Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Correction du DS de math�matiques: Nombres complexes},
pdftitle={Correction du devoir de math�matiques: Nombres complexes},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S,
complexes, nombres complexes, corig�, correction,
exerices, bac, baccalaur�at, type BAC}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=27cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, Septembre 2007, 5 points)}
\begin{enumerate}
\item On a
$\dsp Z = \frac{z_{1}}{z_{2}}
= \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{6}}{2 + 2i}
= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i}
= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}
= \frac{\sqrt{2}}{4}\left[1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right) \right]$.
\item %Modules et arguments :
\bgit
\item $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$. On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$.
\item On a de m�me $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$, puis $z_{2} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
Donc arg$(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$.
\item Il suit
arg$(Z)=\arg\lp\dsp\frac{z_1}{z_2}\rp=\arg(z_1)-\arg(z_2)=$
$\dsp\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}~~[2\pi]$.
%$Z = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{\pi}{3} - \frac%{\pi}{4}\right)} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
et $\dsp |Z| = \frac{|z_1|}{|z_2|}=1$.
\enit
\item On en d�duit que
$Z = \cos \lp \dfrac{\pi}{12}\rp + i\sin \lp
\dfrac{\pi}{12}\rp$ et par identification avec la forme alg�brique
du 1):
\[\cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) =
\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lp 1 +\sqrt{3}\rp
~~\text{et}~~
\sin \left( \dfrac{\pi}{12}\right)
=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lp \sqrt{3} - 1\rp \]
\item
\bgmp[t]{10cm}
On place facilement le point B(2 ; 2) :
Le point A d'affixe $z_{1}$ est obtenu en construisant la m�diatrice
du segment [OI].
Le point D est obtenu en construisant la bissectrice de $\widehat{\text{IOA}}$.
Le point C avec la bissectrice de $\widehat{\text{IOD}}$ et le cercle
de centre O et de rayon 1.
\enmp
\bgmp{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-3,3)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-3,0)(3,3)
\psarc(0,0){2.858}{0}{180}
\psarc(0,0){1}{0}{180}
\psline(0,0)(2,2) \psline[linestyle=dashed](1.414,-0.3)(1.414,3)
\SpecialCoor
\psline(0;0)(2.828;60) \psline(0;0)(2.828;30)\psline(0;0)(2.828;45)
\psline(0;0)(1;15)\uput[d](0;0){O} \uput[d](2.828;0){I}
\uput[ur](2.828;60){A$\left(\frac{\pi}{6}\right)$} \uput[ur](2.828;45){B$\left(\frac{\pi}{4}\right)$} \uput[ur](2.828;30){D$\left(\frac{\pi}{6}\right)$} \uput[ur](1;15){C$\left(\frac{\pi}{12}\right)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\enmp
\item Le module :
$\left|Z^{2007} \right| = |Z|^{2007} = 1^{2007} = 1$.
L'argument : arg$\left(Z^{2007} \right) = 2007\tm \dfrac{\pi}{12}=
\dfrac{669\pi}{4} = \dfrac{672\pi - 3\pi}{4} =
168\pi - \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4}~~[2\pi]$.
On a donc
$\dsp Z^{2007} = e^{-\frac{3\pi}{4}} = \cos
\left(-\frac{3\pi}{4} \right) + i\sin \left(-\frac{3\pi}{4}
\right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - i\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
\end{enumerate}
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at Antilles-Guyane, Juin 2000, 5 points)}
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[(a)] $P(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+3(-1)+7=0$
\item[(b)] $(z+1)(z^2+az+b)=z^3+(a+1)z^2+(b+a)z+b$
donc,
$P(z)=z^3-3z^2+3z+7=(z+1)(z^2+az+b)\iff
\la\bgar{l}
a+1=-3\\
a+b=3\\
b=7
\enar\right.
\iff\la\bgar{l} a=-4\\b=7\enar\right.$,
d'o�, \ul{$P(z)=(z+1)(z^2-4z+7)$}.
\item[(c)] Le trin�me $z^2-4z+7$ a pour discriminant:
$\Delta=16-28=-12<0$, et admet donc deux racines complexes
conjugu�es.
Au final,
\ul{$P(z)=0 \iff z\in\la -1; 2-i\sqrt{3};2+i\sqrt{3}\ra$}.
\enit
\item[2.]
