Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Limites de fonctions},
pdftitle={Limites de fonctions},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
limite, fonction, asymptote}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}$
}
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}\medskip
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}\medskip
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ndef}\medskip
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Limites de fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TSTI/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-.3cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}$STI2D
\bigskip
\noindent\bgmp{10cm}{\bf\ul{Exemple 1:}}
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R\setminus\la-1\ra$
par
$\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$. \vsp
Pour tout $x\in \R\setminus\la-1\ra$, $\dsp f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$.\
\enmp\hfill
\bgmp{7.5cm}
\begin{tabular}[t]{|c|lcccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&\zb&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&\db&$+$&\\\hline
&&&&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}
&
\psset{xunit=1cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
\psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
\end{pspicture}
&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
Que se passe-t-il lorsque $x$ se rapproche de $-1$ ? Comment se
comporte $f(x)$ ?
Et lorsque $x$ devient de plus en plus grand, c'est-à-dire se
rappproche de $+\infty$ ou $-\infty$ ?
\paragraph{\ul{En $+\infty$ et $-\infty$:}}
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grande, positivement ou
négativement, $x$ et $x+1$ sont "très proches", et ainsi,
$\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$ devient proche de
$\dsp \frac{2x}{x}=2$.
On écrit alors, $\dsp \lim_{x\to-\infty} f(x)=2$ et
$\dsp \lim_{x\to+\infty} f(x)=2$.
\paragraph{\ul{En $-1$:}} lorsque $x$ se rapproche de $-1$, $2x$ se
rapproche de $-2$, et $x+1$ se rapproche de $0$.
\noindent
Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x>-1$, alors $x+1>0$ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $\dsp\frac{-2}{x+1}$ donc de
$-\infty$.
\\
Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x<-1$, alors $x+1<0 $ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $+\infty$.
\\
On écrit:
\limcdt{x\to-1}{x>-1}{f(x)}{-\infty}, et
\limcdt{x\to-1}{x<-1}{f(x)}{+\infty}.
\\
On peut alors compléter le tableau de variations, et tracer l'allure
de la courbe représentative:
\bgmp{10.4cm}
\begin{tabular}[t]{|c|cccrlcc|}\hline
$x$&$-\infty$&&&$-1$&&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&&\zb&&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&&\db&&$+$&\\\hline
&&&$+\infty$&&&&$2$\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}
&&
\psset{xunit=1cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
\psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
\end{pspicture}
&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$2$&&&&$-\infty$&&\\\hline
\end{tabular}
\bigskip
Les deux droites, horizontale d'équation $y=2$ et verticale d'équation
$x=-1$, sont des asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\enmp\quad
\bgmp{6.5cm} %\vspace*{-1.cm}
\psset{arrowsize=6pt,xunit=0.6cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3.5)(7,7)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,7)
\pcline[linewidth=0.5pt](-1,-4)(-1,7)\rput{90}(-1.5,-2.5){$x=-1$}
\psline[linewidth=0.5pt](-5.9,2)(6,2)\rput(6.,2.4){$y=2$}
\rput(0.6,-0.5){$O$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-5.8}{-1.4}{
2 x mul
x 1 add
div
}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-0.68}{5.8}{
2 x mul
x 1 add
div
}
\rput(4,1){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bigskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 2:}}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$
par l'expression $f(x)=\dfrac{3}{x+3}+5$.
\noindent
Tracer à l'aide d'une calculatrice la courbe
représentative de $f$.
Conjecturer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$.
\bigskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 3:}}
M\^eme exercice que précédemment avec $f$ définie sur
$]0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{10^{-4}}{x^2}$.
\bigskip
\noindent{\bf\ul{Exemple 4:}}
Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par
$g(x)=\dfrac{\lp 50+x^{10}\rp^2-2500}{x^{10}}$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Tracer à l'aide d'une calculatrice la courbe de $f$
dans une fen\^etre avec $x_{min}=0$, $x_{max}=10$,
$y_{min}=0$ et $y_{max}=1000$.
