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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques en TS: suites, fonctions et limites},
pdftitle={Devoir de mathématiques},
pdfkeywords={Mathématiques, suites}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
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\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{Devoir de mathématiques - TS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
\bgen
\item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $-1$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
\item Calculer la d\'eriv\'ee de $f$ sur $\R\setminus\la-1;1\ra$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'\'equation $y=x+2$ est une
asymptote oblique \`a $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\enen
\enex
\bgex
On considère la suite $\lp u_n\rp$ définie par:
$u_1=-5$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\lp1+\dfrac2n\rp u_n+\dfrac{18}{n}-4\,.\]
\bgen
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature de la suite
$\lp u_n\rp$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$u_n=4n-9$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction tangente, définie sur
$I=\Bigl[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$ par
$f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
\bgen
\item Montrer que, pour tout $x\in I$,
$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$
et que
$f'(x)=1+\tan^2(x)$.
\item Exprimer, pour tout $x\in I$, $\tan\lp \pi-x\rp$ puis $\tan\lp x+\dfrac{\pi}{2}\rp$ en fonction de $\tan(x)$.
\enen
\enex
\bgex On considère les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement
sur $\R$ et $\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[$ par les expressions
$f(x)=\dfrac14 x^2+x+\dfrac34$ et
$g(x)=\sqrt{3x-2}+1$.
On note $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_f$ leur courbe représentative
respective.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
$\mathcal{C}_f$ et des axes du repère.
\item Dresser le tableau de variation de $f$. Préciser les limites en
l'infini.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Etudier la limite de $g$ en $+\infty$.
\item Etudier les variations de $g$.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point
d'abscisse $a$.
\item On dit que deux courbes sont tangentes en un point lorsque, en
ce point, les deux courbes ont la même tangente.
Montrer que les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont
tangentes au point d'abscisse $1$.
\enen
\item Tracer les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un
repère en utilisant tous les résultats précédents.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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