Source Latex
de la correction du devoir
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\scp}{\scriptstyle}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=27.5cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, juin 2009)}
\vsp
\bgit
\item[a.] Pour $n=10$,
$10 w_{10} = 11 w_{9}+1=11\tm 19+1=210$, d'o�,
\ul{$w_{10}=21$}.
\vsp
\item[b.] D'apr�s les valeurs de $w_n$ pour les premiers entiers,
on peut conjecturer que $w_n=2n+1$.
\vsp
\ul{D�monstration de la conjecture:}
D�monstration par r�currence.
\ul{Initialisation:} La relation est vraie pour tous les entiers
$n\leq 10$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$w_n=2n+1$ (hypoth�se de r�currence), alors,
$(n+1)w_{n+1}=(n+2)w_n+1=(n+2)(2n+1)+1$ d'apr�s l'hypoth�se de
r�currence.
On a donc, $(n+1)w_{n+1}=2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)$, soit donc
$w_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$.
Ainsi, l'expression est encore vraie au rang $n+1$.
\vspd
On a ainsi d�montr� d'apr�s le principe de r�currence que,
\fbox{pour tout entier $n$, $w_n=2n+1$}.
\vsp
On en d�duit que \ul{$w_{2009}=2\tm2009+1=4019$}.
\enit
\enex
\bgex
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie I.}
$g$ est d�finie sur $\R$ par:
$g(x)=x^3-3x-4$.
\vsp
\bgit
\item[1.] \vspace{-1.4cm}
\bgmp[t]{10cm}
$g$ est une fonction polyn�me donc d�rivable sur $\R$,
et, pour tout $x$ r�el,
$g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}\vspace{1.cm}
\begin{tabular}{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$g'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&&$-2$&&&&\\
$g$ && \Large{$\nearrow$} && \Large{$\searrow$}
&& \Large{$\nearrow$} &\\
&&&&&$-6$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vsp
\item[2.] $g$ est une fonction polyn�me, donc continue sur $\R$.
De plus, sa limite en $+\infty$ est la limite de son terme de plus
haut degr�: $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$,
et comme $g(1)=-6<0$, on en d�duit, d'apr�s le th�or�me des valeurs
interm�diaires, que il existe un unique r�el $\alpha\in]1;+\infty[$
tel que $g(\alpha)=0$.
Comme de plus, $g(x)<0$ pour tout $x\in]-\infty;1]$, on en d�duit
que
\ul{$\alpha\in]1;+\infty[$ est la seule solution sur $\R$ de
l'�quation $g(x)=0$}.
\vsp
\item[3.] On d�duit de la question pr�c�dente le signe de $g$:
\begin{tabular}{|c|*4{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$g(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\enit
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie II.}
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
\vsp
\bgit
\item[1.] \ul{Limites en $-\infty$:}
$f$ est une fonction rationnelle, donc sa limite en $-\infty$ est
celle du rapport de ses termes de plus haut degr�:
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x^2}
=\lim_{x\to-\infty}x$, donc
\fbox{$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$}.
\vspd
\ul{Limites en $-1$:}
Signe de $x^2-1$:
\begin{tabular}[c]{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.55cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$x^2-1$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\vspd
$\dsp\lim_{x\to-1} (x^3+2x^2)=1$ et
$\dsp\lim_{x\to-1^-} (x^2-1)=0^+$,
d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to-1^-} f(x)=+\infty$}.
\vspd
$\dsp\lim_{x\to-1} (x^3+2x^2)=1$ et
$\dsp\lim_{x\to-1^+} (x^2-1)=0^-$,
d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to-1^+} f(x)=-\infty$}.
\ul{On en d�duit que la droite d'�quation $x=-1$ est asymptote
verticale � $\Cf$}.
\vsp
\item[2.]
Pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$,
$\dsp x+2+\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{(x+2)(x^2-1)+x+2}{x^2-1}
=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}=f(x)$.
