Source Latex
de la correction du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% http://xymaths.free.fr %
% %
% Genere le: %
% lundi 22 juin 2015 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e}}
\bgex
\bgen
\item $F$ est un produit de deux fonctions: $F=uv$,
avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^{-x}=e^{w(x)}$,
donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-e^{-x}$.
On a alors, $F'=u'v+uv'$, soit
$F'(x)=1\tm e^{-x}+x\lp-e^{-x}\rp=(1-x)e^{-x}=f(x)$.
Ainsi, $F$ est bien une primitive de $f$.
L'ensemble des primitives de $f$ est donc l'ensemble des fonctions qui
s'\'ecrivent sous la forme $F+k$, o\`u $k$ est un r\'eel quelconque.
\item Une fonction $f$ est une densit\'e de loi de probabilit\'e sur l'intervalle $[a;b]$ si
\bgit
\item $f$ est d\'efinie sur $[a;b]$;
\item $f$ est positive, c'est-\`a-dire que, pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\geqslant0$.
\item $\dsp\int_a^b f(x)dx=1$.
\enit
\bigskip
Ici,
\bgit
\item $f$ est d\'efinie sur $\R$ donc aussi sur $[0;1]$;
\item Pour tout $x\in[0;1]$, on a $e^{-x}>0$, et $0\leqslant x\leqslant 1 \iff -1\leqslant x\leqslant 0\iff 0\leqslant1-x\leqslant 1$, et ainsi, $f(x)=(1-x)e^{-x}\geqslant0$ sur $[0;1]$;
\item Comme $F$ est une primitive de $f$,
\[\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=1e^{-1}-0e^{-0}\not=1\]
\enit
Ainsi, la fonction $f$ n'est pas une densit\'e de loi de probabilit\'e
sur $[0;1]$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item $x_M + y_M + z_M - 3 = 2 - 3 + 1 - 3 = -3 \not= 0$ donc $M\notin P$.
\item $\vec{n} (1; 1; 1)$ est un vecteur normal de $P$,
la droite $D$ passant par $M$ et orthogonale \`a $P$ admet donc
comme repr\'esentatation param\'etrique:
$\la\bgar{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.$
\item Comme $H\in D$, il existe un r\'eel $t$ tel que $H$ ait pour
coordonn\'ees
$\la\bgar{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.$
Comme de plus $H\in P$, ses coordonn\'ees v\'erifient l'\'equation de $P$
donc $x + y + z - 3 =2+t-3+t+1+t-3 = 0$,
soit $3t - 3 = 0$ et donc $t = 1$.
On a ainsi $H(3; -2; 2)$.
\item La distance du point $M$ au plan $P$ est $HM$.
Comme $\V{HM} (-1; -1; -1)$, on a donc $HM = \sqrt{3}$.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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