Source Latex
du cours de mathématiques
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\usepackage{pstricks-add}
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\usepackage{ifthen}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.8cm
\topmargin=-2cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\vspd
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp\vspd
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Equations diff�rentielles}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\section{Introduction - Contexte physique}
\paragraph{Chute d'un corps dans le vide} \
\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(4,2.5)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2){0.2}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,0)
\put(1.5,1){$P=mg$}
\end{pspicture}
\bgmp{14cm}
Si $v(t)$ d�signe la vitesse du corps � l'instant $t$,
alors l'acc�l�ration du corps est la d�riv�e $v'(t)$.
Dans le vide, le corps est soumis uniquement � la force de pesanteur
son poids) et la loi de Newton (principe fondamental de la m�canique) donne:
\[ m v'(t)=P=mg
\]
soit aussi, \hspace{4cm}\ul{$v'(t)=g$}.
\enmp
%\vspq
\paragraph{Chute d'un corps dans un liquide visqueux} \
\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,2)(4,5)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2){0.2}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,0)
\put(1.5,1){$P=mg$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,3.5)
\put(1.5,3){$F=-k\,v$}
\end{pspicture}
\bgmp{14cm}
Pour fournir un mod�le plus r�aliste, on peut prendre en compte de
plus les frottements; ceux-ci peuvent-�tre mod�lis�s par une force
oppos�e au mouvement du corps, et inversement proportionnelle � sa
vitesse.
La loi de Newton s'�crit alors:
\[ m v'(t)=F+P=-kv(t)+mg
\]
soit aussi, \hspace{2.5cm}{$mv'(t)=-kv(t)+mg$}
\vsp
ou, \hspace{4cm}\fbox{$\dsp v'(t)=-\frac{k}{m}v(t)+g$}
\vspq
La fonction $v(t)$ est cette fois solution d'une �quation
diff�rentielle reliant $v(t)$ et sa d�riv�e $v'(t)$.
\enmp
%\vspq
\paragraph{Radioactivit�}
A la toute fin du XIX �me si�cle, Marie et Pierre Curie mettent en
�vidence des �l�ments radioactifs autres que l'uranium, le polonium et
le radium.
\vspd\noindent
Des atomes de ces �l�ments radioactifs se d�sint�grent en permanence.
\noindent
Si on d�signe par $N(t)$ le nombre d'atomes de radium � l'instant $t$,
alors la quantit� d'atomes qui se d�sint�grent � un instant donn� est
proportionnelle � la quantit� d'atomes encore pr�sente:
\vspd\ct{\fbox{$N'(t)=-aN(t)$}}
\vspd
En r�solvant cette �quation, on peut donc conna�tre � chaque instant
$t$ le nombre d'atome $N(t)$.
\vspd
Ceci est par exemple appliqu� pour la {\it datation au carbone 14} de
mati�re organique.
Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone.
Connaissant le nombre d'atomes de carbone 14 pr�sents et qui se sont
d�sint�gr�s, on d�termine la dur�e qu'� pris cette d�sint�gration,
c'est-�-dire l'�ge de la mati�re organique.
\vspace{0.8cm}
\paragraph{Cas math�matique g�n�ral}
Ces deux �quations sont de la forme $y'=ay+b$, o� $y$ est la fonction
recherch�e ($v'$ ou $N$).
On appelle ces �quations
\ul{des �quations diff�rentielles du premier
ordre � coefficients constants}.
\clearpage
\section{G�n�ralit�s}
Soit $a$ et $b$ deux nombres r�els quelconques.
On cherche � r�soudre l'�quation diff�rentielle
\[(E) :\ \mbox{pour tout r�el } x\ ,\ \ y'(x)=a\,y(x) + b\]
que l'on note aussi $ (E) : y'=ay+b$,
c'est-�-dire que l'on cherche
\ul{toutes les fonctions} $f$, d�finies et d�rivables sur $\R$,
telles que $f'=a\,f+b$, ou encore telles que,
pour tout $x$ r�el, $f'(x)=a\,f(x)+b$.
\bgex Soit $f$ la solution de l'�quation diff�rentielle
$(E) : 3y'-6y=1$ telle que $f'(1)=2$.
\bgit
\item[a)] D�terminer $f(1)$.
\item[b)] Montrer que $\dsp f:x\mapsto e^{2x-2}-\frac{1}{6}$ est
solution de $(E)$.
\enit
\enex
\section{Equation $y'=ay$}
\bgth{
Soit $a$ un nombre r�el non nul.
