Source Latex
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\def\No{\N_0}
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\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcommand{\TITLE}{Barycentres}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\pagestyle{empty}
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\huge\bf xymaths.free.fr
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\ct{\Large \bf \TITLE}
%\vspq
\vspd
\hspace{-1cm}
\fbox{\bf Barycentres de deux points}
Soit $A$ et $B$ deux points et $a$ et $b$ deux réels tels que
$a+b\not=0$.
\vspd
Le barycentre $G$ des points pondérés
$\la (A;a);(B;b)\ra$ est l'unique point tel que:
\ul{$a\V{GA}+b\V{GB}=\V{0}$}.
\vspd
\noindent
\ul{Homogénéïté.} Pour tout réel $k\not=0$, $G$ est aussi le
barycentre de $\la (A;ka);(B;kb)\ra$.
\vspd
\noindent
\ul{Réduction vectorielle.}
Pour tout point $M$,
\ul{$a\V{MA}+b\V{MB}=(a+b)\V{MG}$}.
\vspd
\noindent
\ul{Coordonnées.}
\vspace{-0.2cm}
$G(x_G;y_G)$, avec
$\dsp x_G=\frac{ax_A+bx_A}{a+b}$ et
$\dsp y_G=\frac{ay_A+by_B}{a+b}$
\vspd
\hspace{-1cm}
\fbox{\bf Barycentres de $n$ points}
Soit $A_1$, $A_2$, \dots, $A_n$ $n$ points et $a_1$, $a_2$, \dots
$a_n$ $n$ réels tels que $a_1+a_2+\dots+a_n\not=0$.
\vspd\noindent
Le barycentre des points pondérés
$\la (A_1\!;\!a_1);(A_2\!;\!a_2)\dots (A_n\!;\!a_n)\ra$ est l'unique point $G$ tel que:
\ul{$a_1\V{GA_1}+a_2\V{GA_2}+\dots a_n\V{GA_n}=\V{0}$}.
\vspd
\noindent
\ul{Homogénéïté.} Pour tout réel $k\not=0$, $G$ est aussi le
barycentre de $\la (A_1;ka_1);(A_2;ka_2)\dots(A_n;ka_n)\ra$.
\vspd
\noindent
\ul{Réduction vectorielle.}
Pour tout point $M$,
\vsp
\ul{$a_1\V{MA_1}+a_2\V{MA_2}+\dots a_n\V{MA_n}=(a_1+a_2+\dots+a_n)\V{MG}$}.
\vspd
\noindent
\ul{Coordonnées.}
$G(x_G;y_G)$, avec
\hspace{-0.4cm}
$\dsp x_G=\frac{a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n}{a_1+a_2+\dots+a_n}$ et
$\dsp y_G=\frac{a_1y_1+a_2y_2+\dots+a_ny_n}{a_1+a_2+\dots+a_n}$
\vspd
\noindent
\ul{Associativité.}
Le barycentre $G$ de
$\la (A_1;a_1);\dots;(A_n;a_n);(B_1;b_1);\dots;(B_m;b_m)\ra$
est aussi le barycentre de
$\la (G_A;a);(B_1;b_1);\dots;(B_m;b_m)\ra$
où, $G_A$ est le barycentre de $\la (A_1;a_1);\dots;(A_n;a_n)\ra$
et $a=a_1+a_2+\dots+a_n\not=0$.
\end{document}
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