Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques
Terminale STMG
Devoir de mathématiques: fonction et dérivée et probabilités
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- Type: Devoir
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- Description
- Devoir de mathématiques: fonction et dérivée et probabilités
- Niveau
- Terminale STMG
- Mots clé
- probabilités, arbre pondéré, probabilités conditionnelles et événements indépendants, terminale STMG, TSTMG, devoir corrigé de mathématiques, maths
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Documentation sur LaTeX- Source
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Source Latex sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{array} \usepackage{color} \usepackage{tabularx} % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \headheight=0cm \textheight=25cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \evensidemargin=-1cm \setlength{\unitlength}{1cm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \thispagestyle{empty} \vspace*{-3cm} \hfill{\Large Devoir Surveill�} \hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG \vspace{-0.2cm} \bgex \vspace{-0.4cm} \paragraph{Partie A} Une entreprise a re�u une nouvelle machine dont la complexit� n�cessite un apprentissage progressif. Ainsi, la production �volue en fonction du temps. L'�tude se fait sur les cinq premiers mois. On note $x$ le nombre de mois �coul�s depuis l'installation de l'appareil. La fonction donne le nombre de pi�ces, en milliers, fabriqu�es mensuellement par cette machine. Cette fonction est d�finie par : \vspace{-0.4cm} \[f(x) = \dfrac{100x}{x+1}\quad \text{pour}~ x~\text{variant dans}~ [0~;~ 5].\] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction d�riv�e $f'$ de $f$ sur [0 ~;~ 5] peut s'�crire sous la forme : $\dsp f'(x) = \dfrac{100}{(x + 1)^2}.$ \item D�terminer le signe de $f(x)$ sur [0 ~;~ 5] et en d�duire le tableau de variations de la fonction. \item Recopier et compl�ter le tableau de valeurs suivant. \emph{On arrondira les r�sultats � l'unit�.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline $f(x)$ & & & &75 & &\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Repr�senter graphiquement la fonction $f$. \emph{On prendra pour unit�s : $2$~cm par mois sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour $\nombre{10000}$~pi�ces sur l'axe des ordonn�es.} \item On estime que la machine est rentable si elle produit au moins \nombre{80000}~pi�ces par mois. D�ter\-miner graphiquement sur quelle p�riode la machine est rentable. \end{enumerate} \paragraph{Partie B} Pour contr�ler la qualit� de production, on pr�l�ve $250$~pi�ces issues de cette machine. On s'aper�oit que parmi elles $25$~pi�ces ont une masse inad�quate : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] 10 sont trop lourdes \item[$\bullet~$] 15 sont trop l�g�res. \end{itemize} On admet que cet �chantillon est repr�sentatif de l'ensemble de la production. On pr�l�ve une pi�ce au hasard dans la production de la journ�e. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit� que la pi�ce pr�lev�e ait une masse inad�quate ? \item Sachant que la pi�ce pr�lev�e a une masse inad�quate, quelle est la probabilit� qu'elle soit trop lourde ? \end{enumerate} \enex \bgex Un lac contient exclusivement trois sortes de poissons : 40\:\% des poissons sont des brochets, 25\:\% des poissons sont des truites et le reste est constitu� de sandres. \noindent 50\:\% des brochets de ce lac sont de taille r�glementaire ainsi que 60\:\% des truites et 45\:\% des sandres. On p�che un poisson de ce lac : tous les poissons ont la m�me probabilit� d'�tre p�ch�s. \medskip On consid�re les �v�nements suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $B$ : � le poisson p�ch� est un brochet � ; \item[$\bullet~$] $T$ : � le poisson p�ch� est une truite � ; \item[$\bullet~$] $S$ : � le poisson p�ch� est un sandre � ; \item[$\bullet~$] $R$ : � le poisson p�ch� est de taille r�glementaire � ; \item[$\bullet~$] $\overline{R}$ : l'�v�nement contraire de $R$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item D�crire par une phrase l'�v�nement $\overline{R}$ puis l'�v�nement $T \cap R$. \item Construire un arbre de probabilit� d�crivant la situation.\medskip \emph{Dans les questions suivantes, les r�sultats seront arrondis au centi�me.} \item \bgit \item[(a)] Justifier que la probabilit� que le poisson p�ch� soit un brochet de taille r�glementaire est �gale � $0,20$. \item[(b)] Calculer la probabilit� que le poisson p�ch� soit un sandre de taille r�glementaire, \item[(c)] Montrer que la probabilit� que le poisson p�ch� soit de taille r�glementaire est sensiblement �gale � $0,51$. \item[(d)] En d�duire $p\left(\overline{R}\right)$. \enit \item Sachant que le poisson p�ch� n'est pas de taille r�glementaire, quelle est la probabilit� que ce soit une truite ? \end{enumerate} \enex \end{document}
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