Source Latex: Fiche de cours, Fonctions

Terminale S

Fonctions

Fiche de cours de terminale. Langage des fonctions: termes mathémtiques et traductions algébriques, géométriques et sur un graphique.
Une fiche utilie pour réviser le bac.

Fichier

Type: Fiche de cours

File type: Latex, tex (source)

Télécharger le document pdf compilé

Description

Synthèse de cours: vocabulaire algébrique et graphique sur les fonctions

Niveau

Terminale S

Mots clé

fiche de cours, vocabulaire algébrique, fonctions, analyse

Quelques devoirs

Devoir corrigé

Suite et fonctions et limites

Calcul de limites, suites et fonctions, récurrence, étude de fonction, théorème de la bijection (TVI), limites et asymptotes verticales et horizontales

Devoir corrigé

Bac blanc 2019-2020

Bac blanc...

Devoir corrigé

Devoir commun, terminale S

Exponentielle - Fonction avec racine carrée, résolution approchée d'une équation (TVI) - Nombres complexes - Suite récurrente

Devoir corrigé

Suites et fonctions, récurrence, limite et asymptotes

Suite récurrente et suite auxiliaire géométrique. Démonstration par récurrence. Fonctions, étude via une fonction auxiliaire. Résolution approchée d'une équation (TVI). Limite et asymptotes, verticales et oblique.

Devoir corrigé

Suites et fonctions: limites, comportement asymptotique, variation

Suites et fonctions: suite récurrente, limites, comportement asymptotique (dont asymptote oblique), variations

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

Source Latex $LaTex icone$

Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}
\usepackage{longtable}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Synthèse sur les fonctions},
    pdftitle={Synthèse sur les fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
      fonctions, interprétation graphique, graphique, 
      courbe représentative, fonction paire, fonction impaire, 
      asymptote, limite, dérivée, nombre dérivé, tangente
    }
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}

\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=19cm
\oddsidemargin=-1.8cm

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Langages fonctionnel, algébrique, géométrique et représentation graphique}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\cfoot{}
\rfoot{\TITLE}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\psset{arrowsize=5pt}

\vspace*{1em}
{\ct{\Large\TITLE}}
\vspd

\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright}m{#1}}


\begin{longtable}{|M{4.65cm}|*1{M{4.7cm}|}M{5cm}|p{3.5cm}|}\hline
Langage usuel &
Propriété algébrique &
Propriété géométrique & 
Graphique
\tabularnewline\hline

%

Fonction & 
Expression algébrique: $f(x)= \dots $ &
Représention graphique $\mathcal{C}_f$, 
ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.2){\footnotesize $x$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$f(x)$}}
  \rput(2.1,1.1){\footnotesize $\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$b$ est l'image par $f$ de $a$;

$a$ est l'antécendant de $b$ par $f$ &

$f(a)=b$ & 

Le point $M$ de coordonnées $(a;b)$ est sur la courbe $\mathcal{C}_f$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.75)(1.7,.75)
  \rput(1.7,-0.2){\footnotesize $a$}
  \rput(-0.4,0.8){\footnotesize{$b$}}
  \rput(2,0.9){\footnotesize $M$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline


$f$ est une fontion affine, de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée
à l'origine $b$ &
$f(x)=ax+b$ &
$\mathcal{C}_f$ est une droite de pente $a$ et passant par $(0,b)$&
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,1.1)(1.6,3.2)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-.5,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-.3)(0,2.8)
  \psplot[linewidth=1pt]{-.5}{1.25}{2 x mul .5 add}
  \psline(-0.1,.5)(0.1,0.5)\rput(-0.2,.7){\scriptsize $b$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(.5,1.5)(1,1.5)
  \rput(0.75,1.25){\tiny $\Delta x$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(1,1.5)(1,2.5)
  \rput(1.2,2){\tiny $\Delta y$}
  \rput(1.9,1.4){\scriptsize $\dsp a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est une fontion, ou un polynôme, du second degré &
$f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not= 0$ & 
$\mathcal{C}_f$ est une parabole &
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1.5,.2)(1.6,1.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.5,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-.6)(0,1.6)
  \psplot{-0.9}{1.9}{x -0.5 add  x -0.5 add  mul -.5 add}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline



%\raisebox{-2cm}[0cm]{Limites de $f$} &
\multirow{4}{*}{Limites de $f$} &
$\dsp\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=l$ & $\Cf$ admet une asymptote
horizontale d'équation $y=l$ en $\pm\infty$&
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,2)(1.6,1.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.5,0)(7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-4)(0,10)
  \psline[linewidth=0.5pt](-.3,2)(6,2)
  \psplot{1.2}{5}{2 1 x -1 add div add}
  \rput(-0.7,2.5){\scriptsize $l$}
\end{pspicture}
\tabularnewline
\cline{2-4}

&
$\dsp\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ & $\Cf$ admet une asymptote
verticale d'équation $x=a$ &
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(1.6,11)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-3)(0,10)
  \psline[linewidth=0.5pt](2,-1)(2,10)
  \psplot{2.1}{3}{1 x -2 add div}
  \rput(2,-2){\scriptsize $a$}
\end{pspicture}
\tabularnewline
\cline{2-4}

&
$\dsp\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ & 
$\Cf$ est continue au point d'abscisse $a$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.15)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0.7,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(1,-0.2)(1,1.3)
  \psplot{1.4}{1.8}{x x mul x mul -1.6 x mul x mul add 0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,.75)(0.9,.75)
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.7,.75)
  \rput(1.75,-0.2){\footnotesize $a$}
  \rput(0.6,0.8){\footnotesize{$f(a)$}}
  \rput(2.1,1.1){\footnotesize $\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline
\cline{2-4}

