Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Dérivées et probabilités

Terminale STMG

Dérivées et probabilités

Devoir de mathématiques en terminale STMG sur les fonctions dérivées et les probabilités. Utilisation d'un arbre de probabilités et calculs de probabilités contionnelles.
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de maths en STMG: fonction et dérivée et probabilités: arbre de probabilités et probabilités conditionnelles
Niveau
Terminale STMG
Table des matières
  • Étude d'une fonction grâce à sa dérivée. Rentabilité d'une machine.
  • Pièces fabriquées par une machine de production
  • Divers poissons dans un lac
Mots clé
probabilités, arbre pondéré, probabilités conditionnelles et événements indépendants, terminale STMG, TSTMG, devoir corrigé de mathématiques, maths

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\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{tabularx}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm


\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-3cm}

\hfill{\Large Devoir Surveill�}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG
\vspace{-0.2cm}

\bgex
\vspace{-0.4cm}

\paragraph{Partie A} 
Une entreprise a re�u une nouvelle machine dont la complexit� n�cessite un apprentissage progressif. Ainsi, la production �volue en fonction du temps. L'�tude se fait sur les cinq premiers mois.
On note $x$ le nombre de mois �coul�s depuis l'installation de l'appareil.

La fonction donne le nombre de pi�ces, en milliers, fabriqu�es mensuellement par cette machine. Cette fonction est d�finie par :
\vspace{-0.4cm}

\[f(x) = \dfrac{100x}{x+1}\quad 
\text{pour}~ x~\text{variant dans}~ [0~;~ 5].\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction d�riv�e $f'$ de $f$ sur [0 ~;~ 5] peut s'�crire sous la forme :
$\dsp f'(x) = \dfrac{100}{(x + 1)^2}.$

\item 	D�terminer le signe de $f(x)$ sur [0 ~;~ 5] et en d�duire le
  tableau de variations de la fonction. 
\item 	Recopier et compl�ter le tableau de valeurs suivant. \emph{On
  arrondira les r�sultats � l'unit�.} 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
$f(x)$ &	&	&	&75 	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Repr�senter graphiquement la fonction $f$. \emph{On prendra
    pour unit�s : $2$~cm par mois sur l'axe 
    des abscisses et $1$~cm pour $\nombre{10000}$~pi�ces sur l'axe des
    ordonn�es.} 
\item  On estime que la machine est rentable si elle produit au moins
  \nombre{80000}~pi�ces par mois. D�ter\-miner graphiquement sur
  quelle p�riode la machine est rentable. 
\end{enumerate}
	


\paragraph{Partie B}
Pour contr�ler la qualit� de production, on pr�l�ve $250$~pi�ces issues de cette machine.

On s'aper�oit que parmi elles $25$~pi�ces ont une masse inad�quate :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  10 sont trop lourdes
\item[$\bullet~$] 15 sont trop l�g�res.
\end{itemize}
On admet que cet �chantillon est repr�sentatif de l'ensemble de la production.

On pr�l�ve une pi�ce au hasard dans la production de la journ�e.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit� que la pi�ce pr�lev�e ait une masse inad�quate ?
\item   Sachant que la pi�ce pr�lev�e a une masse inad�quate, quelle est la probabilit� qu'elle soit trop lourde ?
\end{enumerate}


\enex


\bgex
Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40\:\% des poissons sont des brochets, 25\:\% des poissons sont des truites et le reste est constitu� de sandres.

\noindent
50\:\% des brochets de ce lac sont de taille r�glementaire ainsi que 60\:\% des truites et 45\:\% des sandres.

On p�che un poisson de ce lac : tous les poissons ont la m�me probabilit� d'�tre p�ch�s.

\medskip

On consid�re les �v�nements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $B$ : � le poisson p�ch� est un brochet � ;
\item[$\bullet~$] $T$ : � le poisson p�ch� est une truite � ;
\item[$\bullet~$] $S$ : � le poisson p�ch� est un sandre � ;
\item[$\bullet~$] $R$ : � le poisson p�ch� est de taille r�glementaire � ;
\item[$\bullet~$] $\overline{R}$ : l'�v�nement contraire de $R$.
 \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item D�crire par une phrase l'�v�nement $\overline{R}$ puis l'�v�nement $T \cap  R$.
\item	Construire un arbre de probabilit� d�crivant la situation.\medskip

\emph{Dans les questions suivantes, les r�sultats seront arrondis au centi�me.}

\item
  \bgit
  \item[(a)]  Justifier que la probabilit� que le poisson p�ch� soit un
    brochet de taille r�glementaire est �gale �  $0,20$.
  \item[(b)]  Calculer la probabilit� que le poisson p�ch� soit un sandre
    de taille r�glementaire, 
  \item[(c)]  Montrer que la probabilit� que le poisson p�ch� soit de
    taille r�glementaire est sensiblement �gale � $0,51$. 
  \item[(d)]  En d�duire $p\left(\overline{R}\right)$.
    \enit
\item 	Sachant que le poisson p�ch� n'est pas de taille
  r�glementaire, quelle est la probabilit� que ce soit une truite ? 
\end{enumerate}
\enex

\end{document}

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