Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Logarithme et exponentielle

Terminale STI2D

Logarithme et exponentielle

Devoir corrigé de mathématiques, terminale STI2D: bac STI2D, métropole septembre 2016: fonctions exponentielle et logarithme
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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, terminale STI2D: bac STI2D, métropole septembre 2016: fonctions exponentielle et logarithme
Niveau
Terminale STI2D
Mots clé
exponentielle, logarithme, annales de BAC STI2D, Devoir corrigé de mathématiques, maths, TSTI2D, terminale STI2D,

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques: logarithme et exponnetielle},
    pdftitle={Devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={logarithme, exponentielle, Mathématiques, TSTI2D, terminale,
      STI2D, STI, STL, SPCL, 2016, métropole}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\nwc{\TITLE}{Devoir de mathématiques}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/Mathematiques-Terminale-STI2D.php}{xymaths - Terminale STI2D}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}%\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip

\emph{Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius 
($^\circ C$) et le temps $t$ est exprimé en minutes.}

Dans une entreprise de fabrication de pièces métalliques, 
un ouvrier doit manipuler des plaques chaudes pendant une dizaine de secondes. 
\`A la sortie du four, les plaques sont à une température de $300^\circ\,C$ 
et disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 
26~\degres C par un système de ventilation.

La commission de sécurité prescrit qu'avec les gants actuels, 
l'ouvrier doit attendre 10 minutes pour manipuler les plaques à leur sortie 
du four. 
Afin de réduire ce délai d'attente, le directeur s'interroge sur l'achat 
de nouveaux gants dont les caractéristiques techniques établies par la 
commission de sécurité sont les suivantes:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.75\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Sans couture.
\item[$\bullet~~$] Très doux et confortables.
\item[$\bullet~~$] Température maximale d'utilisation : 240~\degres C.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}

\bgen
\item Dans cette question, on ne demande pas de justification.
\bgen[a)]
\item Quelle est, à la sortie du four, la température des plaques ?
\item Comment varie, à la sortie du four, la température des plaques 
  au cours du temps ?
\item Vers quelle valeur la température des plaques devrait-elle 
  se stabiliser ?
\enen
\item La température d'une plaque depuis sa sortie du four, 
  est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en minutes, 
  par une fonction $g$. 
  On admet que cette fonction $g$ est définie sur l'intervalle 
  $[0;+\infty[$ par $g(t)=274 e^{at}+26$ où $a$ est un nombre réel.
\bgen[a)]
\item Calculer $g(0)$. Ce résultat est-il conforme aux données ?
\item D'après la question 1, quel doit être le signe du nombre réel $a$ ?
\item On sait que 3 minutes après sa sortie du four la température 
  de la plaque, arrondie à l'unité, est de 262~\degres C.

  Montrer que la valeur approchée à $10^{-2}$ près du 
  coefficient $a$ est $-0,05$.
\enen
\item Dans cette question on considère que, pour tout nombre réel $t$ 
  de l'intervalle $[0;+\infty[$ :
      \[ g(t)=274 e^{-0,05t}+26 .\]

\bgen[a)]
\item Avec les gants actuellement utilisés, à quelle température 
  l'ouvrier pourra-t-il manipuler les plaques après leur sortie du four, 
  en respectant les caractéristiques techniques de la commission de 
  sécurité ?
\item Si le directeur décidait d'équiper les ouvriers avec les nouveaux 
  gants, quel délai d'attente minimal serait requis avant que les ouvriers 
  puissent manipuler les plaques ?
\item En déduire le gain de temps, en pourcentage, d\^u à l'utilisation de 
  ces nouveaux gants.
\enen
\enen

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip

On considère la courbe $C$ associée à une fonction $f$ représentée 
en annexe, ci-dessous, avec la droite~T, tangente à la courbe $C$ 
au point d'abscisse 0.

\medskip

\bgen
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[-1;1,5]$ 
  et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations 
  suivantes:
  \bgen[a)]
  \item $f(x) \geqslant 1$
  \item $f'(x) \geqslant 0$.
  \end{enumerate}
\item  
  \bgen[a)]
  \item Donner l'équation de la tangente T à la courbe $C$ au point de
    coordonnées (0;1) en sachant que cette tangente passe par le point de
    coordonnées (2;7).
  \item En déduire le nombre dérivé $f'(0)$.
  \enen
\enen

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation 
$f(x)=e^{-2x} + 5x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la limite de $f$ en $+ \infty$.

On admet pour la suite que la limite de $f$ en $- \infty$ est $+ \infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\R$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  
  \bgen[a)]
  \item Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de 
    solutions de l'équation $f(x)=2$.
  \item Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de chaque solution.
  \enen
\enen

\medskip
\textbf{Partie C} \\
Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ 
par $g(x)=e^{-2x}+2x-1$. 

\vspace{3em}
\ct{\textbf{\large ANNEXE}}
\[
\psset{xunit=2.66cm,yunit=1.33cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(2.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\multido{\n=-1.75+0.50}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,8.5)}
\psaxes[linewidth=1.9pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2,-0.25)(2.5,8.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{2}{5 x mul 1 2.71828 x 2 mul  exp div  add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2.5}{3 x mul 1 add} 
\uput[r](2.25,7.7){T}
\uput[u](2.6,0){$x$}
\uput[l](0,8.35){$y$}
\uput[l](-1,2.25){\blue $C$}
\end{pspicture*}
\]


\label{LastPage}
\end{document}

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