Conjecturer alors la limite en $0$ de $f$.
\item Changer la taille de la fen\^etre avec
$x_{min}=0$, $x_{max}=0,1$, $y_{min}=0$ et $y_{max}=200$.
Ce zoom permet-il de confirmer la conjecture précédente ?
\enen
\item Développer $\lp50+x^{10}\rp^2$ et montrer que,
pour tout $x>0$, $f(x)=100+x^{10}$.
En déduire la limite $\dsp\lim_{x\to0}f(x)$.
\enen
\section{Limite d'une fonction à l'infini}
\subsection[Limite en +infini]{Limite en $+\infty$}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[a;+\infty[$,
$a\in\R$.
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit lorsque
$x$ tend vers $+\infty$, quatre cas peuvent se présenter:
\vspd
\bgen[a)]
\item les nombres $f(x)$ deviennent eux aussi "infiniment grands":
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.)(6.5,7)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,3)(3.6,3)\rput(-0.6,3){$10^p$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,3)(3.6,-0.3)\rput(3.6,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
\rput(-1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
x 2 add x 2 add mul 0.08 mul
0.5 add
}
\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
\vspd
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
Pour tout entier $p$,
il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x> x_0$ alors $f(x)>10^p$.
\enmp
\bgprop{
$\dsp\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$,
et plus généralement,
pour tout entier non nul $p$,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}x^p=+\infty$
}
\item[b)] Les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand négativement
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(6.4,1.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-3)(3.6,-3)\rput(-0.6,-3.2){$-10^p$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,-3)(3.6,0.3)\rput(3.6,0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(4.61,-4)
\rput(-1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,-4)(4.61,0.3)
\rput(4.6,0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
x 2 add x 2 add mul -0.08 mul
-0.5 add
}
\rput(6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$.
Pour tout entier $p$,
on peut avoir $f(x)<-10^{p}$, dès
que on choisit $x$ assez grand.
\enmp
\item[c)] Les nombres $f(x)$ tendent, ou convergent, vers une valeur
$l$:
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2.,-1.)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)
%\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-2.5,2)(6,2)\rput(-2,2.3){$y=l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)
%\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0,1.5)(0,2.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,1.3)(-0.2,1.5)(0.2,1.5)(0.2,1.3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,2.7)(-0.2,2.5)(0.2,2.5)(0.2,2.7)
\rput(-0.5,2.4){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psline[linewidth=0.5pt](1.2,2.5)(1.2,-0.3)\rput(1.2,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-0.7}{6}{
5 x 2 add x 2 add mul div
2 add
}
\rput(-1.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=l$.
Pour tout entier $p$, toutes les valeurs $f(x)$ sont comprises dans
l'intervalle $]l-10^{-p};l+10^p[$ dès que on chosisit $x$ assez
grand.
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)
%\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-2.5,2)(6,2)\rput(-2,2.3){$y=l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)
%\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0,1.5)(0,2.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,1.3)(-0.2,1.5)(0.2,1.5)(0.2,1.3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,2.7)(-0.2,2.5)(0.2,2.5)(0.2,2.7)
\rput(-0.5,2.4){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psline[linewidth=0.5pt](1.4,2.5)(1.4,-0.3)\rput(1.4,-0.6){$x_0$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1pt]{0.25}{6}{
x 180 mul 3.14 div 5 mul sin
x div
2 add
}
\rput(1,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
On dit que la droite d'équation $y=l$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$
en $+\infty$.
\enmp
\item[d)]
\bgmp{11cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier.
