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sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: suites et limites},
pdftitle={Devoir de mathématiques: suites},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S, suites, limites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
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\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
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}{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}
\bgex
D\'eterminer les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$, o\`u
$u_n=\dfrac{2n+1}{4n(n+1)}$\ \ et
$v_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+n\sqrt{n}+1}$.
\enex
\bgex
On consid\`ere la suite $\lp u_n\rp$ d\'efinie par:
$u_1=-5$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\lp1+\dfrac2n\rp u_n+\dfrac{18}{n}-4\,.\]
\bgen
\item Calculer $u_2$ et $u_3$.
Quelle conjecture peut-on faire quant \`a la nature de la suite
$\lp u_n\rp$.
\item D\'emontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$u_n=4n-9$.
\enen
\enex
\bgex
{\it (Baccalaur\'eat France m\'etropolitaine, juin 2009, 4 points)}
\vsp
{\it Les deux questions de cet exercice sont ind\'ependantes.}
\vsp
\bgen
\item On consid\`ere la suite $(u_n)$ d\'efinie par $u_0=1$ et, pour
tout entier naturel $n$:
$\dsp u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
\vsp
\bgen[a.]
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en
fonction de $v_n$.
\vsp
Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$:
$\dsp u_n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6\ .$
\item Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
\enen
\vspd
\item On consid\`ere la suite $(w_n)$ dont les termes v\'erifient,
pour tout nombre entier $n\geq 1$:
\[ n w_n = (n+1)w_{n-1}+1 \ \mbox{ et } \ w_0=1\ .
\]
Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
\[\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
$w_0$ & $w_1$ & $w_2$ & $w_3$ & $w_4$ & $w_5$ &
$w_6$ & $w_7$ & $w_8$ & $w_9$ \\\hline
$1$ & $3$ & $5$ & $7$ & $9$ & $11$ & $13$ & $15$ & $17$ & $19$ \\\hline
\end{tabular}\]
\bgen[a.]
\item D\'etailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.
\vsp
\item {\it Dans cette question toute trace de recherche, m\^eme
incompl\`ete, ou d'initiative, m\^eme non fructueuse, sera prise en
compte dans l'\'evaluation.}
Donner la nature de la suite $(w_n)$. Calculer $w_{2009}$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
On consid\`ere la suite $\lp u_n\rp$ d\'efinie par: $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$:
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_n}{3 + u_n}.\]
On admet que tous les termes de cette suite sont d\'efinis et strictement positifs.
\medskip
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{\lp1 - u_n\rp\lp1 + u_n\rp}{3+u_n}$.
\item D\'eterminer le sens de variation de la suite $\lp u_n\rp$.
\item En d\'eduire que la suite $\lp u_n\rp$ converge vers une limite
que l'on déterminera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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