)}
\multido{\i=0+1}{5}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=.5pt](!-.2\space\divd{\i})(!3.2\space\divd{\i})
\psline(!-.06\space\divd{\i})(!.06\space\divd{\i})}
\rput[r](-.1,1){1}
\rput(1,-.2){1}
\rput(2,-.2){2}
\rput(3,-.2){3}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x mul 2.718 -.5 x 2 exp mul exp mul}
\rput(2.8,.22){\blue$C$}
\psplot{-.15}{2}{2 x mul}
\rput(.56,1.4){$\mathcal{D}$}
\psline[arrowsize=7pt]{<->}(.66,1.22)(1.4,1.22)
\rput(1,1.22){\large\bf$+$}
\rput(1.1,1.3){$T$}
\psline[arrowsize=7pt]{<->}(1.38,1.14)(2.35,.18)
\rput(1.8,.7){\large\bf$+$}
\end{pspicture*}\]
\enmp
%\medskip
\noindent\textbf{Partie B}
La fonction $f$ est d�finie sur $[0;3]$ apr l'expression
$f(x)=2xe^{-0,5x^2}$.
\bgen
\item Montrer que, pour tout $x\in[0;3]$,
$f'(x)=\lp2-2x^2\rp e^{-0,5x^2}$.
\item \'Etudier les variations de $f$ sur $[0;3]$.
\item D�terminer la d�riv�e seconde de $f$ et �tudier sa convexit�.
\enen
\medskip
\noindent\textbf{Partie C}
En Europe, les observateurs d'une maladie n�cessitant une hospitalisation consid�rent qu'ils peuvent mod�liser par cette fonction $f$ l'�volution du nombre de lits occup�s par des malades pendant les trois mois d'hiver. \\
Pour tout $x$ appartenant � l'intervalle $[0;3]$, $f(x)$ repr�sente le nombre de lits occup�s, exprim� en million, � l'instant $x$, exprim� en mois. \\
Un journal affirme que cet hiver le nombre de lits occup�s lors du pic de la maladie a d�pass� le million. \\
Que dire de cette affirmation ?
\end{document}
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