Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{}
\cfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\rfoot{}
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\topmargin=-2cm
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\textwidth=18.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1cm
\evensidemargin=-1cm
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-2cm}
\ct{\Large Correction du Baccalaur�at Blanc}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}\,$\ STG
\vspace{0.5cm}
\bgex \hfill {\bf 6 points}
\medskip
\textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}
\item $10\,000 \stackrel{\tm(1+t)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}} 15\,000$.
Le taux global de ce placement est donc donn� par
$\dsp 10\,000\tm(1+t)=15\,000$, soit
$\dsp t=\frac{15,000}{10\,000}-1=0.5$, soit \ul{un taux de $50\%$.}
\vspd
\item
$10\,000 \stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}}
\dots
\stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}}
\dots
\stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}}
\dots
\stackrel{\tm(1+t_M)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}}
15\,000$.
\ \put(0.5,-0.2){\line(1,0){8.5}}
\put(0.5,-0.2){\line(0,1){0.5}}
\put(9,-0.2){\vector(0,1){0.5}}
\put(4,0){$\scriptstyle{\tm(1+t_M)^{10}}$}
\vspd
Le taux annuel moyen $t_M$ est donc donn� par :
$10\,000\tm(1+t_M)^{10}=15\,000$,
soit
$(1+t_M)^{10}=\frac{15\,000}{10\,000}=1,5$, d'o�
$1+t_M=1,5^{\frac{1}{10}}\simeq1,041$, et donc finalement
$t_M\simeq 1,041-1\simeq 0,041$,
soit \ul{un taux annuel moyen d'environ $4,1\%$.}
\vspd
\item De m�me que pr�c�demment, avec un taux annuel de $5\%$, on
obtiendra un capital de
$10\,000\tm(1+5\%)^{10}\simeq 16\,289 \euro$
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
Un article co�tait $250$~euros au 1\up{er} janvier 2004.
II a subi une inflation de $4,6$\:\% en 2004 et $3,8$\:\% en 2005.
\begin{enumerate}
\item
$250\euro \stackrel{\tm(1+4,6\%)}{\mbox{\Large$\longrightarrow$}}
261,5
\stackrel{\tm(1+1+3,6\%)}{\mbox{\LARGE$\longrightarrow$}}
271,44\euro $
\ul{L'article co�tait $261,5\euro$ en 2005 et environ $271,44\euro$ en
2006.}
\vsp
\item
\begin{enumerate}
\item L'indice des prix en janvier 2006 est de :
$I_{2006}=\frac{271,44}{250}\tm100\simeq108,6$.
\item Le taux d'inflation pour la p�riode du 1/1/2004 au 1/1/2006
est donc de $8,6\%$.
\item Le taux d'inflation pour la p�riode du 1/1/2004 au 1/1/2007
est de $5,9\%$.
L'article co�tait donc $250\tm(1+5,9\%)=264,75\euro$ en 2007.
Le taux d'inflation de 2006 � 2007 est donc :
$t=\frac{264,75-271,44}{271,44}\simeq -0,0246 \simeq -2,46\%$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\bgex \hfill {\bf 4 points}
\vspd
\vspd
\bgit
\item[1)]
\bgit
\item[a)] La fonction $g$ admet un minimum qui vaut
$-12$ pour $x=4$.
\item[b)] Sur l'intervalle $[-5;7]$ l'�quation $g(x)=1$ admet
deux solutions.
\enit
\item[2)]
\bgit
\item[a)] Pour tout nombre r�el $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$,
$\dsp f'(x)=\frac{3}{x}$.
\item[b)] La tangente � $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $3$ a pour
coefficient directeur $f'(3)=\frac{3}{3}=1$. Elle est donc
parall�le � la droite d'�quation:
$y=x-8$.
\enit
\enit
\enex
\bgex \hfill {\bf 3,5 points}
\begin{enumerate}
\item � l'aide de la calculatrice, on trouve comme �quation de la
droite d'ajustement de $y$ en $x$ :
$y=-5\,442x+48\,357$
\item Voir graphique.
\item Une estimation de la valeur de cette machine est alors
donn�e par :
\bgit
\item en 2007 : $y_{2007}=-5\,440\tm7+48400=10\,320\euro$,
\item en 2010 : $y_{2007}=-5\,440\tm10+48400=-6\,000\euro$.
\enit
\item L'estimation obtenue pour l'ann�e 2010 est aberrante: le mod�le
utilis� n'est plus valable � si long terme.