\vspd
Ainsi, \fbox{pour tout $x\in\R\setminus\la-1;1\ra$,
$\dsp f(x)=x+2+\frac{x+2}{x^2-1}$}.
\vsp
\item[3.] D'apr�s le calcul pr�c�dent, pour tout $x$ de
$\R\setminus\la-1;1\ra$, $\dsp f(x)-(x+2)=\frac{x+2}{x^2-1}$.
Donc,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]
=\lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{x^2-1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$,
\vsp
et de m�me,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]=0$.
\vsp
Ainsi, \ul{la droite $\Delta: y=x+2$ est asymptote oblique � $\Cf$ en
$-\infty$ et $+\infty$.}
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2007)}
\bgit
\item[a)] \
\psset{xunit=0.78cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(22,15.4)
\psline[linewidth=0.8pt](-2.2,0)(22.2,0)
\psline[linewidth=0.8pt](0,-1.5)(0,15.5)
\rput(-0.5,-0.5){$O$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(9,0)\rput(5.5,-0.5){\large$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,9)\rput(-0.5,5.3){\large$\vec{j}$}
%\multido{\i=-2+1}{23}{
% \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](-4,\i)(25,\i)
%}
%\multido{\i=-4+1}{30}{
% \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\i,-2)(\i,20)
%}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-2}{21}{1 3 div x mul 23 27 div 9 mul add}
\rput(20,13.5){$\dsp y=\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-1.5}{16}{x}\rput(16.5,15.2){$y=x$}
\psdot(18,0)\rput(18.7,-0.5){$A$}\rput(17.8,-0.5){$u_0$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,0)(18,13.67)
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,13.67)(0,13.67)
\rput(-0.5,13.7){$u_1$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,13.67)
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,0)
\rput(13.7,-0.5){$u_1$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,12.22)(0,12.22)
\rput(-0.5,12.3){$u_2$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,12.22)(12.22,0)
\rput(12.5,-0.5){$u_2$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,11.74)(0,11.74)
\rput(-0.5,11.7){$u_3$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](11.74,11.74)(11.74,0)
\rput(11.5,-0.5){$u_3$}
\end{pspicture}
\item[b)] Pour tout entier $n$,
$\dsp u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}$, ainsi,
si $(u_n)$ converge vers $l\in\R$, alors, d'apr�s le th�or�me du
point fixe,
$\dsp l=\frac{1}{3}l+\frac{23}{27}$,
soit $\dsp \frac{2}{3}l=\frac{23}{27}$, et donc,
\ul{$\dsp l=\frac{23}{18}$}.
\item[c)] On veut d�montrer par r�currence que pour tout entier $n$,
$\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$.
\ul{Initialisation.} $\dsp u_0=2\geq \frac{23}{18}$, donc la propri�t�
est vraie pour $n=0$.
\ul{H�r�dit�.} Supposons que pour un entier $n$,
$\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$.
Alors, $\dsp \frac{1}{3}u_n\geq \frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}$, et
donc,
$\dsp \frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}\geq
\frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}+\frac{23}{27}=\frac{23}{27}\tm\frac{3}{2}
=\frac{23}{18}$,
ainsi, $\dsp u_{n+1}\geq \frac{23}{18}$.
\vspd
La propri�t� est donc encore vraie au rang $n+1$,
et donc, d'apr�s le principe de r�currence,
\fbox{pour tout entier $n$, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$}.
\vspd
\item[d)] Pour tout $n\in\N$,
$\dsp u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}-u_n
=-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}$.
D'apr�s la question pr�c�dente, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$,
et donc,
$\dsp -\frac{2}{3}u_n\leq -\frac{2}{3}\tm\frac{23}{18}
=-\frac{23}{27}$.
On en d�duit finalement que
$\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}
\leq -\frac{23}{27}+\frac{23}{27} = 0$, et ainsi que
\ul{la suite $(u_n)$ est d�croissante}.