&
$\dsp\lim_{x\to\pm\infty}\big[ f(x)-(ax+b)\big]=0$ &
La droite d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à $\Cf$ en
$\pm\infty$ &
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(1.6,11)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-3)(0,10)
  \psplot{0.7}{3}{2 x mul 1 add 1 x -0.5 add div add}
  \psplot[linewidth=0.5pt]{-1}{4}{2 x mul 1 add}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline
 

$f$ est supérieure à $g$ sur l'intervalle $I$&
Pour tout $x\in I$, 
\ct{$f(x)\geqslant g(x)$}
\ct{$\Leftrightarrow f(x)-g(x)\geqslant 0$}&
$\mathcal{C}_f$ est au dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$&
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.4}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \rput(1,.9){\scriptsize $\Cf$}
  \psplot{-0.4}{1.4}{x x mul x mul 1.2 mul -1.5 x mul x mul add 0.2 add}
  \rput(1.6,.4){\scriptsize $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline


Nombre dérivé de $f$ en $x=a$ & 
\mbox{$\dsp\!\! f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$} & 
Coefficient directeur de la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $a$ &
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,0.3)(2,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.4,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-0.4}{1.4}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot{0.2}{1.6}{x -0.5 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \rput(1,-0.2){\footnotesize $a$}
  \rput(-0.55,.45){\scriptsize $\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

Intégrale de $f$ & 
$\dsp\int_a^b f(x)\,dx$ & 
Aire algébrique du domaine 
$\la 
\bgar{ll}
M(x;y) ; 
&a\leqslant x\leqslant b; \\
&0\leqslant y \leqslant f(x)
\enar
\ra$\\[0.2cm] \,  &
\psset{xunit=.5cm,yunit=0.5cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.2,0.9)(3,3.6)
  \psline{->}(-1.2,0)(3.2,0)
  \psline{->}(0.1,-0.5)(0,3.2)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  
  \pscustom{
    \psplot{-0.6}{2.1}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.2,0)(-.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.44}{\f{x}}
  
  \psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
  \psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \rput(-.6,-0.4){$a$}\rput(2.2,-0.4){$b$}
  \rput(3.2,2.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

Primitive $F$ de $f$, \\ 
qui s'annule en $a$ & 
$\dsp F(x)\!=\!\int_a^x \!\!f(t)dt\,,\,F(a)\!\!=\!\!0$ 
\\[0.3cm]
$F'(x)=f(x)$ & 
Aire algébrique du domaine \\[0.1cm]
$\la 
\bgar{ll}
M(t;y) ; 
&a\leqslant t\leqslant x; \\
&0\leqslant y \leqslant f(t)
\enar
\ra$\\[0.1cm] \, &
\psset{xunit=.5cm,yunit=0.5cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.2,1)(3,3.6)
  \psline{->}(-1.2,0)(3.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,3.2)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  
  \pscustom{
    \psplot{-0.6}{2.1}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.2,0)(-.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.44}{\f{x}}
  
  \psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
  \psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \rput(-.6,-0.4){$a$}\rput(2.2,-0.4){$x$}
  \rput(3.2,2.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

\end{longtable}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$f$ est paire & 
Pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, $f(-x)=f(x)$ & 
$\Cf$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie &
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0.3)(1.6,1.35)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.6,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.3)
  \psplot{-1.55}{1.55}{x x mul x mul x mul -2.3 x mul x mul add 1 add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-.5,0)(-.5,.45)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-.5,.45)(.5,.45)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](.5,0)(.5,.45)
  \rput(0.5,-0.2){\scriptsize $x$}
  \rput(-0.5,-0.2){\scriptsize{$-x$}}
  \rput(-.2,0.6){\tiny $f(x)$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est impaire & 
Pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, $f(-x)=-f(x)$ & 
$\Cf$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie &
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.3)(1.6,1.6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.6,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-1.3)(0,1.3)
  \psplot{-1.25}{1.25}{2 x mul x mul x mul -2 x mul add}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1.15,0)(-1.15,-.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1.15,-.6)(1.15,.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.15,0)(1.15,.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-1.15,-.6)(0,-.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.15,.6)(0,.6)
  \rput(-1.2,0.2){\scriptsize $-x$}
  \rput(1.2,-0.2){\scriptsize{$x$}}
  \rput(-.2,0.7){\tiny $f(x)$}
  \rput(.3,-0.7){\tiny $f($-$x)$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est T-périodique & 
Pour tout $x\in\R$, $f(x+T)=f(x)$ &
$\Cf$ se reproduit, identique à elle-même, tous les intevalles de
longueur $T$ &
%\psset{unit=2cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1.5,1.2)(1.6,3.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-1.6,0)(1.7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-.3)(0,2.8)
  \psplot{-1.25}{1.25}{x 180 mul 3.14 div  10 mul sin 1.2 add}
  \psline[linewidth=1pt]{<->}(-1.15,2.6)(-.45,2.6)
  \rput(-0.8,3.3){\scriptsize $T$}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

$f$ est une fonction homographique & 
$\dsp f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ &
$\mathcal{C}_f$ est une hyperbole d'asymptote $y=\frac{a}{c}$ en
$-\infty$ et $+\infty$, et d'asymptote verticale $x=-\frac{d}{c}$ &
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-5,.2)(1.6,1.7)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-5.5,0)(7,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-16)(0,20)
  \psline[linewidth=0.5pt](1,-16)(1,20)
  \psline[linewidth=0.5pt](-5,2)(6,2)
  \psplot{-5}{0.75}{2 x mul 3 add x -1 add div}
  \psplot{1.25}{6}{2 x mul 3 add x -1 add div}
\end{pspicture}
\tabularnewline\hline

Télécharger le fichier source