Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques STI2D: probabilités},
pdftitle={Devoir de mathématiques: probabilités},
pdfkeywords={probabiltés, loi normale, loi exponentielle,
intervalle de fluctuation, Mathématiques, TSTI2D, terminale}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
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\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
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\nwc{\TITLE}{Corrigé du devoir de mathématiques}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}
\bgex \textbf{Bac STI2D, juin 2015}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a.]
\item La figure 3 donne la courbe repr\'esentative $C_f$
de la densit\'e $f$ de cette loi normale,
car elle est centr\'ee (axe de sym\'etrie) sur
la moyenne $\mu=1,5$.
\item Avec la calculatrice
$P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)\simeq 0,6826$.
\textsl{(remarque: il s'agit de la probabilit\'e
$P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)$)}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a.]
\item La probabilit\'e que cette bouteille contienne
exactement 1,48 litre de jus de fruits est
nulle: $P(X=1,48)=0$.
\item La probabilit\'e que cette bouteille contienne entre
1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits est
$P(1,46\leqslant X\leqslant >1,54)\simeq 0,9924$.
\item La probabilit\'e que cette bouteille d\'eborde sur la
cha\^ine d'embouteillage est
$P(X> 1,55)=1-P(X\leqslant 1,55)\simeq0,0004$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a.]
\item L'intervalle de fluctuation asymptotique \`a 95\,\%
de la fr\'equence observ\'ee de bouteilles non conformes dans un tel
lot est, avec $p=0,0077$,
\[I=\lb\, p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ; \
p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \, \rb
\simeq\Bigl[ 0,0060\,;\,0,0094 \Bigr]\]
\item Dans le lot de 10\,000 bouteilles, il y a 90\,bouteilles
non conformes, soit $p=\dfrac{90}{10\,000}=0,009$.
Cette proportion appartient \`a l'intervalle de fluctuation;
ce taux \'elev\'e ne l'est donc pas anormalement,
mais s'explique par la fluctuation d'\'echantillonnage.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\bgex
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item La densité de probabilité de la loi exponentielle
est $f$ définie par $f(x)=\mu e^{-\mu x}=0,008e^{-0,008x}$,
et $F$ définie par $F(x)=-e^{-0,008x}$ en est une primitive,
et alors la probabilité d'attendre moins de 2 minutes, soit 120 secondes est \\
$\dsp P(T\leqslant 120)=\int_0^{120}f(x)dx=F(120)-F(0)
=-e^{-0,008\tm 120}-(-1)\simeq 0,617\simeq 61,7\%$
\medskip
De même on calcule la probabilité d'attendre plus
de 5 minutes, soit 300 secondes: \\
$P(T> 300)=1-P(T\leqslant 300)=1-\lp-e^{-0,008\tm300}+1\rp
\simeq 0,091\simeq 9,1\%$.
\item En moyennen, le temps d'attente est
$E(T)=\dfrac{1}{\mu}=\dfrac{1}{0,008}=125$ secondes.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item $E(T')=\dfrac1\lambda=150\iff \lambda=\dfrac{1}{150}$.
\item On a
$\rho=\dfrac{\lambda}{\mu}=\dfrac{1}{150\tm0,008}
=\dfrac{1}{1,2}\simeq 0,833$.
Ainsi, le nombre de personnes dans le système est
$\dfrac{\rho}{1-\rho}\simeq 4.99$ soit 5 personnes.
Il y a donc 4 personnes en moyenne dans la file d'attente.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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