Les solutions sur $\R$ de l'�quation diff�rentielle
$(E) : y'=ay$ sont les
fonctions d�finies par $f(x)=Ke^{ax}$,
o� $K$ est un r�el quelconque.
}
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:}
$\bullet$ \ul{$f$ est solution de $(E)$:}
$f$ d�finie sur $\R$ par $f(x)=Ke^{ax}$ est d�rivable, et
$f'(x)=aKe^{ax}=af$,
c'est-�-dire que $f$ est bien solution de l'�quation diff�rentielle
$y'=ay$.
\vspd
$\bullet$ \ul{Il n'y a pas d'autres fonctions solution de $(E)$}
Soit $g$ une fonction solution de $(E)$, c'est-�-dire telle que
$g'=ag$.
On d�finit la fonction $\vphi$ sur $\R$ par
$\dsp\vphi(x)=\frac{g(x)}{e^{ax}}=g(x)e^{-ax}$.
$\vphi$ est d�rivable sur $\R$, et
\[
\vphi'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=\Big(\underbrace{g'(x)-ag(x)}_{=0}\Big)
e^{-ax}=0
\]
Ainsi, $\vphi$ est constante sur $\R$: il existe un r�el $K$ tel que
$\vphi(x)=g(x)e^{-ax}=K$, soit donc,
$g(x)=Ce^{ax}$, ce qui montre que $g$ est une fonction $f$.
\bgex
R�soudre l'�quation diff�rentielle $2y'+y=0$.
\enex
\bgex
Rechercher la fonction $f$ solution de l'�quation diff�rentielle
$2y'+5y=0$, sachant que $f(0)=3$.
\enex
\section{Equation $y'=ay+b$}
\bgth{
Soit $a$ et $b$ deux r�els non nuls.
Les solutions sur $\R$ de l'�quation diff�rentielle $(F) : y'=ay+b$
sont les fonctions $f$ d�finies par $\dsp f(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$,
o� $K$ est un r�el quelconque.
}
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:}
$\bullet$ \ul{$f$ est solution de $F$:}
$f$ d�finie par $\dsp f(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$ est bien d�rivable sur
$\R$,
$\dsp f'(x)=aKe^{ax}$.
De plus, $af(x)=aKe^{ax}-b=f'-b$, et donc, on a bien,
$f'=af+b$,
c'est-�-dire que $f$ est solution de l'equation diff�rentielle $F$.
\vspd
$\bullet$ \ul{Toutes les solutions de $(F)$ sont de la forme de $f$:}
Soit $g$ une solution de $(F)$, c'est-�-dire telle que
$g'=ag+b$.
Soit alors $\vphi$ la fonction d�finie sur $\R$ par
$\dsp\vphi(x)=g(x)+\frac{b}{a}$.
Alors $\vphi$ est d�rivable sur $\R$, et
$\vphi'(x)=g'(x)=ag(x)+b=a\vphi(x)$.
Ainsi, $\vphi$ est une solution de l'�quation diff�rentielle
$y'=ay$, et donc,
$\vphi(x)=Ke^{ax}$, o� $K$ est nombre un r�el.
On en d�duit donc que
$\dsp g(x)=\vphi(x)-\frac{b}{a}=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Les solutions $f$ sont la somme d'une solution
de $(E_1) : y'=ay$, soit $f_1(x)=Ke^{ax}$ avec $K\in\R$,
et d'une solution $g$ {\it particuli�re} de $(E)$.
La solution $g$ la plus simple que l'on peut chercher est une solution
constante:
$g(x)=C\in\R$, dans quel cas, $g'(x)=0$, et donc
$\dsp (E): g'=ag+b\Longleftrightarrow 0=aC+b\Longleftrightarrow
g(x)=C=-\frac{b}{a}$
La solution g�n�rale de $(E)$ est alors
$f=f_1+g=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$.
\bgprop{
Pour tout couple de r�els $(x_0;y_0)$, l'�quation diff�rentielle
$y'=ay+b$, avec $a\not=0$, admet une unique solution $f$ telle que
$f(x_0)=y_0$.
}
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:}
Les solutions de l'�quation $y'=ay+b$ sont toutes de la forme
$f(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$, o� $K$ est un r�el.
On sait ici de plus que $f(x_0)=y_0$,
soit $Ke^{ax_0}-\frac{b}{a}=y_0$.
On trouve alors, $Ke^{ax_0}=y_0+\frac{b}{a}$, soit
aussi, $K=e^{ax_0}\lp y_0+\frac{b}{a}\rp$.
Finalement, la fonction
$f$ solution et telle que $f(x_0)=y_0$ est bien d�finie de mani�re
unique par
$\dsp f(x)=K e^{ax}-\frac{b}{a}$, avec $K$ calcul� pr�c�demment.
