Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex \textsc{Asie}, {\sl juin 2011}
%Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle
$]0~;~+\infty[$ par\quad
$f(x)= \dfrac{\ln x}{x}$.
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle
%$]0~;~+\infty[$.
%On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$
%dans le repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. La courbe
%$\mathcal{C}_{f}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la
%copie).
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
Préciser les éventuelles asymptotes.
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item %Étude d'une fonction $g$
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
\quad $g(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x}$.
%On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction
%$g$ dans le repère $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer la relation, pour tout réel $x>0$,
\quad$\dfrac{(\ln x)^2}{x} = 4 \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}}
\right)^2$.
\item Déterminer la limite de $g$ en $0$, puis en $+ \infty$.
Préciser les éventuelles asymptotes.
%\emph{Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation} :
%$\dfrac{(\ln x)^2}{x} = 4 \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}}
%\right)^2$.
\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
\end{enumerate}
%\item
% \begin{enumerate}
% \item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et
% $\mathcal{C}_{g}$ possèdent deux points communs dont on précisera
% les coordonnées.
% \item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et
% $\mathcal{C}_{g}$.
% \item Tracer sur le graphique de l'annexe 1 (à rendre avec la copie)
% la courbe C , g .
% \end{enumerate}
%\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire,
% de la partie du plan délimitée, d'une part par les courbes
% $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, et d'autre part par les
% droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
%
% En exprimant l'aire $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que
% l'on précisera, calculer l'aire $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\enex
\bgex
{\textsc{Liban}, {\sl mai 2014}}
\medskip
On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$:
\[z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n.\]
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}
\medskip
\textbf{Partie A}\quad
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$.
\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
%\item \'Etant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.
%
%Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
%\begin{center}
%\fbox{
%\begin{tabular}{lcl}
%\textbf{Variables}&: &$u$ est un réel\\
%&&$p$ est un réel\\
%&& $n$ est un entier\\
% \textbf{Initialisation}&:& Affecter à $n$ la valeur 0\\
%&& Affecter à $u$ la valeur 2\\
% \textbf{Entrée}&:& Demander la valeur de $p$ \\
% \textbf{Traitement}&:&\\
%
%\\
% \textbf{Sortie}&:& \\
%\end{tabular}
%}
%\end{center}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$.
En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
\end{enumerate}
\enex
\bgex
{\textsc{Antilles-Guyane}, {\sl septembre 2014 }}
\medskip
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$.
%On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
%
%Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et
%complété au fur et à mesure des questions.
\medskip
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe
\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
%Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points
%A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont
%l'affixe a une partie imaginaire positive).
%
%On laissera les traits de construction apparents.
\item Soit $\lambda$ un nombre réel.
On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles
l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes
conjuguées.
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie
\[|f(z) - 8| = 3.\]
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon
$\sqrt{3}$.
% Tracer (F) sur le graphique.
%\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$
% et $y$ sont des nombres réels.
% \begin{enumerate}
% \item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est
% \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
% \item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont
% l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
%
% Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$
% dont on précisera les équations.
%
% Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
% \end{enumerate}
%\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des
% ensembles (E) et (F).
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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