Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Baccalauréat de mathématiques STMG métropole, La Réunion, 2017},
pdftitle={Baccalauréat métropole, La Réunion, 2017 - STMG - Mathématiques},
pdfkeywords={Baccalauréat, bac, Mathématiques, terminale,
STMG, 2017, métropole, La Réunion}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Bac STMG - Métropole, La Réunion - 16 juin 2017}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
\bf\LARGE{Bac STMG \\
Métropole, La Réunion \\
16 juin 2017}
\end{center}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
\medskip
Selon l'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques), en 2015 :
\begin{itemize}
\item 82,4\,\% des logements en France sont des résidences principales ;
\item 9,4\,\% des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles;
\item 8,2\,\% des logements en France sont vacants.
\end{itemize}
\medskip
Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement
dans un immeuble collectif.
\medskip
\begin{itemize}
\item Parmi les résidences principales, 56,9\,\% sont des maisons individuelles.
\item Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, 57,9\,\% sont des maisons
individuelles.
\item Parmi les logements vacants, 48,3\,\% sont des maisons individuelles.
\end{itemize}
On choisit un logement au hasard et on note:
\begin{description}
\item $R~$ l'évènement \og le logement est une résidence principale\fg{} ;
\item $S~$ l'évènement \og le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle\fg{};
\item $V~$ l'évènement \og le logement est vacant\fg{} ;
\item $M~$ l'évènement \og le logement est une maison individuelle\fg{} ;
\item $I~$ l'évènement \og le logement est dans un immeuble collectif\fg.
\end{description}
\medskip
Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.
\medskip
\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe 1}.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og le logement est une maison individuelle et une
résidence principale\fg{} ?\index{probabilité}
\item Montrer que la probabilité, arrondie au millième, pour que le logement soit une maison individuelle est égale à $0,563$.
\item Calculer la probabilité que le logement soit une résidence principale sachant qu'il s'agit d'une maison individuelle.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question
et recopier sur la copie la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte
ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
\medskip
Les deux parties A et B sont indépendantes.
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, traduit l'évolution du SMIC (Salaire minimal
interprofessionnel de croissance) horaire brut en euro entre 2011 et 2015.
Il indique également les taux d'évolution annuels arrondis à 0,1\,\%.\index{taux}
\[\begin{tabular}{|c|m{5.2cm}|*{5}{c|}}
\hline
&\centering A & B & C & D & E & F \\\hline
1 & Année &2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\\hline
2 & SMIC horaire brut en euro& 9 &9,31& 9,43& 9,53& 9,61\\\hline
3 & Taux d'évolution en pourcentage &\cellcolor{lightgray}& & & &\\\hline
\end{tabular}\]
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de :\index{taux}
\smallskip
\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
\textbf{a.~~} $6,0\,\%$ &\textbf{b.~~} $6,8\,\% $&\textbf{c.~~}$7,0\,\% $& \textbf{d.~~} $- 6,3\,\%$
\end{tabular}
\smallskip
\item Le taux d'évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de:
\smallskip
\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
\textbf{a.~~} $1,1\,\%$ &\textbf{b.~~} $1,7\,\% $&\textbf{c.~~}$0,7\,\% $& \textbf{d.~~} $- 1,6\,\%$
\end{tabular}
\smallskip
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C\,3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les
taux d'évolution d'une année à l'autre ? La plage de cellules C\,3 : F\,3 est au format
pourcentage arrondi à 0,1\,\%.
