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Terminale S

Synthèse de cours: vocabulaire algébrique et graphique sur les fonctions
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Description
Synthèse de cours: vocabulaire algébrique et graphique sur les fonctions
Niveau
Terminale S
Mots clé
fiche de cours, vocabulaire algébrique, fonctions, analyse
Voir aussi:

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Source Latex 

\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{calc}

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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Synthèse sur les fonctions},
    pdftitle={Synthèse sur les fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
      fonctions, interprétation graphique, graphique, 
      courbe représentative, fonction paire, fonction impaire, 
      asymptote, limite, dérivée, nombre dérivé, tangente
    }
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}

\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=19cm
\oddsidemargin=-1.8cm

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Langages fonctionnel, algébrique, géométrique et représentation graphique}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\cfoot{}
\rfoot{\TITLE}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\psset{arrowsize=5pt}

\vspace*{1em}
{\ct{\Large\TITLE}}
\vspd

\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}


\begin{longtable}{|M{4.65cm}|*1{M{4.7cm}|}M{5cm}|p{3.5cm}|}\hline
Langage usuel &
Propriété algébrique &
Propriété géométrique & 
Graphique
\tabularnewline\hline

%

Fonction & 
Expression algébrique: $f(x)= \dots $ &
Représention graphique $\mathcal{C}_f$, 
ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.2){\footnotesize $x$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$f(x)$}}
  \rput(2.1,1.1){\footnotesize $\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$b$ est l'image par $f$ de $a$;

$a$ est l'antécendant de $b$ par $f$ &

$f(a)=b$ & 

Le point $M$ de coordonnées $(a;b)$ est sur la courbe $\mathcal{C}_f$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.2){\footnotesize $a$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$b$}}
  \rput(2,0.9){\footnotesize $M$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline


$f$ est une fontion affine, de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée
à l'origine $b$ &
$f(x)=ax+b$ &
$\mathcal{C}_f$ est une droite de pente $a$ et passant par $(0,b)$&
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,1.1)(1.6,3.2)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-.5,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-.3)(0,2.8)
  \psplot[linewidth=1pt]{-.5}{1.25}{2 x mul .5 add}
  \psline(-0.1,.5)(0.1,0.5)\rput(-0.2,.7){\scriptsize $b$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(.5,1.5)(1,1.5)
  \rput(0.75,1.25){\tiny $\Delta x$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(1,1.5)(1,2.5)
  \rput(1.2,2){\tiny $\Delta y$}
  \rput(1.9,1.4){\scriptsize $\dsp a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est une fontion, ou un polynôme, du second degré &
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not= 0$ & 
$\mathcal{C}_f$ est une parabole &
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1.5,.2)(1.6,1.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.5,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-.6)(0,1.6)
  \psplot{-0.9}{1.9}{x -0.5 add  x -0.5 add  mul -.5 add}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline



%\raisebox{-2cm}[0cm]{Limites de $f$} &
\multirow{4}{*}{Limites de $f$} &
$\dsp\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=l$ & $\Cf$ admet une asymptote
horizontale d'équation $y=l$ en $\pm\infty$&
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,2)(1.6,1.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.5,0)(7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-4)(0,10)
  \psline[linewidth=0.5pt](-.3,2)(6,2)
  \psplot{1.2}{5}{2 1 x -1 add div add}
  \rput(-0.7,2.5){\scriptsize $l$}
\end{pspicture}
\tabularnewline
\cline{2-4}

&
$\dsp\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ & $\Cf$ admet une asymptote
verticale d'équation $x=a$ &
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(1.6,11)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-3)(0,10)
  \psline[linewidth=0.5pt](2,-1)(2,10)
  \psplot{2.1}{3}{1 x -2 add div}
  \rput(2,-2){\scriptsize $a$}
\end{pspicture}
\tabularnewline
\cline{2-4}

&
$\dsp\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ & 
$\Cf$ est continue au point d'abscisse $a$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.15)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0.7,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(1,-0.2)(1,1.3)
  \psplot{1.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)(0.9,.75)
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,.75)
  \rput(1.75,-0.2){\footnotesize $a$}
  \rput(0.6,0.8){\footnotesize{$f(a)$}}
  \rput(2.1,1.1){\footnotesize $\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline
\cline{2-4}

&
$\dsp\lim_{x\to\pm\infty}\big[ f(x)-(ax+b)\big]=0$ &
La droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à $\Cf$ en
$\pm\infty$ &
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(1.6,11)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-3)(0,10)
  \psplot{0.7}{3}{2 x mul 1 add 1 x -0.5 add div add}
  \psplot[linewidth=0.5pt]{-1}{4}{2 x mul 1 add}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline
 