\clearpage
%\thispagestyle{empty}
\ct{\Large\bf Exercices - Equations diff�rentielles}
\vspq
\setcounter{nex}{0}
\bgex
$(E)$ est l'�quation diff�rentielle $2y'+y=1$.
\bgit
\item[a)] R�soudre $(E)$.
\item[b)] D�terminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(-1)=2$.
\item[c)] Tracer la courbe repr�sentant $f$ dans un rep�re
orthonormal.
\enit
\enex
\bgex R�soudre les �quations diff�rentielles:
\vspd\hspace{-1cm}
a) $\la\bgar{ll} y'=2y+3 \vspd\\ y(0)=1 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
b) $\la\bgar{ll} 4y'=2y-3 \vspd\\ y(5)=-1 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
c) $\la\bgar{ll} 3y'+4y-6=0 \vspd\\ y(-1)=0 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
d) $\la\bgar{ll} 3u'=u+6 \vspd\\ u(0)=5 \enar\right.$
\hspace{0.1cm}
e) $\la\bgar{ll} \dsp 5p=2p'-\frac{1}{4} \vspd\\ p(0)=1 \enar\right.$
\enex
\bgex
Soit $f$ la solution de l'�quation diff�rentielle
$(E) : 3y'-6y=1$ telle que $f'(1)=2$.
\bgit
\item[a)] D�terminer $f(1)$.
\item[b)] D�terminer la solution $f$.
\enit
\enex
\bgex
On consid�re l'�quation diff�rentielle $(E): y'+3y=3e^{-3x}(-6x+1)$.
On note $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par
$g(x)=e^{-3x}(-9x^2+3x+19)$.
\bgit
\item[1.] Dresser le tableau de variation de $g$.
Pr�ciser les limites.
\vsp
\item[2.] Montrer que la fonction $g$ est solution de $(E)$.
\vsp
\item[3.] R�soudre l'�quation diff�rentielle
$(E_0) : y'+3y=0$.
\vsp
\item[4.] Montrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si, et
seulement si, $f-g$ est solution de $(E_0)$.
\item[5.] R�soudre alors $(E)$.
\vsp
\item[6.] D�terminer la fonction solution de $(E)$ qui prend la valeur
$1$ en $\dsp\frac{1}{3}$.
\enit
\enex
\bgex {\it (D'apr�s Baccalaur�at)}
On consid�re l'�quation diff�rentielle
$(E) : y'-2y=e^{2x}$.
\bgit
\item[1.] D�montrer que la fonction $u$ d�finie sur $\R$ par :
$u(x)=xe^{2x}$ est une solution de $(E)$.
\item[2.] R�soudre l'�quation diff�rentielle
$(E_0) : y'-2y=0$.
\item[3.] D�montrer qu'une fonction $v$ d�finie sur $\R$ est solution
de $(E)$ si, et seulement si, $v-u$ est solution de $(E_0)$.
\item[4.] En d�duire toutes les solutions de l'�quation $(E)$.
\item[5.] D�terminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la
valeur $1$ en $0$.
\enit
\enex
\bgex {\it (22 p51)}
$f$ est la solution sur $\R$ de l'�quation diff�rentielle
$(E) : 2y'-4y=1$ telle que
$f"(1)=-2$.
\vsp
\bgit
\item[a)] D�montrer que si $y$ est une solution de $(E)$ alors pour
tout r�el $x$,
$y"(x)=2y'(x)$.
\vspd
\item[b)] En d�duire que, pour tout r�el $x$, $y"(x)=4y(x)+1$.
\vspd
\item[c)] En d�duire $f'(1)$ et $f(1)$.
\vspd
\item[d)] D�terminer la fonction $f$.
\vspd
\item[e)] Tracer la courbe repr�sentative de $f$ et sa tangente $T$ au
point d'abscisse 1 dans un rep�re orthonormal.
\enit
\enex
\bgex
On cherche � r�soudre l'�quation diff�rentielle
$(E) : y'=3y-5y^2$.
\bgit
\item[1.] D�montrer qu'une fonction $v$ d�finie sur $\R$ est solution
de $(E)$ si, et seulement si, la fonction $\dsp v=\frac{1}{u}$ est
solution de $(E') : y'=-3y+5$.
\vsp
\item[2.] R�soudre $(E')$.
\vsp
\item[3.] En d�duire les solutions de $(E)$.
\vsp
\item[4.] D�terminer la solution de $(E)$ qui prend la valeur $1$ en $0$.
\enit
\enex
\end{document}
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