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Terminale S

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: Suite récurrente - Étude de fonction: variations, limites, asymptotes (dont oblique) - Construction graphique des premiers termes d'une suite récurrente, conjecture et démonstration (point fixe) - Sujets du Bac 2004, 2007 et 2009
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: Suite récurrente - Étude de fonction: variations, limites, asymptotes (dont oblique) - Construction graphique des premiers termes d'une suite récurrente, conjecture et démonstration (point fixe) - Sujets du Bac 2004, 2007 et 2009
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, asymptote, suites, étude de fonctions

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    \documentclass[12pt]{article}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\scp}{\scriptstyle}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=27.5cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}

\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, juin 2009)}

\vsp

    \bgit
    \item[a.] Pour $n=10$, 
      $10 w_{10} = 11 w_{9}+1=11\tm 19+1=210$, d'o�, 
      \ul{$w_{10}=21$}.

      \vsp
    \item[b.] D'apr�s les valeurs de $w_n$ pour les premiers entiers, 
      on peut conjecturer que $w_n=2n+1$. 

      \vsp
      \ul{D�monstration de la conjecture:} 
      D�monstration par r�currence. 

      \ul{Initialisation:} La relation est vraie pour tous les entiers
      $n\leq 10$. 

      \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
      $w_n=2n+1$ (hypoth�se de r�currence), alors, 
      $(n+1)w_{n+1}=(n+2)w_n+1=(n+2)(2n+1)+1$ d'apr�s l'hypoth�se de
      r�currence. 

      On a donc, $(n+1)w_{n+1}=2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)$, soit donc 
      $w_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$. 

      Ainsi, l'expression est encore vraie au rang $n+1$. 

      \vspd
      On a ainsi d�montr� d'apr�s le principe de r�currence que, 
      \fbox{pour tout entier $n$,  $w_n=2n+1$}.
      
      \vsp
      On en d�duit que \ul{$w_{2009}=2\tm2009+1=4019$}. 

    \enit
\enex

\bgex
\vspace{-0.5cm}

\paragraph{Partie I.} 

$g$ est d�finie sur $\R$ par: 
$g(x)=x^3-3x-4$. 

\vsp
\bgit
\item[1.] \vspace{-1.4cm}
  \bgmp[t]{10cm}
  $g$ est une fonction polyn�me donc d�rivable sur $\R$, 
  et, pour tout $x$ r�el, 

  $g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$. 
  \enmp\hspace{0.2cm}
  \bgmp{6cm}\vspace{1.cm}
  \begin{tabular}{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
    $g'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    &&&$-2$&&&&\\
    $g$ && \Large{$\nearrow$} && \Large{$\searrow$}
    && \Large{$\nearrow$} &\\
    &&&&&$-6$&&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp

  \vsp
\item[2.] $g$ est une fonction polyn�me, donc continue sur $\R$. 
  De plus, sa limite en $+\infty$ est la limite de son terme de plus
  haut degr�: $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$, 
  et comme $g(1)=-6<0$, on en d�duit, d'apr�s le th�or�me des valeurs
  interm�diaires, que il existe un unique r�el $\alpha\in]1;+\infty[$
  tel que $g(\alpha)=0$. 
  Comme de plus, $g(x)<0$ pour tout $x\in]-\infty;1]$, on en d�duit
  que 
  \ul{$\alpha\in]1;+\infty[$ est la seule solution sur $\R$ de
    l'�quation $g(x)=0$}. 

  \vsp
\item[3.] On d�duit de la question pr�c�dente le signe de $g$: 
  \begin{tabular}{|c|*4{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
    $g(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
  \end{tabular}

\enit


\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie II.} 
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par: 
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$. 

\vsp
\bgit

\item[1.] \ul{Limites en $-\infty$:} 
  $f$ est une fonction rationnelle, donc sa limite en $-\infty$ est
  celle du rapport de ses termes de plus haut degr�:  
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x^2}
  =\lim_{x\to-\infty}x$, donc 
  \fbox{$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$}.

  \vspd
  \ul{Limites en $-1$:} 
  Signe de $x^2-1$: 
  \begin{tabular}[c]{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.55cm}|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
    $x^2-1$ && $+$ & \zb &  $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
  \end{tabular}

  \vspd
  $\dsp\lim_{x\to-1} (x^3+2x^2)=1$ et 
  $\dsp\lim_{x\to-1^-} (x^2-1)=0^+$, 
  d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to-1^-} f(x)=+\infty$}.

