Source Latex: Cours de mathématiques, Equations différentielles

Terminale S

Equations différentielles

Cours de mathématiques: Équations différentielles
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques: Équations différentielles
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Introduction - Contexte physique
  • Généralités
  • Équation y'=ay
  • Équation y'=ay+b
  • Exercices
Mots clé
Cours de mathématiques, équations différentielle, TS, terminale S

Quelques devoirs


Voir aussi:

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\usepackage[french]{babel}
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\usepackage{multirow}
\usepackage{longtable}
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\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
%\usepackage{pst-func}

\usepackage{ifthen}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=25.8cm
\topmargin=-2cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\vspd
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp\vspd
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Equations diff�rentielles}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents

\section{Introduction - Contexte physique}

\paragraph{Chute d'un corps dans le vide} \ 

\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(4,2.5)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2){0.2}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,0)
  \put(1.5,1){$P=mg$}
\end{pspicture}
\bgmp{14cm}
Si $v(t)$ d�signe la vitesse du corps � l'instant $t$, 
alors l'acc�l�ration du corps est la d�riv�e $v'(t)$. 

Dans le vide, le corps est soumis uniquement � la force de pesanteur
son poids) et la loi de Newton (principe fondamental de la m�canique) donne: 
\[ m v'(t)=P=mg
\]
soit aussi, \hspace{4cm}\ul{$v'(t)=g$}.

\enmp

%\vspq
\paragraph{Chute d'un corps dans un liquide visqueux} \ 

\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,2)(4,5)
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2){0.2}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,0)
  \put(1.5,1){$P=mg$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,3.5)
  \put(1.5,3){$F=-k\,v$}
\end{pspicture}
\bgmp{14cm}
Pour fournir un mod�le plus r�aliste, on peut prendre en compte de
plus les frottements; ceux-ci peuvent-�tre mod�lis�s par une force
oppos�e au mouvement du corps, et inversement proportionnelle � sa
vitesse. 

La loi de Newton s'�crit alors: 
\[ m v'(t)=F+P=-kv(t)+mg
\]
soit aussi, \hspace{2.5cm}{$mv'(t)=-kv(t)+mg$}

\vsp
ou, \hspace{4cm}\fbox{$\dsp v'(t)=-\frac{k}{m}v(t)+g$}

\vspq
La fonction $v(t)$ est cette fois solution d'une �quation
diff�rentielle reliant $v(t)$ et sa d�riv�e $v'(t)$.
\enmp

%\vspq
\paragraph{Radioactivit�}

A la toute fin du XIX �me si�cle, Marie et Pierre Curie mettent en
�vidence des �l�ments radioactifs autres que l'uranium, le polonium et
le radium. 

\vspd\noindent
Des atomes de ces �l�ments radioactifs se d�sint�grent en permanence. 

\noindent
Si on d�signe par $N(t)$ le nombre d'atomes de radium � l'instant $t$, 
alors la quantit� d'atomes qui se d�sint�grent � un instant donn� est
proportionnelle � la quantit� d'atomes encore pr�sente: 

\vspd\ct{\fbox{$N'(t)=-aN(t)$}}

\vspd
En r�solvant cette �quation, on peut donc conna�tre � chaque instant
$t$ le nombre d'atome $N(t)$. 

\vspd
Ceci est par exemple appliqu� pour la {\it datation au carbone 14} de
mati�re organique. 

Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone. 
Connaissant le nombre d'atomes de carbone 14 pr�sents et qui se sont
d�sint�gr�s, on d�termine la dur�e qu'� pris cette d�sint�gration,
c'est-�-dire l'�ge de la mati�re organique.


\vspace{0.8cm}
\paragraph{Cas math�matique g�n�ral}
Ces deux �quations sont de la forme $y'=ay+b$, o� $y$ est la fonction
recherch�e ($v'$ ou $N$). 

On appelle ces �quations 
\ul{des �quations diff�rentielles du premier
ordre � coefficients constants}.

\clearpage
\section{G�n�ralit�s}

Soit $a$ et $b$ deux nombres r�els quelconques. 
On cherche � r�soudre l'�quation diff�rentielle 
\[(E) :\ \mbox{pour tout r�el } x\ ,\ \  y'(x)=a\,y(x) + b\] 
que l'on note aussi $ (E) : y'=ay+b$, 
c'est-�-dire que l'on cherche
\ul{toutes les fonctions} $f$, d�finies et d�rivables sur $\R$, 
telles que $f'=a\,f+b$, ou encore telles que, 
pour tout $x$ r�el, $f'(x)=a\,f(x)+b$.

\bgex Soit $f$ la solution de l'�quation diff�rentielle 
$(E) : 3y'-6y=1$ telle que $f'(1)=2$. 

\bgit
\item[a)] D�terminer $f(1)$. 
\item[b)] Montrer que $\dsp f:x\mapsto e^{2x-2}-\frac{1}{6}$ est
  solution de $(E)$.
\enit
\enex


\section{Equation $y'=ay$}

\bgth{
  Soit $a$ un nombre r�el non nul. 