\smallskip
\begin{tabular}{*2{p{4cm}}}
\textbf{a.~~} = (C2 $-$ B2)/C2 &\textbf{b.~~} = (C2 $-$ B\$2)/C2\\[.8em]
\textbf{c.~~} = (C2 $-$ B2)/B2 &\textbf{d.~~}= (C2 $-$ \$B\$2)/B2 \\
\end{tabular}
\smallskip
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 60 et d'écart type 5.\index{loi normale}
\begin{enumerate}
\item La probabilité $p (50\leqslant X\leqslant 70)$ arrondie à 0,01 est égale à :
\smallskip
\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
\textbf{a.~~} $0,60$ &\textbf{b.~~} $0,68$&\textbf{c.~~}$0,95$& \textbf{d.~~} $0,99$
\end{tabular}
\smallskip
\item La probabilité $p(X \geqslant 65)$ arrondie à 0,01 est égale à :
\smallskip
\begin{tabular}{*4{p{4cm}}}
\textbf{a.~~} $0,05$ &\textbf{b.~~} $0,16$&\textbf{c.~~}$0,50$& \textbf{d.~~} $0,80$
\end{tabular}
\smallskip
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
\medskip
Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on
note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par :
\[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 350x + 1000.\]\index{fonction polynôme}
La courbe de la fonction $C $ est représentée sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-600)(11,8500)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-25)(\n,7900)}
\multido{\n=0+500}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.1,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1000]{->}(0,0)(0,-100)(11,8000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1000](0,0)(0,0)(11,8000)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{10}{x x x 15 mul 120 sub mul 350 add mul 1000 add}
\uput[u](0.75,7900){\footnotesize Coût total de production (en euro)}\uput[dr](9,- 500){\footnotesize Longueur (en km)}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
\textbf{Partie A : Étude du coût total}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer le montant des coûts fixes.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total
lorsque l'entreprise produit 6 km de tissu.
\item Déterminer par un calcul sa valeur exacte.
\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre,
de tissu produit lorsque le coût total s'élève à 5500 euros.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : Étude du bénéfice}
\medskip
Le cours du marché offre un prix de 530\,\euro{} le kilomètre de tissu fabriqué par l'entreprise.
Pour tout $x \in [0~;~10]$, on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la
vente de $x$ kilomètres de tissu par l'entreprise.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item Montrer que pour tout $x\in [0~;~10]$,\: $B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - 1000$.
\item Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0~;~10]$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$.\index{dérivée}
\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $B$ sur $ [0~;~10]$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l'entreprise
réalise-t-elle un bénéfice maximal ?
\item Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,25cm}
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
\medskip
Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la
Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015.
\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.15cm}|*{5}{c|}}
\hline
Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\\hline
Rang de l'année: $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5\\\hline
Prix (en dollar) d'une
tonne de cacao: $y_i$ &2589,70 & 2324,85 & 2507,55 & 2847,85 & 3081,45\\\hline
\multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est représenté en \textbf{annexe 2}.
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en
fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.\index{droite d'ajustement}
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation:
\[y = 150,7x + 2 218,3.\]
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $D$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 2}.
\item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donner une estimation du prix moyen d'une tonne de
cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On suppose que le prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire
augmente de 4\,\% par an à partir du 1\up{er} janvier 2015. On note $u_n$ le prix moyen d'une tonne de
cacao, exprimé en dollar, au 1\up{er} janvier de l'année $2015 + n$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item En utilisant le tableau précédent, donner $u_0$ puis calculer $u_1$ arrondi au centième.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire une estimation, arrondie au centième, du prix moyen d'une tonne de cacao en
provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020.
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\begin{minipage}{5cm}
\rule[1ex]{7cm}{0pt}
\textbf{VARIABLES}
$n$ est un nombre entier
$u$ et $k$ sont des nombres réels
\textbf{TRAITEMENT}
Saisir $k$
$n$ prend la valeur 0
$u$ prend la valeur 3081,45
Tant que $u < k$
Faire
\hspace{1.5em}$u$ prend la valeur $1,04 \times u$
\hspace{1.5em}$n$ prend la valeur $n + 1$
Fin Tant que
Afficher $n$
\rule[-1ex]{7cm}{0pt}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip
Si l'on choisit $k = 4000$, quelle valeur affichera cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans
le contexte étudié.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexes à rendre avec la copie}
\end{center}
\textbf{Annexe 1}
\textbf{\textsc{Exercice 1}}
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~}\taput{0,824}}
{
\TR{$M$}\taput{$0,569$}
\TR{$I$}\tbput{$\dots$}
}
\pstree{\TR{$S$~}\tbput{$0,094$}}
{\TR{$M$}\taput{$\dots$}
\TR{$I$}\tbput{$\dots$}
}
\pstree{\TR{$V$~}\tbput{$\dots$}}
{\TR{$M$}\taput{$\dots$}
\TR{$I$}\tbput{$\dots$}
}
}
\end{center}
\vspace{1cm}
\textbf{Annexe 2}
\textbf{\textsc{Exercice 4}}
\medskip
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3000)}
\multido{\n=0+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.05,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45)
\uput[r](0,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de cacao (en dollar)}
\uput[d](9.75,- 150){\footnotesize Rang de l'année}
\end{pspicture}
\label{LastPage}
\end{document}
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