  \vspd
  $\dsp\lim_{x\to-1} (x^3+2x^2)=1$ et 
  $\dsp\lim_{x\to-1^+} (x^2-1)=0^-$, 
  d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to-1^+} f(x)=-\infty$}.
  
  \ul{On en d�duit que la droite d'�quation $x=-1$ est asymptote
    verticale � $\Cf$}. 

  \vsp
\item[2.] 
  Pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$, 
  $\dsp x+2+\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{(x+2)(x^2-1)+x+2}{x^2-1}
  =\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}=f(x)$.

  \vspd
  Ainsi, \fbox{pour tout $x\in\R\setminus\la-1;1\ra$, 
  $\dsp f(x)=x+2+\frac{x+2}{x^2-1}$}.
  \vsp
\item[3.] D'apr�s le calcul pr�c�dent, pour tout $x$ de 
  $\R\setminus\la-1;1\ra$, $\dsp f(x)-(x+2)=\frac{x+2}{x^2-1}$. 

  Donc, 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]
  =\lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{x^2-1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2}
  =\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$, 

  \vsp
  et de m�me, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]=0$. 

  \vsp
  Ainsi, \ul{la droite $\Delta: y=x+2$ est asymptote oblique � $\Cf$ en
  $-\infty$ et $+\infty$.}

\enit

\enex


\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2007)}


  \bgit
  \item[a)] \ 

\psset{xunit=0.78cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(22,15.4)
  \psline[linewidth=0.8pt](-2.2,0)(22.2,0)
  \psline[linewidth=0.8pt](0,-1.5)(0,15.5)
  \rput(-0.5,-0.5){$O$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(9,0)\rput(5.5,-0.5){\large$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,9)\rput(-0.5,5.3){\large$\vec{j}$}
  %\multido{\i=-2+1}{23}{
  %  \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](-4,\i)(25,\i)
  %}
  %\multido{\i=-4+1}{30}{
  %  \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\i,-2)(\i,20)
  %}
  
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-2}{21}{1 3 div x mul 23 27 div 9 mul add}
  \rput(20,13.5){$\dsp y=\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$}
  \psplot[linewidth=1.6pt]{-1.5}{16}{x}\rput(16.5,15.2){$y=x$}

  \psdot(18,0)\rput(18.7,-0.5){$A$}\rput(17.8,-0.5){$u_0$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,0)(18,13.67)
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,13.67)(0,13.67)
  \rput(-0.5,13.7){$u_1$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,13.67)
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,0)
  \rput(13.7,-0.5){$u_1$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,12.22)(0,12.22)
  \rput(-0.5,12.3){$u_2$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,12.22)(12.22,0)
  \rput(12.5,-0.5){$u_2$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,11.74)(0,11.74)
  \rput(-0.5,11.7){$u_3$}
  \psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](11.74,11.74)(11.74,0)
  \rput(11.5,-0.5){$u_3$}
\end{pspicture}

   
 \item[b)] Pour tout entier $n$, 
   $\dsp u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}$, ainsi, 
   si $(u_n)$ converge vers $l\in\R$, alors, d'apr�s le th�or�me du
   point fixe, 
   $\dsp l=\frac{1}{3}l+\frac{23}{27}$, 
   soit $\dsp \frac{2}{3}l=\frac{23}{27}$, et donc, 
   \ul{$\dsp l=\frac{23}{18}$}.
   
 \item[c)] On veut d�montrer par r�currence que pour tout entier $n$, 
   $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$. 

   \ul{Initialisation.} $\dsp u_0=2\geq \frac{23}{18}$, donc la propri�t�
   est vraie pour $n=0$.

   \ul{H�r�dit�.} Supposons que pour un entier $n$, 
   $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$. 

   Alors, $\dsp \frac{1}{3}u_n\geq \frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}$, et
   donc, 
   $\dsp \frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}\geq
   \frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}+\frac{23}{27}=\frac{23}{27}\tm\frac{3}{2}
   =\frac{23}{18}$, 
   ainsi, $\dsp u_{n+1}\geq \frac{23}{18}$. 

   \vspd
   La propri�t� est donc encore vraie au rang $n+1$, 
   et donc, d'apr�s le principe de r�currence, 
   \fbox{pour tout entier $n$, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$}.

   \vspd
 \item[d)] Pour tout $n\in\N$, 
   $\dsp u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}-u_n
   =-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}$. 