  Les solutions sur $\R$ de l'�quation diff�rentielle 
  $(E) : y'=ay$ sont les
  fonctions d�finies par $f(x)=Ke^{ax}$, 
  o� $K$ est un r�el quelconque. 
}

\vspd\noindent
\ul{D�monstration:}

$\bullet$ \ul{$f$ est solution de $(E)$:}
$f$ d�finie sur $\R$ par $f(x)=Ke^{ax}$ est d�rivable, et 
$f'(x)=aKe^{ax}=af$, 
c'est-�-dire que $f$ est bien solution de l'�quation diff�rentielle 
$y'=ay$.

\vspd
$\bullet$ \ul{Il n'y a pas d'autres fonctions solution de $(E)$}
Soit $g$ une fonction solution de $(E)$, c'est-�-dire telle que 
$g'=ag$. 
On d�finit la fonction $\vphi$ sur $\R$ par 
$\dsp\vphi(x)=\frac{g(x)}{e^{ax}}=g(x)e^{-ax}$. 

$\vphi$ est d�rivable sur $\R$, et 
\[
\vphi'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=\Big(\underbrace{g'(x)-ag(x)}_{=0}\Big)
e^{-ax}=0
\]
Ainsi, $\vphi$ est constante sur $\R$: il existe un r�el $K$ tel que 
$\vphi(x)=g(x)e^{-ax}=K$, soit donc, 
$g(x)=Ce^{ax}$, ce qui montre que $g$ est une fonction $f$. 


\bgex 
R�soudre l'�quation diff�rentielle $2y'+y=0$. 
\enex

\bgex
Rechercher la fonction $f$ solution de l'�quation diff�rentielle
$2y'+5y=0$, sachant que $f(0)=3$.
\enex

\section{Equation $y'=ay+b$}

\bgth{
  Soit $a$ et $b$ deux r�els non nuls. 

  Les solutions sur $\R$ de l'�quation diff�rentielle $(F) : y'=ay+b$ 
  sont les fonctions $f$ d�finies par $\dsp f(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$, 
  o� $K$ est un r�el quelconque. 
}

\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} 
$\bullet$ \ul{$f$ est solution de $F$:} 
$f$ d�finie par $\dsp f(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$ est bien d�rivable sur
$\R$, 
$\dsp f'(x)=aKe^{ax}$. 

De plus, $af(x)=aKe^{ax}-b=f'-b$, et donc, on a bien, 
$f'=af+b$, 
c'est-�-dire que $f$ est solution de l'equation diff�rentielle $F$. 

\vspd
$\bullet$ \ul{Toutes les solutions de $(F)$ sont de la forme de $f$:}

Soit $g$ une solution de $(F)$, c'est-�-dire telle que 
$g'=ag+b$. 

Soit alors $\vphi$ la fonction d�finie sur $\R$ par 
$\dsp\vphi(x)=g(x)+\frac{b}{a}$. 

Alors $\vphi$ est d�rivable sur $\R$, et 
$\vphi'(x)=g'(x)=ag(x)+b=a\vphi(x)$. 

Ainsi, $\vphi$ est une solution de l'�quation diff�rentielle 
$y'=ay$, et donc, 
$\vphi(x)=Ke^{ax}$, o� $K$ est nombre un r�el. 

On en d�duit donc que 
$\dsp g(x)=\vphi(x)-\frac{b}{a}=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Les solutions $f$ sont la somme d'une solution 
de $(E_1) : y'=ay$, soit $f_1(x)=Ke^{ax}$ avec $K\in\R$, 
et d'une solution $g$ {\it particuli�re} de $(E)$. 

La solution $g$ la plus simple que l'on peut chercher est une solution
constante: 
$g(x)=C\in\R$, dans quel cas, $g'(x)=0$, et donc 
$\dsp (E): g'=ag+b\Longleftrightarrow 0=aC+b\Longleftrightarrow
g(x)=C=-\frac{b}{a}$

La solution g�n�rale de $(E)$ est alors
$f=f_1+g=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$. 

\bgprop{
  Pour tout couple de r�els $(x_0;y_0)$, l'�quation diff�rentielle 
  $y'=ay+b$, avec $a\not=0$, admet une unique solution $f$ telle que 
  $f(x_0)=y_0$. 
}

\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} 
Les solutions de l'�quation $y'=ay+b$ sont toutes de la forme 
$f(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}$, o� $K$ est un r�el. 

On sait ici de plus que $f(x_0)=y_0$, 
soit $Ke^{ax_0}-\frac{b}{a}=y_0$. 

On trouve alors, $Ke^{ax_0}=y_0+\frac{b}{a}$, soit 
aussi, $K=e^{ax_0}\lp y_0+\frac{b}{a}\rp$. 

Finalement, la fonction 
$f$ solution et telle que $f(x_0)=y_0$ est bien d�finie de mani�re
unique par 
$\dsp f(x)=K e^{ax}-\frac{b}{a}$, avec $K$ calcul� pr�c�demment.

