Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{tabularx}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3cm}
\hfill{\Large Devoir Surveill�}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG
\vspace{-0.2cm}
\bgex
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Partie A}
Une entreprise a re�u une nouvelle machine dont la complexit� n�cessite un apprentissage progressif. Ainsi, la production �volue en fonction du temps. L'�tude se fait sur les cinq premiers mois.
On note $x$ le nombre de mois �coul�s depuis l'installation de l'appareil.
La fonction donne le nombre de pi�ces, en milliers, fabriqu�es mensuellement par cette machine. Cette fonction est d�finie par :
\vspace{-0.4cm}
\[f(x) = \dfrac{100x}{x+1}\quad
\text{pour}~ x~\text{variant dans}~ [0~;~ 5].\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction d�riv�e $f'$ de $f$ sur [0 ~;~ 5] peut s'�crire sous la forme :
$\dsp f'(x) = \dfrac{100}{(x + 1)^2}.$
\item D�terminer le signe de $f(x)$ sur [0 ~;~ 5] et en d�duire le
tableau de variations de la fonction.
\item Recopier et compl�ter le tableau de valeurs suivant. \emph{On
arrondira les r�sultats � l'unit�.}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline
$f(x)$ & & & &75 & &\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\item Repr�senter graphiquement la fonction $f$. \emph{On prendra
pour unit�s : $2$~cm par mois sur l'axe
des abscisses et $1$~cm pour $\nombre{10000}$~pi�ces sur l'axe des
ordonn�es.}
\item On estime que la machine est rentable si elle produit au moins
\nombre{80000}~pi�ces par mois. D�ter\-miner graphiquement sur
quelle p�riode la machine est rentable.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
Pour contr�ler la qualit� de production, on pr�l�ve $250$~pi�ces issues de cette machine.
On s'aper�oit que parmi elles $25$~pi�ces ont une masse inad�quate :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 10 sont trop lourdes
\item[$\bullet~$] 15 sont trop l�g�res.
\end{itemize}
On admet que cet �chantillon est repr�sentatif de l'ensemble de la production.
On pr�l�ve une pi�ce au hasard dans la production de la journ�e.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit� que la pi�ce pr�lev�e ait une masse inad�quate ?
\item Sachant que la pi�ce pr�lev�e a une masse inad�quate, quelle est la probabilit� qu'elle soit trop lourde ?
\end{enumerate}
\enex
\bgex
Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40\:\% des poissons sont des brochets, 25\:\% des poissons sont des truites et le reste est constitu� de sandres.
\noindent
50\:\% des brochets de ce lac sont de taille r�glementaire ainsi que 60\:\% des truites et 45\:\% des sandres.
On p�che un poisson de ce lac : tous les poissons ont la m�me probabilit� d'�tre p�ch�s.
\medskip
On consid�re les �v�nements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $B$ : � le poisson p�ch� est un brochet � ;
\item[$\bullet~$] $T$ : � le poisson p�ch� est une truite � ;
\item[$\bullet~$] $S$ : � le poisson p�ch� est un sandre � ;
\item[$\bullet~$] $R$ : � le poisson p�ch� est de taille r�glementaire � ;
\item[$\bullet~$] $\overline{R}$ : l'�v�nement contraire de $R$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item D�crire par une phrase l'�v�nement $\overline{R}$ puis l'�v�nement $T \cap R$.
\item Construire un arbre de probabilit� d�crivant la situation.\medskip
\emph{Dans les questions suivantes, les r�sultats seront arrondis au centi�me.}
\item
\bgit
\item[(a)] Justifier que la probabilit� que le poisson p�ch� soit un
brochet de taille r�glementaire est �gale � $0,20$.
\item[(b)] Calculer la probabilit� que le poisson p�ch� soit un sandre
de taille r�glementaire,
\item[(c)] Montrer que la probabilit� que le poisson p�ch� soit de
taille r�glementaire est sensiblement �gale � $0,51$.
\item[(d)] En d�duire $p\left(\overline{R}\right)$.
\enit
\item Sachant que le poisson p�ch� n'est pas de taille
r�glementaire, quelle est la probabilit� que ce soit une truite ?
\end{enumerate}
\enex
\end{document}
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