Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques TS: continuité et dérivation des fonctions},
pdftitle={Fonctions: continuité et dérivée},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
fonctions, dérivation, continuité,
théorème des valeurs intermédiaires, TVI,
étude de fonctions, dérivée, sens de variation
}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Continuité et dérivation des fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\vspace{-0.6cm}
%\bgex
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression:
%$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.
%
%\bgen
%\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
% Interpréter graphiquement ces résultats.
%
%\item Dresser le tableau de variation de $f$.
%
%\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse
% $0$.
%
%\item Tracer $T_0$ et $\Cf$.
%\enen
%\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\la -3;1\ra$ par
l'expression:
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+2x-3}$.
\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de
définition.
Interpréter graphiquement\!.% ces résultats.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente $T_0$ au point d'abscisse
$0$.
\item Tracer $T_0$ et $\Cf$.
\enen
\enex
\vspace{-0.6cm}
\section{Continuité}
\vspace{-0.8cm}
\bgdef{
Une fonction $f$ est dite continue en un point $a$ si
$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$.
Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est
continue en tout point de $I$.
}
\vspt
Graphiquement, une fonction $f$ continue sur $I$ a une courbe
représentative en "un seul morceaux", c'est-à-dire qu'on peut tracer
sa courbe sans lever le stylo.
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} La fonction carré $x\mapsto x^2$ est continue en tout
point $a$ de $\R$:
pour tout réel $a$, $\dsp\lim_{x\to a} x^2=a^2$.
%$x^2$ est aussi proche que l'on veut de $a^2$ (dans tout intervalle
%ouvert contenant $a^2$), dès que $x$ est assez proche~de~$a$.
\bgex On considère la fonction $x\mapsto E(x)$, appelée
fonction "partie entière" et qui, à tout $x$ réel, associe le plus
grand entier inférieur ou égal à $x$.
Par exemple, $E(3,6)=3$ et $E(-1,78)=-2$.
Tracer sa courbe représentative sur l'intervalle $]-4;4]$.
La fonction partie entière est-elle continue ?
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgprop{ \vspace{-0.4cm}
\bgen[$\bullet$]
\item Les fonctions polynômes sont continues sur $\R$.
\item La fonction racine carrée est continue sur
$\R_+^*=[0;+\infty[$.
\item Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont
continues sur leur ensemble de définition.
\item Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont continues sur $\R$.
\item La somme, le produit, le quotient et la composée de
fonctions continues est une fonction continue sur tout
intervalle sur lequel elle est définie.
\enen
}
\vspd\noindent
{\bf Convention:} On convient que, dans un tableau de variation, une
flèche oblique indique que la fonction est
{\bf\ul{continue et strictement monotone}} sur l'intervalle
considéré.
\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires (1)}
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$,
et soit $a\in I$ et $b\in I$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que
$f(c)=k$.
En d'autres termes, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution
$c$ entre $a$ et $b$.
}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:} On peut avoir $a=-\infty$ et/ou $b=+\infty$;
dans ce cas, on doit simplement remplacer $f(a)$ et/ou $f(b)$ dans le
théorème précédent par la limite de $f$ en $\pm \infty$.
\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf des valeurs intermédiaires (2) - Théorème de la bijection}
Soit $f$ une fonction définie, continue et strictement monotone sur
$[a;b]$;
alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
il existe un unique réel $c$ dans $[a;b]$ tel que
$f(c)=k$.
En d'autres termes, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution
$c$ sur $[a;b]$.
}
\vspd\noindent
{\sl\ul{Remarque:}} On dit dans ce cas que $f$ réalise une \ul{bijection}
de $[a;b]$ dans $[f(a);f(b)]$.
\vspd\noindent
\bgmp{11.3cm}
\bgex
On donne ci-contre le tableau de variation d'une fonction $f$.
Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$.
(on justifiera le résultat).
\enex
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
&$+\infty$&&&&1\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&-5&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgex
Démontrer que l'équation $x^3+3x=5$ admet une unique solution sur
$\R$.
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette solution.
\enex
\bgex
On considère la fonction $h$ définie sur $]-1;+\infty[$ par
$h(x)=2x-3+\sqrt{x+1}$.
\bgen
\item Donner le tableau de variations de $h$.
\item En déduire que l'équation $\sqrt{x+1}=3-2x$ admet une unique
solution $\alpha$ dans $[-1;+\infty[$.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\enen
\enex
\vspace{-0.6cm}
\section{Dérivabilité et tangente}
\vspace{-0.6cm}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
\bgit
\item[$\bullet$] On appelle {\bf taux de variation} en $a\in I$,
le nombre $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
\vsp
\item[$\bullet$] La fonction $f$ est dérivable en $a$ si
la limite lorque $h$ tend vers $0$ du taux de variation existe.
