Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Bac blanc

Terminale STMG

Bac blanc

Baccalauréat blanc en terminale STMG, et son corrigé, sur les chapitres: taux d'évolution, statistiques à deux variables, suites et algorithme, probabilités conditionnelles et fonctions dérivées
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Bac blanc en terminale STMG: étude de fonction, dérivées et logarithme népérien
Niveau
Terminale STMG
Table des matières
  • Évolutions successives d'un capital - Indices de prix et inflation
  • QCM: variation des fonctions, dérivées
  • Ajustement affine par moindres carrés
  • Fonctions: maximisation du bénéfice
Mots clé
dérivée, lecture graphique, tangente, ln, logarithme népérien, étude de fonction, terminale STMG, TSTMG, devoir de mathématiques, maths

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs


    Voir aussi:

    Documentation sur LaTeX     lien vers la documentation Latex
    Source Latex LaTex icone

    Source Latex 

    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}

\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{tabularx}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}



\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}

%\lfoot{}
\cfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\rfoot{}

\headheight=1.4cm
\topmargin=-2cm
\textheight=25cm
\textwidth=18.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-2cm}

\ct{\Large Correction du Baccalaur�at Blanc}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG
\vspace{0.5cm}


\bgex  \hfill {\bf 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}
\item $10\,000 \stackrel{\tm(1+t)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 15\,000$.
  Le taux global de ce placement est donc donn� par 
  $\dsp 10\,000\tm(1+t)=15\,000$, soit 
  $\dsp t=\frac{15,000}{10\,000}-1=0.5$, soit \ul{un taux de $50\%$.}

  \vspd
\item 	
  
  $10\,000 \stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 
  \dots
  \stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 
  \dots
  \stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 
  \dots
  \stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 
  15\,000$.
  
  \ \put(0.5,-0.2){\line(1,0){8.5}}
  \put(0.5,-0.2){\line(0,1){0.5}}
  \put(9,-0.2){\vector(0,1){0.5}}
  \put(4,0){$\scriptstyle{\tm(1+t_M)^{10}}$}

  \vspd
  Le taux annuel moyen $t_M$ est donc donn� par : 
  $10\,000\tm(1+t_M)^{10}=15\,000$, 

  soit 
  $(1+t_M)^{10}=\frac{15\,000}{10\,000}=1,5$, d'o� 
  $1+t_M=1,5^{\frac{1}{10}}\simeq1,041$, et donc finalement 
  $t_M\simeq 1,041-1\simeq 0,041$, 
  soit \ul{un taux annuel moyen d'environ $4,1\%$.}

  \vspd
\item 	De m�me que pr�c�demment, avec un taux annuel de $5\%$, on
  obtiendra un capital de 
  $10\,000\tm(1+5\%)^{10}\simeq 16\,289 \euro$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

Un article co�tait $250$~euros au 1\up{er} janvier 2004.

II a subi une inflation de $4,6$\:\% en 2004 et $3,8$\:\% en 2005.
\begin{enumerate}
\item 
  $250\euro \stackrel{\tm(1+4,6\%)}{\mbox{\Large$\longrightarrow$}} 
  261,5
  \stackrel{\tm(1+1+3,6\%)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 
  271,44\euro  $
  
  \ul{L'article co�tait $261,5\euro$ en 2005 et environ $271,44\euro$ en
  2006.} 

  \vsp
\item 	
\begin{enumerate}
\item L'indice des prix en janvier 2006 est de : 
  $I_{2006}=\frac{271,44}{250}\tm100\simeq108,6$. 

\item 	Le taux d'inflation pour la p�riode du 1/1/2004 au 1/1/2006
  est donc de $8,6\%$. 
\item 	Le taux d'inflation pour la p�riode du 1/1/2004 au 1/1/2007
  est de $5,9\%$. 
  
  L'article co�tait donc $250\tm(1+5,9\%)=264,75\euro$ en 2007. 

  Le taux d'inflation de 2006 � 2007 est donc : 
  $t=\frac{264,75-271,44}{271,44}\simeq -0,0246 \simeq -2,46\%$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\enex

\bgex \hfill {\bf 4 points}
\vspd

\vspd
\bgit
\item[1)] 
  \bgit
  \item[a)] La fonction $g$ admet un minimum qui vaut  
    $-12$ pour $x=4$. 

    
  \item[b)] Sur l'intervalle $[-5;7]$ l'�quation $g(x)=1$ admet  
    deux solutions. 

  \enit

\item[2)] 
  \bgit
  \item[a)] Pour tout nombre r�el $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$, 
      $\dsp f'(x)=\frac{3}{x}$. 
      