\end{enumerate}
\enex
\bgex \hfill {\bf 6,5 points}
\vspd
\noindent \textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}\item Graphiquement le co\^ut unitaire
de production lorsque Monsieur Dupr\'e fabrique 70 lots est de
environ $4000\euro$.
La production de environ 12 lots donne aussi le m�me co�t unitaire.
\item Graphiquement, l'entreprise doit produire environ 42 lots pour
que le co�t unitaire soit minimal, et soit de environ 3200 \euro.
\item Le co�t unitaire de production pour 100 lots est de 6600 \euro,
soit $f(100)=100^2+b\tm100+5000=6600$.
Ainsi, on trouve \ul{$b=-84$}.
\end{enumerate}
\vspace{0,25cm}
\noindent \textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Le co�t de production pour $x$ lots produits est
$C(x)=x\tm f(x) = x\tm (x^2-84x+5000)$
En d�veloppant, on trouve bien \ul{$C(x)�=�x^3�-�84x^2�+�5000x$}.
\item Le b�n�fice $B(x)$ r�alis� sur la production et la vente de $x$
lots est �gal au prix de vente de ces $x$ lots moins leur
co�t de production $C(x)$, soit :
$B(x) = 5000\tm x-C(x) = 5000x-(x^3�-�84x^2�+�5000x)$.
En d�veloppant, on trouve alors,
\ul{$B(x)�=�-x^3�+�84x^2$}.
\item En factorisant $B(x)$ par $x^2$, on obtient
$B(x)=x^2(-x+84)$.
On a donc bien \ul{$B(x)�=�x^2(84�-�x)$}.
Comme $x^2$ est un nombre toujours positif ou nul, le signe de
$B(x)$ est le m�me que celui de $84-x$.
Ainsi, $B(x)$ est strictement n�gatif pour $x>84$.
Monsieur Dupr� peut en d�duire qu'il doit produire et vendre au
moins 84 lots pour �tre rentable.
\item
\begin{enumerate}
\item $B'(x)=-3x^2+84\tm2\tm x = -3x^2+168x$, et, en factorisant par
$3x$, on trouve bien \ul{$B'(x)=3x(-x+56)$}.
\item
\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$ & 0 & & 56 & & 100 \\\hline
$3x$ &\zb& + &$\mid$&+& \\\hline
$-x+56$& & + &\zb &-& \\\hline
$B'(x)$&\zb& + &\zb &-& \\\hline
& & & 87\,808& & \\
$B(x)$ & &$\nearrow$ & & $\searrow$&\\
&84 & &&&-160\,000 \\\hline
\end{tabular}
\item On d�duit du tableau de variations de $B$ que l'entreprise
doit produire et vendre $x_M=56$ lots pour r�aliser le b�n�efice
maximal de $B_M=87\,808\euro$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\clearpage
\hspace{6cm}{\large\textbf{Annexe 1}}
%\vspace{1cm}
\begin{center}\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.002cm} \begin{pspicture}(0,3000)(112,8000)
%\psaxes[Dx=10,Oy=3000,Dy=500,subticks=5]{->}(0,3000)(112,8000)
\psaxes[Dx=10,Oy=3000,Dy=500]{->}(0,3000)(112,8000)
\psplot{0}{110}{x dup mul 84 x mul sub 5000 add}
\rput(100,3200){Nombre de lots $x$}
\rput(-13,8100){$f(x)$ en euros}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](70,3000)(70,4020)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](70,4020)(0,4020)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](14,3000)(14,4020)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](42,3000)(42,3236)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,3236)(42,3236)
\end{pspicture}\end{center}
\enex
%\clearpage
\vspace{1cm}
\hspace{6cm}{\large\textbf{Annexe 2}}
%\vspace{0.5cm}
\begin{center}
%\hspace*{2cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.00015cm}
\begin{pspicture}(0,-10000)(12,60000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10000]{->}(0,0)(0,-10000)(12,60000)
\uput[d](6,-10000){Rang de l'ann�e}
%\rput{90}(-1.5,25000){Valeur estim�e de la machine}
\put(-4.5,4){Valeur estim�e}
\put(-4.5,3.2){de la machine}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-10000)(\n,60000)}
\multido{\n=-10000+5000}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(12,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5](0,50000)(1,42000)(2,36000)(3,32000)(4,26500)(5,22000)
%\psplot{0}{10}{-5440 x mul 48400 add}
\psline[linewidth=1pt](0,48400)(10,-6000)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
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