Dans ce cas, la limite est le {\bf nombre dérivée de $f$} en $a$,
noté $f'(a)$:
\vspace{-0.3cm}
\[\lim_{h\to 0}\tau(h)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)
\]
\vspace{-0.2cm}
\item[$\bullet$] Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ si
elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.
On appelle alors {\bf fonction dérivée} de $f$ la fonction $x\mapsto f'(x)$.
\enit
}
\bgmp{7.5cm}
\psset{arrowsize=7pt,xunit=3cm,yunit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1.8,1.8)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(1.8,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
\psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
\psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{1.6}{x -0.5 add}
\psplot[linewidth=.8pt]{0.5}{1.6}{2 x mul -1.5 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.414,0)(1.414,1.328)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.328)(1.414,1.328)
\rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
\rput(1.4,-0.1){$a+h$}\rput[Br](-0.1,1.32){$f(a+h)$}
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(1,-0.3)(1.414,-0.3)\rput(1.2,-0.4){$h$}
\rput(1,0.5){\LARGE\bf$.$}\rput(1.1,0.5){$A$}
\rput(1.414,1.328){\LARGE\bf$.$}\rput(1.55,1.36){$M$}
\rput(-0.5,.3){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
Le taux de variation est le coefficient directeur de la corde
$(AM)$:
\vspace{-0.3cm}
\[ \tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\]
Lorsque $h$ tend vers $0$, le point $M$ tend vers le point $A$, et la
corde $(AM)$ "tend vers" la tangente à $\Cf$ en $A$,
\[ \lim_{h\to0}\tau(h)=f'(a)
\]
\vspace{-0.2cm}
\fbox{\fbox{
\bgmp{9cm}
le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente
à $\Cf$ au point d'abscisse $a$.
\enmp
}}
\enmp
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Autres notations}
{\it On note souvent avec un "$\Delta$" les variations, ainsi le coefficient
directeur d'une droite passant par $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ s'écrit
selon la formule: \
$\dsp \frac{\Delta y}{\Delta x}=
\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
\vsp\noindent
Le taux de variation de la fonction au point d'abscisse
$x$ s'écrit, selon cette notation,
$\dsp \tau=\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}
$.
\vsp
La dérivée $f'(x)$ s'obtient en étudiant la limite du taux de
variation lorsque $\Delta x\to0$, ce que l'on note encore:
$\dsp f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}
=\frac{df(x)}{dx}
$
qui se lit, "la dérivée de $f$ par rapport à $x$".
\vsp\noindent
Cette notation a été en premier introduite par Leibniz (1646-1716),
mathématicien, physicien, logicien, philosophe, diplomate, homme de
loi, allemand
(ainsi que les termes de "fonction", "coordonnées", du symbole
intégral "$\dsp\int_a^b$", et des concepts de continuité et d'énergie
cinétique (force vive), entre autres\dots
}
\vsp
\bgex
Soit la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=x^2+3x-1$.
Montrer que $f$ est dérivable en $x=2$ et en déduire $f'(2)$.
Déterminer directement la fonction dérivée $f'$ de $f$, et retrouver
le résultat précédent.
\enex
\bgex
Soit la fonction $h$ définie sur $\R^+$ par $h(x)=\sqrt{x}$.
Montrer que la fonction $h$ n'est pas dérivable en $0$.
Interpréter graphiquement le résultat précédent.
\enex
\bgex
Montrer que la fonction $\dsp k:x\mapsto \frac{x\sqrt{x}}{1+x}$ est
dérivable en $0$.
Que vaut $k'(0)$ ?