$f$ est supérieure à $g$ sur l'intervalle $I$&
Pour tout $x\in I$, 
\ct{$f(x)\geqslant g(x)$}
\ct{$\Leftrightarrow f(x)-g(x)\geqslant 0$}&
$\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$&
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.4}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \rput(1,.9){\scriptsize $\Cf$}
  \psplot{-0.4}{1.4}{x x mul x mul 1.2 mul -1.5 x mul x mul add 0.2 add}
  \rput(1.6,.4){\scriptsize $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline


Nombre dérivé de $f$ en $x=a$ & 
\mbox{$\dsp\!\! f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$} & 
Coefficient directeur de la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.4}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot{0.2}{1.6}{x -0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \rput(1,-0.2){\footnotesize $a$}
  \rput(-0.55,.45){\scriptsize $\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

Intégrale de $f$ & 
$\dsp\int_a^b f(x)\,dx$ & 
Aire algébrique du domaine 
$\la 
\bgar{ll}
M(x;y) ; 
&a\leqslant x\leqslant b; \\
&0\leqslant y \leqslant f(x)
\enar
\ra$\\[0.2cm] \,  &
\psset{xunit=.5cm,yunit=0.5cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.2,0.9)(3,3.6)
  \psline{->}(-1.2,0)(3.2,0)
  \psline{->}(0.1,-0.5)(0,3.2)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  
  \pscustom{
    \psplot{-0.6}{2.1}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.2,0)(-.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.44}{\f{x}}
  
  \psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
  \psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \rput(-.6,-0.4){$a$}\rput(2.2,-0.4){$b$}
  \rput(3.2,2.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

Primitive $F$ de $f$, \\ 
qui s'annule en $a$ & 
$\dsp F(x)\!=\!\int_a^x \!\!f(t)dt\,,\,F(a)\!\!=\!\!0$ 
\\[0.3cm]
$F'(x)=f(x)$ & 
Aire algébrique du domaine \\[0.1cm]
$\la 
\bgar{ll}
M(t;y) ; 
&a\leqslant t\leqslant x; \\
&0\leqslant y \leqslant f(t)
\enar
\ra$\\[0.1cm] \, &
\psset{xunit=.5cm,yunit=0.5cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.2,1)(3,3.6)
  \psline{->}(-1.2,0)(3.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,3.2)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  
  \pscustom{
    \psplot{-0.6}{2.1}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.2,0)(-.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.44}{\f{x}}
  
  \psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
  \psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \rput(-.6,-0.4){$a$}\rput(2.2,-0.4){$x$}
  \rput(3.2,2.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

\end{longtable}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$f$ est paire & 
Pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, $f(-x)=f(x)$ & 
$\Cf$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie &
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0.3)(1.6,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.6,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-1.55}{1.55}{x x mul x mul x mul -2.3 x mul x mul add 1 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-.5,0)(-.5,.45)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-.5,.45)(.5,.45)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](.5,0)(.5,.45)
  \rput(0.5,-0.2){\scriptsize $x$}
  \rput(-0.5,-0.2){\scriptsize{$-x$}}
  \rput(-.2,0.6){\tiny $f(x)$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est impaire & 
Pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, $f(-x)=-f(x)$ & 
$\Cf$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie &
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.3)(1.6,1.6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.6,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-1.3)(0,1.3)
  \psplot{-1.25}{1.25}{2 x mul x mul x mul -2 x mul add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1.15,0)(-1.15,-.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1.15,-.6)(1.15,.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.15,0)(1.15,.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1.15,-.6)(0,-.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.15,.6)(0,.6)
  \rput(-1.2,0.2){\scriptsize $-x$}
  \rput(1.2,-0.2){\scriptsize{$x$}}
  \rput(-.2,0.7){\tiny $f(x)$}
  \rput(.3,-0.7){\tiny $f($-$x)$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est T-périodique & 
Pour tout $x\in\R$, $f(x+T)=f(x)$ &
$\Cf$ se reproduit, identique à elle-même, tous les intevalles de
longueur $T$ &
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1.5,1.2)(1.6,3.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.6,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-.3)(0,2.8)
  \psplot{-1.25}{1.25}{x 180 mul 3.14 div  10 mul sin 1.2 add}
  \psline[linewidth=1pt]{<->}(-1.15,2.6)(-.45,2.6)
  \rput(-0.8,3.3){\scriptsize $T$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est une fonction homographique & 
$\dsp f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ &
$\mathcal{C}_f$ est une hyperbole d'asymptote $y=\frac{a}{c}$ en
$-\infty$ et $+\infty$, et d'asymptote verticale $x=-\frac{d}{c}$ &
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-5,.2)(1.6,1.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.5,0)(7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-16)(0,20)
  \psline[linewidth=0.5pt](1,-16)(1,20)
  \psline[linewidth=0.5pt](-5,2)(6,2)
  \psplot{-5}{0.75}{2 x mul 3 add x -1 add div}
  \psplot{1.25}{6}{2 x mul 3 add x -1 add div}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

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