\enmp
\bgmp{5cm}
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(16,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(16,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-1}{15}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul sin
}
\rput(1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\enen
\subsection[Limite en -infini]{Limite en $-\infty$}
De même que pour la limite en $+\infty$, quatre cas sont possibles:
\bgmp{8cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-1.2)(2,6.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6.5)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,3)(-3.6,3)\rput(0.6,3){$10^p$}
\psline[linewidth=0.5pt](-3.6,3)(-3.6,-0.3)\rput(-3.6,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
\rput(1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,4)(-4.61,-0.3)
\rput(-4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul 0.08 mul
0.5 add
}
\rput(-6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}
\[\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty\]
Pour tout entier $p$, on a $f(x)>10^p$, dès
que on choisit $x$ assez grand négativement.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-3.cm]{0.5pt}{6.2cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-6.2)(2,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-6.5)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,-3)(-3.6,-3)\rput(0.6,-3){$-10^p$}
\psline[linewidth=0.5pt](-3.6,-3)(-3.6,0.3)\rput(-3.6,0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,-4)(-4.61,-4)
\rput(1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,-4)(-4.61,0.3)
\rput(-4.6,0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul -0.08 mul
-0.5 add
}
\rput(-6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}
\[\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty\]
Pour tout entier $p$, on a $f(x)<-10^p$, dès
que on choisit $x$ assez grand négativement.
\enmp
\vspd
\ct{\rule[0pt]{8cm}{0.5pt}}
\vspd
\bgmp{8cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-0.6)(3,5.2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,5.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.3,2.5)(-6,2.5)
%\rput(1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](1.3,2)(-6,2)\rput(2.2,2.3){$y=l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.3,1.5)(-6,1.5)
%\rput(1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0,1.5)(0,2.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,1.3)(-0.2,1.5)(0.2,1.5)(0.2,1.3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,2.7)(-0.2,2.5)(0.2,2.5)(0.2,2.7)
\rput(0.5,2.4){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psline[linewidth=0.5pt](-1.2,2.5)(-1.2,-0.3)\rput(-1.2,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{0.7}{
5
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul
div
2 add
}
\rput(1.4,4.8){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
Tout intervalle ouvert contenant $l$ contient $f(x)$ pour
$x$ suffisament grand négativement.
On écrit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=l$.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-2.cm]{0.5pt}{4.6cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier.
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-2)(2,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-15.5,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-15}{1}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul cos
}
\rput(-1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Limites en l'infini des fonctions de référence}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$f(x)$
&$\sqrt{x}$
&$x^2$
&$x^n$, $n\in\N^*$
&$\dsp\frac{1}{x}$
&$\dsp\frac{1}{\sqrt{x}}$
&$\dsp\frac{1}{x^2}$
&$\dsp\frac{1}{x^n}$, $n\in\N^*$
&\bgmp{1.2cm}$\cos x$\\ $\sin x$\enmp
\\\hline
Limite en $+\infty$
&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$0$&$0$&$0$&$0$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
Limite en $-\infty$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
&$+\infty$
&\bgmp{2.8cm}$+\infty$ si $n$ pair\\$-\infty$ si $n$ impair\enmp
&$0$&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}&$0$&$0$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\section{Limite en un point}
Soit $a\in\R$.
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $a$, trois
cas peuvent se présenter:
\vspd
\bgen[a)]
\item les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand:
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,6.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6.5)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.45)(3.6,2.45)\rput(-0.6,2.5){$10^p$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](2.4,6)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=0.5pt](3,6)(3,-1.5)\rput(4,-1.5){$x=a$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3.6,6)(3.6,-0.6)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(2.6,4)
\rput(-1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,4)(2.6,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.4,0)(3.6,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.2,-.2)(2.4,-.2)(2.4,.2)(2.2,.2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](3.8,-.2)(3.6,-.2)(3.6,.2)(3.8,.2)
\rput(2.7,-.5){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.7}{
-2 x -3 add div -1 add
}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$.
Pour tout entier $p$, on a $f(x)>10^p$, dès
que on choisit $x$ suffisament proche de $a$.
\vspd
On dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote à
$\mathcal{C}_f$.
\enmp
\item les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand négativement:
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7.2)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-7)(0,2)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-2.45)(3.6,-2.45)\rput(-0.6,-3){$-10^p$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](2.4,-7)(2.4,0.6)
%\rput(2.,1.1){$a-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](3,-7)(3,1.3)\rput(4,1.4){$x=a$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3.6,-7)(3.6,0.6)
%\rput(4,1.1){$a+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
\rput(-1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.4,0)(3.6,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.2,-.2)(2.4,-.2)(2.4,.2)(2.2,.2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](3.8,-.2)(3.6,-.2)(3.6,.2)(3.8,.2)
\rput(2.7,-.5){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.65}{
2 x -3 add div -1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$.