\enex
\noindent
\bgmp{12cm}
\paragraph{\ul{Approximation affine}}\bgmp[t]{7.5cm}
La tangente est "la droite la plus proche de $\Cf$" au voisinage de
$a$. \enmp\\
Soit $\vphi(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)$ telle que,
d'après ce qui précède,
$\dsp\lim_{x\to a}\vphi(x)=0$. \\
On a alors l'expression de $f(x)$:
\[f(x)=\underbrace{f(a)\ +\ (x-a)f'(a)}_{\mbox{équation de la tangente}}
+\ (x-a)\vphi(x)\]
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{arrowsize=7pt,xunit=3cm,yunit=2.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-.1)(1.8,1.8)
\nwc{\f}[1]{#1 #1 mul #1 mul -1. #1 mul #1 mul add 0.5 add}
\nwc{\fp}[1]{#1 #1 mul 3 mul -2. #1 mul add}
\def\xa{.9}
% tgte{x}{xa}
\nwc{\tgte}[2]{\fp{#2} #1 #2 sub mul \f{#2} add}
\def\xah{1.4}
\psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(1.8,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
\psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.5}{\f{x}}
\psplot[linewidth=1.pt]{0.1}{1.8}{\tgte{x}{\xa}}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](\xa,0)(!\xa\space\f{\xa})(!0\space\f{\xa})
\rput[c](\xa,-0.1){$a$}\rput[r](!-.05\space\f{\xa}){$f(a)$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](\xah,0)(!\xah\space\f{\xah})(!0\space\f{\xah})
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](!0\space\tgte{\xah}{\xa})(!\xah\space\tgte{\xah}{\xa})
\rput[c](\xah,-.1){$x$}
\rput[r](!-.05\space\f{\xah}){$f(x)$}
\rput[r](!-.05\space\tgte{\xah}{\xa}){$y$}
\rput(-0.5,.3){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{
Soit une fonction dérivable en $a$, alors $\Cf$ admet une tangente
au point d'abscisse $a$ d'équation
\[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]
}
\bgth{Une fonction dérivable en un réel $a$ est continue en $a$.}
\bgproof{
D'après ce qui précède, si $f$ est dérivable en $a$, alors,
avec $\vphi$ telle que $\dsp\lim_{x\to a}\vphi(x)=0$
$f(x)=f(a)\ +\ (x-a)f'(a)\ +\ (x-a)\vphi(x)$,
et donc, $\dsp\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
}
\vspd\noindent
\ul{Attention!} {\it la réciproque est fausse: une fonction peut-être
continue mais non dérivable en $a$.
Par exemple, $x\mapsto \sqrt{x}$ et $x\mapsto |x|$ sont continues en
$x=0$ mais ne sont pas dérivables
en $x=0$.
}
%\bgex \it{Dérivée de la fonction tangente.}
%
%La fonction tangente est définie par
%$\dsp\tan : x\mapsto \frac{\sin x}{\cos x}$.
%Calculer sa fonction dérivée.
%\enex
\bgex Déterminer la fonction dérivée des fonctions suivantes:
\vsp
\begin{tabular}{lll}
$\bullet\ f_1:x\mapsto x^{23}-\dfrac{12x^{11}}{5}+3,5x^7-\dfrac{1}{x}$
&
$\bullet\ f_2:x\mapsto \sqrt{x}+\dfrac{1}{x+2}$
&
$\bullet\ f_3:x\mapsto \sqrt{x+3}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_4:x\mapsto \dfrac{x^3+3x+1}{2x^2+4x+8}$
&
$\bullet\ f_5:x\mapsto \sqrt{x^2+3x-10}$
&
$\bullet\ f_6(x)=\dfrac{x^2+2}{x-5}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_7(x)=x^2\cos(x)$
&
$\bullet\ f_8(x)=\cos(2x+3)$
&
$\bullet\ f_9(x)=(2x^2+3x-2)^7$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_{10}(x)=\sqrt{4-x^2}$
&
$\bullet\ f_{11}(x)=-4x+6x\sqrt{x}$
&
$\bullet\ f_{12}(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$
\\[0.4cm]
$\bullet\ f_{13}(x)=\lp\dfrac{3x-4}{x-1}\rp^3$
&
$\bullet\ f_{14}(x)=\sqrt{3x^2-\dfrac{1}{9x}}$
&
$\bullet\ f_{15}(x)=\sqrt{2+\cos^2(2x+1)}$
\end{tabular}
\enex
\section{Etude de fonctions}
\vspace{-0.6cm}
\bgth{
Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur
$I$ et:
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$] Si, pour tout $x\in I$, $f'(x)>0$, $f$ est
strictement croissante sur $I$;
\vspd
\item[$\bullet$] Si, pour tout $x\in I$, $f'(x)<0$, $f$ est
strictement décroissante sur $I$;
\vspd
\item[$\bullet$] Si, pour tout $x\in I$, $f'(x)=0$, $f$ est
constante sur $I$.
\enit
}
\vspace{-0.3cm}
\bgth{
Si une fonction $f$ dérivable sur $I$ admet un extremum en $x_0\in
I$, alors $f'(x_0)=0$.
}
\vspd\noindent
\ul{\ul{La réciproque est fausse}}. La dérivée d'une fonction peut
s'annuler sans que cela ne corresponde à un extremum pour la
fonction.