\bgit
\item[(a)]
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,2)(4,2)
\psline{->}(-2,0)(4,0)
\psline{->}(0,-2.5)(0,2.5)\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.3){$\vec{u}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{v}$}
\rput(-1,0){$\tm$}\rput(-1,0.3){$A$}\rput(-1,-0.3){-$1$}
\rput(2,1.732){$\tm$}\rput(2,2.1){$B$}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,1.732)(2,1.732)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2,0)(2,1.732)
\rput(-0.4,1.73){$\sqrt{3}$}\rput(2.,-0.3){$2$}
\rput(2,-1.732){$\tm$}\rput(2,-2.1){$C$}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,-1.732)(2,-1.732)
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2,0)(2,-1.732)
\rput(-0.4,-1.73){-$\sqrt{3}$}
\rput(3,0){$\tm$}\rput(3,0.3){$G$}\rput(3,-0.3){$3$}
% Ensemble (D)
\psline(-2,0.577)(3,-2.309)\rput(-1.8,0.8){$(D)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[t]{12cm}
\item[(b)] $AB=|z_B-z_A|=|(2+i\sqrt{3})-(-1)|=2\sqrt{3}$
\vspd
$BC=|z_C-z_B|=(2-i\sqrt{3})-(2+i\sqrt{3})|=2\sqrt{3}$
\vspd
$AC=|z_C-z_A|=(2-i\sqrt{3})-(-1)|=2\sqrt{3}$
\vspd
On en d�duit que \ul{le triangle $ABC$ est �quilat�ral}.
\vspd
\item[(c)]
$\bgar[t]{ll}
Z
&\dsp=\frac{z_A-z_C}{z_G-z_C}
=\frac{-1-(2-i\sqrt{3})}{3-(2-i\sqrt{3})} \vspd\\
&\dsp=\frac{1}{4}\lp -3+i\sqrt{3}\rp \lp 1-i\sqrt{3}\rp
=\frac{1}{4}(4i\sqrt{3})=i\sqrt{3}
\enar$
\enmp
\vspd
On a donc $Z\in i\R$, donc arg$(Z)=\dfrac{\pi}{2}$.
Comme de plus, arg$(Z)=(\V{CG},\V{CA})$,
on en d�duit que \ul{le triangle $GAC$ est rectangle en $C$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex {\it (Centres �trangers, Juin 2010)}\hrulefill {\bf 5 points}
\begin{enumerate}
\item On a $M=M'$ lorsque $z=z'$, soit:
\[
z'=z=\frac{iz}{z + 1}
\iff z(z+1)=iz
\iff z^2+z(1-i)=0
\iff z\lb z-(-1+i)\rb=0\]
soit donc, $z=0\ \text{ou}\ z=-1+i$:
les points d'affixes $0$ et $-1+\text{i}$ v�rifient $M'=M$.
\item Pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a:
\[OM'=|z'|=
\left|\frac{iz}{z + 1}\right|
=\frac{\left|iz\right|}{\left|z+1\right|}
=\frac{\left|i\right|.\left|z\right|}{\left|z+1\right|}
=\frac{\left|z\right|}{\left|z+1\right|}
=\frac{OM}{AM}
\]
\begin{align*}
\left(\vec{u},~\V{OM'}\right)
&= \text{Arg}\lp\frac{iz}{z + 1}\rp
=\text{Arg}(iz)-\text{Arg}(z+1)\ \ \lb2\pi\rb\\
&= \text{Arg}(i)+\text{Arg}(z)-\text{Arg}(z+1)\ \ \lb2\pi\rb\\
&= \frac{\pi}{2} + \lp\vec{u},~\V{OM}\rp-\lp\vec{u},~\V{AM}\rp
=\frac{\pi}{2} + \lp\vec{u},~\V{OM}\rp+\lp\V{AM},~\vec{u}\rp\ \ \lb2\pi\rb]\\
&= \frac{\pi}{2} + \lp\V{AM},~\V{OM}\rp
=\frac{\pi}{2} + \lp\V{MA},~\V{MO}\rp\ \ \lb2\pi\rb
\end{align*}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $B$ le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + i$.
(Voir figure en fin d'exercice)
\item Calcul de l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point $B$ par $f$:
\[
b'=\cfrac{i\lp-\cfrac{1}{2}+i\rp}{-\cfrac{1}{2}+i+1}
=\cfrac{-1-\cfrac{1}{2}i}{\cfrac{1}{2}+i}
=\frac{-2-i}{1+2i}
=\frac{(-2-i)(1-2i)}{1^2+2^2}
=\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}i
\]
$B'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon 1, car:
\[
|b'|
=\left|\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}i\right|
=\sqrt{\lp\frac{-4}{5}\rp^2+\lp\frac{3}{5}\rp^2}
=\sqrt{\frac{16+9}{25}}
=1 \Longleftrightarrow OM=1
\iff M\in\mathcal{C}
\]
\item Si $M$ est sur la m�diatrice $(\Delta)$, on a $OM=AM \Longleftrightarrow 1=\dfrac{OM}{AM}=OM'$. Ainsi $M'$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon 1.