Pour tout entier $p$, on a $f(x)<-10^p$,
dès que on choisit $x$ suffisament proche de $a$.
\vspd
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à
$\mathcal{C}_f$.
\enmp
\item les nombres $f(x)$ se rapprochent de, ou tendent vers, le nombre $l$
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(6,7.6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,7)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,3.2)(3.6,3.2)
%\rput(-1,3.2){$l-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,4)(3.6,4)\rput(-0.6,4){$l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,4.8)(3.6,4.8)
%\rput(-1,4.8){$l+\epsi$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](1.9,7)(1.9,-0.6)
%\rput(1.4,-1.1){$a-\alpha$}
\psline[linewidth=0.5pt](2.5,-0.3)(2.5,7)\rput(2.5,-0.6){$a$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3.1,7)(3.1,-0.6)
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{5}{
-0.2 x x mul x mul mul
1.3 x x mul mul add
-1 add
}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=l$.
$f(x)$ peut \^etre aussi proche de $l$ que voulu pourvu que $x$ soit
suffisament proche de $a$.
\vspd
Si $f$ est définie en $a$ et que $f(a)=l$, on donc
$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$, et la fonction est {\bf\ul{ continue en $a$}}.
\enmp
\enen
\bgdef{
Si $f$ est une fonction telle que
$\dsp \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, on dit que $f$ est \ul{continue} en
$a$.
}
\section{Opérations sur les limites}
\noindent Les résultats concernant les opérations sur les limites des
suites sont applicables aux limites de fonctions.
\vspace{-0.5cm}
\subsection{Limite d'une somme}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
& $-\infty$ \\\hline
Limite de $f+g$& $l+l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&$-\infty$ &\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Limite d'un produit}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l>0$ & $l<0$ & $l>0$ & $l<0$ & $+\infty$ &
$+\infty$ & $-\infty$ &$0$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
& $+\infty$ & $-\infty$ &$-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline
Limite de $f g$& $l l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&$+\infty$ &$+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Limite d'un quotient}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ &
$0$&$+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $l'>0$ &
$l'<0$ & $l'>0$ & $l'<0$ &$0$& $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline
Limite de $\dsp\frac{f}{g}$& $\dsp\frac{l}{l'}$ & $0$ & $+\infty$ & $-\infty$
&$-\infty$ &$+\infty$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Formes indeterminées}
Les formes indéterminées nécessitent une étude particulière.
Elles sont au nombre de quatre:
\[
" +\infty - \infty " \hspace{1cm}
" 0 \tm \infty " \hspace{1cm}
" \frac{\infty}{\infty} " \hspace{1cm}
" \frac{0}{0} "
\]
\vspace{-0.2cm}
\bgex Déterminer les limites suivantes:
\vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3+3x^2-6$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x+2}$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} \dfrac{1-2x}{\lp x-3\rp^2}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x-3+\dfrac{1}{x^2+x+1}\rp$
\enex
\bgex
Déduire de chacune des limites suivantes, si possible, l'équation
d'une asymptote verticale ou horizontale à la courbe représentative de
la fonction $f$.
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= 3$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} f(x)= -\infty$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= -6$
\quad
d)\ \ \limgd{x\to1}{x>1}{f(x)}$=+\infty$
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= 0$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} f(x)= -\infty$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty$
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]1;+\infty[$
par l'expression
$f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}$.
\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ en $1$ et $+\infty$.
Interpréter graphiquement ces résultats en terme d'asymptote.
\item Calculer l'expression de la dérivée $f'$ de $f$.
En déduire le sens de variation de $f$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$
(en y incluant les résultats sur les limites).
\item Représenter graphiquement l'allure de la courbe représentative
de $f$ à l'aide des résultats précédents.