\pagebreak
Par exemple, soit $f:x\mapsto x^3$, vérifie $f'(0)=0$, mais
$f(0)$ n'est pas un extremum pour la fonction cube (qui est
strictement croissante sur $\R$).
\vspace{-0.3cm}
\bgex
Déterminer les extrema éventuels de
$\dsp f:x\mapsto x+\frac{2}{x}$.
Vérifier que ces points sont bien des extrema, et préciser s'il s'agit
de minima ou de maxima.
\enex
\bgex
\!\!$f$ est définie sur $\R$ par\!:\!
$f(x)=x^3-2x^2-4$.
Montrer que $-6$ est un minorant \mbox{de $f$ sur~$\R_+$.}
%$[0;+\infty[$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
$f_m$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$ f_m(x)=\dfrac{x^2+mx}{x^2-1}\ ,
\mbox{ où $m$ est un réel.}
$
Pour quelles valeurs de $m$, $f_m$ n'admet-elle ni maximum
ni minimum ?
\enex
\bgex
$f$ est définie sur $\R$ par
$f(x)=x^2$ et $g$ la fonction définie sur $\R\setminus\la3\ra$ par
$\dsp g(x)=9+\frac{12}{x-3}$.
\bgen
\item
\bgit
\item[a)] Etudier les variations de $g$ et ses limites aux bornes de son
ensemble de définition.
\item[b)] Dans un même repère, tracer les courbes représentatives
des fonctions $f$ et $g$.
\item[c)] Indiquer, par lecture graphique, le nombre de solutions
dans $\R$ de l'équation $f(x)=g(x)$.
\enit
\vsp
\item $h$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la3\ra$ par:
$\dsp h(x)=(x-3)\lb f(x)-g(x)\rb$.
\vsp
\bgit
\item[a)] Etudier les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item[b)] Etudier les variations de $h$ et dresser son tableau de
variations.
\item[c)] En déduire que l'équation $f(x)=g(x)$ admet trois
solutions.
\item[d)] Donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ de chaque solution.
\enit
\enen
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
On note $(E)$ l'équation $x^3-15x-4=0$ et $(I)$ l'inéquation
$x^3-15x-4>0$.
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{1. Résolution graphique}
\bgit
\item[a)] Montrer que l'équation $(E)$ est équivalente à l'équation
$\dsp x^2-15=\frac{4}{x}$
\vspace{-0.2cm}
\item[b)] Tracer dans un même repère les courbes représentatives des
fonctions $x\mapsto x^2-15$ et $\dsp x\mapsto \frac{4}{x}$.
\item[c)] Déterminer graphiquement le nombre de solutions de
l'équation $(E)$.
Une des solutions est un nombre entier, quelle est sa valeur ?
Encadrer chacune des autres solutions $\alpha$ et $\beta$
(avec $\alpha<\beta$) par deux entiers consécutifs.
\item[d)] Démontrer que l'inéquation $(I)$ s'écrit sur
$]0;+\infty[$, $\dsp x^2-15>\frac{4}{x}$,
et sur $]-\infty;0[$, $\dsp x^2-15<\frac{4}{x}$.
\enit
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{2. Etude d'une fonction}
$f$ est définie sur $\R$ par
$f(x)=x^3-15x-4$.
$\Cf$ est sa courbe représentative.
\vsp
\bgit
\item[a)] Justifier la continuité de $f$ sur $\R$.
\item[b)] Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item[c)] Déterminer les variations de $f$ et dresser son tableau de
variations.
Tracer l'allure de $\Cf$.
\item[e)] Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois
solutions dans $\R$.
\item[f)] Donner un encadrement à $10^{-2}$ près de chacune des
solutions.
\item[g)] Etudier le signe de la fonction $f$. En déduire l'ensemble
des solutions de l'inéquation $(I)$.
\enit
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{3. Méthode algébrique}
\bgit
\item[a)] Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel
$x$,
$x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$.
\item[b)] Résoudre alors $(E)$ et $(I)$.
\enit
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
$f$ est la fonction polynôme définie sur $\R$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+4x$.
\bgen
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$,
puis sa dérivée seconde $f''$.
\vsp
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer les variations de la fonction $f'$,
et dresser le tableau de variation de $f'$.
\item Prouver que l'équation $f'(x)=0$ admet une solution unique $c$ et
que cette solution appartient à l'intervalle $]-\infty;-1]$.
Donner un encadrement de $c$ d'amplitude $10^{-2}$.
\enen
\vsp
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer le signe de la fonction $f'$, puis
dresser le tableau de variation de la fonction~$f$.
\item Montrer que $\dsp f(c)=\frac{3c(4-c)}{4}$
\item Déterminer le nombre de racines du polynôme $f$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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