\item Soit $C$ le point tel que le triangle $AOC$ soit �quilat�ral direct.
Le point $C'$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$.
On a
$\lp\vec{u},~\V{OC'}\right)=\frac{\pi}{2}
+ \lp\V{CA},~\V{CO}\rp\qquad \lb2\pi\rb$.
On a de plus, d'apr�s la question 2.,
$\lp\vec{u},\V{OC'}\rp=\lp\V{CA},\V{CO}\rp+\dfrac{\pi}{2}\ \lb2\pi\rb
=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}\ \lb2\pi\rb
=\dfrac{5\pi}{6}\ \lb2\pi\rb$,
et, comme
$\sin\lp\dfrac{5\pi}{6}\rp=\dfrac{1}{2}$,
on en d�duit que $C'$ a comme ordonn�e $\dfrac{1}{2}$ et se trouve
donc aussi sur la m�diatrice de $[OD]$, avec $D(i)$.
\end{enumerate}
\item% Dans cette question, on se propose de d�terminer
%, par deux m�thodes diff�rentes,
%l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts
%de $A$ et de $O$ dont l'image $M'$ par $f$ appartient � l'axe des
%abscisses.
%\begin{enumerate}
%\item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ r�els tels que $(x,~y) \neq (-1,~0)$ et $(x,~y) \neq (0,~0)$.
%\[
% z'=\frac{\text{i}(x+\text{i}y)}{x+\text{i}y+1}=\frac{-y+\text{i}x}{(x+1)+\text{i}y}=\frac{(-y+\text{i}x)(x+1-\text{i}y)}{(x+1)^2+y^2}=\frac{-y+\text{i}(x^2+y^2+x)}{(x+1)^2+y^2};\]
%$\text{d'o�}\ \text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x +
% 1)^2 + y^2},$
% et $M'$ appartient � l'axe des abscisses si et seulement si sa partie
%imaginaire est nulle, donc si et seulement si
% \bgmp[t]{11cm}
%\[
%\left\lbrace\begin{array}{l}
%x^2+y^2+x=0\\
%(x;y)\not=(-1;0)
%\end{array}\right.
% \Longleftrightarrow
%\left\lbrace\begin{array}{l}
%\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+(y-0)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\
%(x~;~y)\not=(-1~;~0)
%\end{array}\right.
%\]
%Ainsi $(\Gamma)$ est le cercle de centre
%$\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$, priv�
%du point $A(-1~;~0)$.
\vspd
%\item
G�om�triquement, $M'$ est sur l'axe des abscisses si et
seulement si
$\lp\V{u},~\V{OM'}\rp= 0\ \lb\pi\rb$.
Soit, d'apr�s la question 2.,
\[\lp \V{MA},\V{MO}\rp+\dfrac{\pi}{2}=0\ \lb\pi\rb
\iff \lp \V{MA},\V{MO}\rp=\dfrac{\pi}{2}\ \lb\pi\rb
\iff \V{MA}\perp\V{MO}\]
On en d�duit donc que $M$ est sur le cercle de diam�tre
$[AO]$.
% \enmp
%\bgmp[m]{4cm}
%\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture}(-1.5,2)(1.5,2.)
% \psline(-1.5,0)(1.5,0)
% \psline(0,-1.5)(0,1.5)\rput(-0.1,-0.1){$O$}
% \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(-0.1,0.7){$\vec{v}$}
% \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(0.7,-0.1){$\vec{u}$}
% \psdot(-1,0)\rput(-1.1,-0.15){$A$}
% \psdot(-0.5,1)\rput(-0.4,1.15){$B$}
% \psline(-0.5,-1.3)(-0.5,1.6)\rput(-0.65,1.5){$\Delta$}
% \pscircle(0,0){1}\rput(0.8,0.8){$\mathcal{C}$}
% \psline[linestyle=dashed](-1.3,0.5)(1.5,0.5)
% \psdot(-0.866,0.5)\rput(-1,0.65){$C$}
%\end{pspicture}
%\enmp
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\end{document}
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