  \item[b)] La tangente � $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $3$ a pour
    coefficient directeur $f'(3)=\frac{3}{3}=1$. Elle est donc
    parall�le � la droite d'�quation: 
    $y=x-8$.
\enit
\enit


\enex

\bgex \hfill {\bf 3,5 points}
\begin{enumerate}
\item � l'aide de la calculatrice, on trouve comme �quation de la
  droite d'ajustement de $y$ en $x$ : 
  $y=-5\,442x+48\,357$


\item 	Voir graphique. 
\item 	Une estimation de la valeur de cette machine est alors
  donn�e par :

  \bgit
  \item en 2007 : $y_{2007}=-5\,440\tm7+48400=10\,320\euro$, 
  \item en 2010 : $y_{2007}=-5\,440\tm10+48400=-6\,000\euro$. 
  \enit
\item L'estimation obtenue pour l'ann�e 2010 est aberrante: le mod�le
  utilis� n'est plus valable � si long terme. 
\end{enumerate}

\enex


\bgex \hfill {\bf 6,5 points}
\vspd

\noindent \textbf{Partie A}\\

\begin{enumerate}\item Graphiquement le co\^ut unitaire
  de production lorsque Monsieur Dupr\'e fabrique 70 lots est de
  environ $4000\euro$. 

  La production de environ 12 lots donne aussi le m�me co�t unitaire.  

\item Graphiquement, l'entreprise doit produire environ 42 lots pour
  que le co�t unitaire soit minimal, et soit de environ 3200 \euro. 

\item Le co�t unitaire de production pour 100 lots est de 6600 \euro,
  soit $f(100)=100^2+b\tm100+5000=6600$. 

  Ainsi, on trouve \ul{$b=-84$}.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Le co�t de production pour $x$ lots produits est 
  $C(x)=x\tm f(x) = x\tm (x^2-84x+5000)$
  
  En d�veloppant, on trouve bien \ul{$C(x)�=�x^3�-�84x^2�+�5000x$}.

\item Le b�n�fice $B(x)$ r�alis� sur la production et la vente de $x$
  lots est �gal au prix de vente de ces $x$ lots moins leur
  co�t de production $C(x)$, soit :
  
  $B(x) = 5000\tm x-C(x) = 5000x-(x^3�-�84x^2�+�5000x)$.

  En d�veloppant, on trouve alors, 
  \ul{$B(x)�=�-x^3�+�84x^2$}. 


\item En factorisant $B(x)$ par $x^2$, on obtient 
  $B(x)=x^2(-x+84)$. 

  On a donc bien \ul{$B(x)�=�x^2(84�-�x)$}. 

  Comme $x^2$ est un nombre toujours positif ou nul, le signe de
  $B(x)$ est le m�me que celui de $84-x$. 

  Ainsi, $B(x)$ est strictement n�gatif pour $x>84$. 

  Monsieur Dupr� peut en d�duire qu'il doit produire et vendre au
  moins 84 lots pour �tre rentable. 

\item 
  \begin{enumerate}
  \item $B'(x)=-3x^2+84\tm2\tm x = -3x^2+168x$, et, en factorisant par
    $3x$, on trouve bien \ul{$B'(x)=3x(-x+56)$}. 
    
  \item 
    
    \begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
      $x$    & 0 &   & 56   & & 100 \\\hline
      $3x$   &\zb& + &$\mid$&+&  \\\hline
      $-x+56$&   & + &\zb   &-&  \\\hline
      $B'(x)$&\zb& + &\zb   &-&   \\\hline
             &   &   & 87\,808& & \\
      $B(x)$ &   &$\nearrow$ & & $\searrow$&\\
	     &84 & &&&-160\,000 \\\hline
    \end{tabular}

    
  \item On d�duit du tableau de variations de $B$ que l'entreprise
    doit produire et vendre $x_M=56$ lots pour r�aliser le b�n�efice
    maximal de $B_M=87\,808\euro$. 
    
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\clearpage
\hspace{6cm}{\large\textbf{Annexe 1}}

%\vspace{1cm}
\begin{center}\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.002cm} \begin{pspicture}(0,3000)(112,8000)
%\psaxes[Dx=10,Oy=3000,Dy=500,subticks=5]{->}(0,3000)(112,8000)
\psaxes[Dx=10,Oy=3000,Dy=500]{->}(0,3000)(112,8000)
\psplot{0}{110}{x dup mul 84 x mul sub 5000 add}
\rput(100,3200){Nombre de lots $x$}
\rput(-13,8100){$f(x)$ en euros}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](70,3000)(70,4020)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](70,4020)(0,4020)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](14,3000)(14,4020)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](42,3000)(42,3236)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,3236)(42,3236)
\end{pspicture}\end{center}

\enex

%\clearpage

\vspace{1cm}
\hspace{6cm}{\large\textbf{Annexe 2}}

%\vspace{0.5cm}

\begin{center}
%\hspace*{2cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.00015cm}
\begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(0,-10000)(12,60000)
\uput[d](6,-10000){Rang de l'ann�e}
%\rput{90}(-1.5,25000){Valeur estim�e de la machine}
\put(-4.5,4){Valeur estim�e} 
\put(-4.5,3.2){de la machine}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-10000)(\n,60000)}
\multido{\n=-10000+5000}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(12,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000)
%\psplot{0}{10}{-5440 x mul 48400 add}
\psline[linewidth=1pt](0,48400)(10,-6000)
\end{pspicture}	
\end{center}
\end{document}

    Télécharger le fichier source Latex