   D'apr�s la question pr�c�dente, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$, 
   et donc, 
   $\dsp -\frac{2}{3}u_n\leq -\frac{2}{3}\tm\frac{23}{18}
   =-\frac{23}{27}$. 

   On en d�duit finalement que 
   $\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}
   \leq -\frac{23}{27}+\frac{23}{27} = 0$, et ainsi que 
   \ul{la suite $(u_n)$ est d�croissante}.

   \vspd
   Comme elle est de plus, d'apr�s la question pr�c�dente minor�e par 
   $\dsp \frac{23}{18}$, elle est donc convergente vers une limite
   $l\in\R$. 

   \vsp 
   D'apr�s la question b), on en d�duit donc que 
   \fbox{la suite $(u_n)$ converge vers $\dsp l=\frac{23}{18}$}.

\enit
  

\enex


\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, juin 2005 4 points)}
\vspace{-0.4cm}

\paragraph{Partie A}
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes, avec par exemple
$(u_n)$ croissante et $(v_n)$ d�croissante. 

Alors, d'apr�s $(2)$, pour tout entier $n$, $u_n\leq v_n$. 

De plus, comme $(v_n)$ est d�croissante, pour tout entier $n$, 
$u_n\leq v_n\leq v_{n-1}\leq v_{n-2}\leq \cdots \leq v_1\leq v_0$. 
Ainsi, la suite $(u_n)$ est major�e par $v_0$, et comme elle est de plus 
croissante, on en d�duit d'apr�s $(3)$ que 
\ul{$(v_n)$ converge vers une limite $l\in\R$}.  

\vspd
De m�me, comme $(u_n)$ est croissante, pour tout entier $n$, 
$u_0\leq u_1 \leq u_2 \leq \cdots \leq u_{n-1}\leq u_n\leq v_n$. 
Ainsi, la suite $(v_n)$ est minor�e par $u_0$, et comme elle est de
plus d�croissante, on en d�duit d'apr�s $(3)$ que 
\ul{$(u_n)$ converge vers une limite $l'\in\R$}. 

\vspd
D'apr�s $(1)$, $\dsp \lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0$, 
et comme d'apr�s ce qui pr�c�de 
$\dsp\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=l-l'$, 
on en d�duit que $l-l'=0$, soit $l=l'$. 
Ainsi \ul{$(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la m�me limite $l$}.


\paragraph{Partie B}

\bgit
\item[1.] {\bf Faux} Si $(u_n)$ converge vers $0$, $(v_n)$ diverge. 
  Par exemple $\dsp u_n=\frac{1}{n}$, alors
  $\dsp\lim_{n\to+\infty}(u_n)=0$, tandis que $v_n=-2n$, et 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty}(v_n)=-\infty$.

\item[2.] {\bf Vrai} Si pour tout entier $n$, $u_n\geq 2$, alors 
  $\dsp\frac{1}{u_n}\leq \frac{1}{2}$, car la fonction inverse
  $\dsp x\mapsto\frac{1}{x}$ est d�croissante, et donc 
  $\dsp v_n=-\frac{2}{u_n}\geq \frac{-2}{2}=-1$, 
  c'est-�-dire que \ul{$(v_n)$ est minor�e par $-1$}.
\item[3.] {\bf Faux} 
  Si $(u_n)$ est d�croissante, alors pour tout entier $n$, 
  $u_{n+1}\leq u_n$. 

  On en d�duit que $\dsp \frac{1}{u_{n+1}}\geq \frac{1}{u_n}$, car 
  la fonction inverse $\dsp x\mapsto\frac{1}{x}$ est d�croissante, 
  et donc que $\dsp -\frac{2}{u_{n+1}}\leq -\frac{2}{u_n}$, 
  c'est-�-dire $v_{n+1}\leq v_n$, donc $(v_n)$ est aussi d�croissante.

  \vsp
\item[4.] {\bf Faux} 
  Une suite est divergente si elle ne converge pas, donc si elle tend
  vers $+\infty$ ou $-\infty$, ou si elle ne tend vers aucune limite. 

  Par exemple, la suite $(u_n)$ d�finie par $u_n=(-1)^n$, qui vaut
  alternativement $1$ et $-1$ ne converge vers aucune limite. 
  $(u_n)$ est donc divergente, et il en est de m�me de la suite 
  $(v_n)$ d�finie par 
  $\dsp v_n=\frac{-2}{(-1)^n}=\frac{-2}{u_n}=-2(-1)^n$ qui vaut alternativement 
  $-2$ et $+2$. 
\enit

\enex


\end{document}

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