\vspd
Comme elle est de plus, d'apr�s la question pr�c�dente minor�e par
$\dsp \frac{23}{18}$, elle est donc convergente vers une limite
$l\in\R$.
\vsp
D'apr�s la question b), on en d�duit donc que
\fbox{la suite $(u_n)$ converge vers $\dsp l=\frac{23}{18}$}.
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, juin 2005 4 points)}
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Partie A}
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes, avec par exemple
$(u_n)$ croissante et $(v_n)$ d�croissante.
Alors, d'apr�s $(2)$, pour tout entier $n$, $u_n\leq v_n$.
De plus, comme $(v_n)$ est d�croissante, pour tout entier $n$,
$u_n\leq v_n\leq v_{n-1}\leq v_{n-2}\leq \cdots \leq v_1\leq v_0$.
Ainsi, la suite $(u_n)$ est major�e par $v_0$, et comme elle est de plus
croissante, on en d�duit d'apr�s $(3)$ que
\ul{$(v_n)$ converge vers une limite $l\in\R$}.
\vspd
De m�me, comme $(u_n)$ est croissante, pour tout entier $n$,
$u_0\leq u_1 \leq u_2 \leq \cdots \leq u_{n-1}\leq u_n\leq v_n$.
Ainsi, la suite $(v_n)$ est minor�e par $u_0$, et comme elle est de
plus d�croissante, on en d�duit d'apr�s $(3)$ que
\ul{$(u_n)$ converge vers une limite $l'\in\R$}.
\vspd
D'apr�s $(1)$, $\dsp \lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0$,
et comme d'apr�s ce qui pr�c�de
$\dsp\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=l-l'$,
on en d�duit que $l-l'=0$, soit $l=l'$.
Ainsi \ul{$(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la m�me limite $l$}.
\paragraph{Partie B}
\bgit
\item[1.] {\bf Faux} Si $(u_n)$ converge vers $0$, $(v_n)$ diverge.
Par exemple $\dsp u_n=\frac{1}{n}$, alors
$\dsp\lim_{n\to+\infty}(u_n)=0$, tandis que $v_n=-2n$, et
$\dsp\lim_{n\to+\infty}(v_n)=-\infty$.
\item[2.] {\bf Vrai} Si pour tout entier $n$, $u_n\geq 2$, alors
$\dsp\frac{1}{u_n}\leq \frac{1}{2}$, car la fonction inverse
$\dsp x\mapsto\frac{1}{x}$ est d�croissante, et donc
$\dsp v_n=-\frac{2}{u_n}\geq \frac{-2}{2}=-1$,
c'est-�-dire que \ul{$(v_n)$ est minor�e par $-1$}.
\item[3.] {\bf Faux}
Si $(u_n)$ est d�croissante, alors pour tout entier $n$,
$u_{n+1}\leq u_n$.
On en d�duit que $\dsp \frac{1}{u_{n+1}}\geq \frac{1}{u_n}$, car
la fonction inverse $\dsp x\mapsto\frac{1}{x}$ est d�croissante,
et donc que $\dsp -\frac{2}{u_{n+1}}\leq -\frac{2}{u_n}$,
c'est-�-dire $v_{n+1}\leq v_n$, donc $(v_n)$ est aussi d�croissante.
\vsp
\item[4.] {\bf Faux}
Une suite est divergente si elle ne converge pas, donc si elle tend
vers $+\infty$ ou $-\infty$, ou si elle ne tend vers aucune limite.
Par exemple, la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=(-1)^n$, qui vaut
alternativement $1$ et $-1$ ne converge vers aucune limite.
$(u_n)$ est donc divergente, et il en est de m�me de la suite
$(v_n)$ d�finie par
$\dsp v_n=\frac{-2}{(-1)^n}=\frac{-2}{u_n}=-2(-1)^n$ qui vaut alternativement
$-2$ et $+2$.
\enit
\enex
\end{document}
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