\enen
\enex
\bgex
Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de la
fonction $f$ dans chacun des cas suivants:
\bgen[a)]
\item $f$ définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-2}$
\item $f$ définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{-2x^2+x-3}{x(x-1)}$
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier les limites de la fonction $f$ aux valeurs demandées,
et interpréter graphiquement:
\noindent
a)\ $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x^2}$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\quad
b)\ $f(x)=\lp 4-x^2\rp\lp 3x-2\rp$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\vspd\noindent
c)\ $f(x)=4x-1+\dfrac{1}{x-3}$ en $3$, en $+\infty$ et en $-\infty$
\quad
d)\ $f(x)=\dfrac{4x}{4-x}$ en $0$ et en $4$
\enex
\subsection{Composition de fonctions}
\vspace{-0.5cm}
\bgdef{
Soit $f$ et $g$ deux fonctions.
On appelle fonction composée de $g$ par $f$ la fonction
$x\mapsto f\lp g(x)\rp$.
}
\vspace{-0.3cm}
\bgprop{
$a$, $b$ et $c$ désignent soit des réels, soit $+\infty$, soit
$-\infty$.
Si $\dsp\lim_{x\to a} g(x)=b$
et $\dsp\lim_{x\to b} f(x)=c$
alors
$\dsp\lim_{x\to a} f(g(x))=c$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $f(x)=\sqrt{3x^2+x+2}$.
On a $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 3x^2+x+2\rp=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x}=+\infty$.
Ainsi, par composition des limites,
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
\bgex
Déterminer les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{5-\dfrac{4}{x^2}}$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 2-\dfrac{1}{x}\rp^4$
\quad
c)\ \ \limgd{x\to0}{x>0}{\sqrt{\dfrac{2-x}{x}}}
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2+9-\dfrac{16}{x^2+4}}$
\enex
\section{Formes indéterminées}
Les formes indéterminées sont les m\^emes, et se traitent de la m\^eme
manière, que pour les suites.
\bgex
Determiner les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^5-6x^4+3x^2-12\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp x^3+x+3\rp$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x+2}{3x-7}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x^2+2x}{3x^3-7}$
\vspd
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\quad
h)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\enex
\section{Exercices}
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle
$\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$ par
$f(x)=2x-3+\dfrac{9}{2x+1}$. \\
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer $\dsp\lim_{x\to-\frac12}f(x)$.
\item Que peut-on dire du résultat précédent pour la courbe
$\mathcal{C}$ ?
\enen
\item Déterminer $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
Montrer que, pour tout $x$ de $\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$,
$f'(x)=\dfrac{8(x+2)(x-1)}{(2x+1)^2}$.
En déduire le tableau de variation de $f$ sur
$\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$.
Compléter ce taleau de variation en y portant les limites obtenus au
1. et 2.
\item Déduire du tableau de variation le signe de $f(x)$ lorsque $x$
varie dans $\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$.
\item Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=10$
sur $\Bigl]-\dfrac12;+\infty\Bigr[$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]2;+\infty[$
par $f(x)=x-1-\dfrac{2}{x-2}$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$,
et $\Delta$ la droite d'équation $y=x-1$.
\bgen
\item Déterminer les limtes de $f$ aux bornes de son ensemble de
définition.
Préciser les éventuelles asymptotes à $\mathcal{C}$.
\item
\bgen[a)]
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$.
Déterminer $f'(x)$.
\item Montrer que, pour tout $x$ de $]2;+\infty[$,
$f'(x)>0$.
En déduire le tableau de variation de $f$.
Compléter ce tableau avec les limites calculées précédemment.
Tracer alors l'allure de la courbe~$\mathcal{C}$.
\enen
\item Soit $x\in]2;+\infty[$;
on note $M$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$,
et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$.
Placer les points $M$ et $N$ sur le graphique précédent.
Déterminer la distance $MN$ en fonction de $x$,
puis la limite de cette distance lorsque $x$ tend vers~$+\infty$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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