\clearpage
%\thispagestyle{empty}
\ct{\Large\bf Exercices - Equations diff�rentielles}
\vspq

\setcounter{nex}{0}
\bgex
$(E)$  est l'�quation diff�rentielle $2y'+y=1$.

\bgit
\item[a)] R�soudre $(E)$. 
\item[b)] D�terminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(-1)=2$. 
\item[c)] Tracer la courbe repr�sentant $f$ dans un rep�re
  orthonormal. 
\enit
\enex


\bgex R�soudre les �quations diff�rentielles: 

\vspd\hspace{-1cm}
a) $\la\bgar{ll} y'=2y+3 \vspd\\ y(0)=1 \enar\right.$ 
\hspace{0.1cm}
b) $\la\bgar{ll} 4y'=2y-3 \vspd\\ y(5)=-1 \enar\right.$ 
\hspace{0.1cm}
c) $\la\bgar{ll} 3y'+4y-6=0 \vspd\\ y(-1)=0 \enar\right.$ 
\hspace{0.1cm}
d) $\la\bgar{ll} 3u'=u+6 \vspd\\ u(0)=5 \enar\right.$ 
\hspace{0.1cm}
e) $\la\bgar{ll} \dsp 5p=2p'-\frac{1}{4} \vspd\\ p(0)=1 \enar\right.$ 
\enex

\bgex
Soit $f$ la solution de l'�quation diff�rentielle 
$(E) : 3y'-6y=1$ telle que $f'(1)=2$. 

\bgit
\item[a)] D�terminer $f(1)$. 
\item[b)] D�terminer la solution $f$.
\enit
\enex

\bgex
On consid�re l'�quation diff�rentielle $(E): y'+3y=3e^{-3x}(-6x+1)$. 

On note $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par 
$g(x)=e^{-3x}(-9x^2+3x+19)$. 

\bgit
\item[1.] Dresser le tableau de variation de $g$. 
  Pr�ciser les limites. 
  \vsp
\item[2.] Montrer que la fonction $g$ est solution de $(E)$. 
  \vsp
\item[3.] R�soudre l'�quation diff�rentielle 
  $(E_0) : y'+3y=0$. 
  \vsp
\item[4.] Montrer qu'une fonction $f$ est solution de $(E)$ si, et
  seulement si, $f-g$ est solution de $(E_0)$. 
\item[5.] R�soudre alors $(E)$. 
  \vsp
\item[6.] D�terminer la fonction solution de $(E)$ qui prend la valeur 
  $1$ en $\dsp\frac{1}{3}$.
\enit
\enex

\bgex {\it (D'apr�s Baccalaur�at)}
On consid�re l'�quation diff�rentielle 
$(E) : y'-2y=e^{2x}$. 

\bgit
\item[1.] D�montrer que la fonction $u$ d�finie sur $\R$ par : 
$u(x)=xe^{2x}$ est une solution de $(E)$. 
\item[2.] R�soudre l'�quation diff�rentielle 
  $(E_0) : y'-2y=0$. 
\item[3.] D�montrer qu'une fonction $v$ d�finie sur $\R$ est solution
  de $(E)$ si, et seulement si, $v-u$ est solution de $(E_0)$. 
\item[4.] En d�duire toutes les solutions de l'�quation $(E)$. 
\item[5.] D�terminer la fonction, solution de $(E)$, qui prend la
  valeur $1$ en $0$.
\enit
\enex


\bgex {\it (22 p51)}

$f$ est la solution sur $\R$ de l'�quation diff�rentielle 
$(E) : 2y'-4y=1$ telle que 
$f"(1)=-2$. 

\vsp
\bgit
\item[a)] D�montrer que si $y$ est une solution de $(E)$ alors pour
  tout r�el $x$, 
  $y"(x)=2y'(x)$. 
  \vspd
\item[b)] En d�duire que, pour tout r�el $x$, $y"(x)=4y(x)+1$. 
  \vspd
\item[c)] En d�duire $f'(1)$ et $f(1)$. 
  \vspd
\item[d)] D�terminer la fonction $f$. 
  \vspd
\item[e)] Tracer la courbe repr�sentative de $f$ et sa tangente $T$ au
  point d'abscisse 1 dans un rep�re orthonormal. 
\enit
\enex

\bgex
On cherche � r�soudre l'�quation diff�rentielle 
$(E) : y'=3y-5y^2$. 

\bgit
\item[1.] D�montrer qu'une fonction $v$ d�finie sur $\R$ est solution
  de $(E)$ si, et seulement si, la fonction $\dsp v=\frac{1}{u}$ est
  solution de $(E') : y'=-3y+5$.
  \vsp
\item[2.] R�soudre $(E')$.
  \vsp
\item[3.] En d�duire les solutions de $(E)$. 
  \vsp
\item[4.] D�terminer la solution de $(E)$ qui prend la valeur $1$ en $0$.
\enit
\enex

\end{document}

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