Exercice Bac S Amérique du nord, juin 2016
Volume d'un récupérateur d'eau
Exercice corrigé Bac S Amérique du nord, juin 2016: Etudes de fonctions avec un logarithme, calculs de pentes, tangentes, primitive, et intégrales
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:
- elle doit être située à deux mètres de sa maison;
- la profondeur maximale doit être de deux mètres;
- elle doit mesurer cinq mètres de long;
- elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
Cette cuve est schématisée ci-contre.
La partie incurvée est modélisée par la courbe de la fonction sur l'intervalle définie par:
La courbe est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1m et constitue une vue de profil de la cuve.
On considère les points , et .
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
- Justifier que les points et appartiennent à la courbe et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe au point .
- On note la tangente à la courbe au
point , et le point d'intersection de la droite
avec l'axe des abscisses.
- Déterminer une équation de la droite et en déduire les coordonnées de .
- On appelle l'aire du domaine délimité par la courbe
, les droites d'équations , et .
peut être encadrée par l'aire du triangle et celle du
trapèze .
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
-
- Montrer que, sur l'intervalle ,
la fonction définie par
est une primitive de la fonction définie par . - En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle .
- Déterminer la valeur exacte de l'aire et en déduire une valeur approchée du volume de la cuve au près.
- Montrer que, sur l'intervalle ,
la fonction définie par
Partie B  Pour tout réel compris entre et , on note le volume d'eau, exprimé en m, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à .
On admet que, pour tout réel de l'intervalle [2 ; 2e],
- Quel volume d'eau, au m près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
- On rappelle que est le volume total de la cuve, est la
fonction définie en début d'exercice et la fonction définie dans
la partie B.
On considère l'algorithme ci-dessous.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
Variables: a est un réel
b est un réelTraitement: a prend la valeur 2
b prend la valeur 2e
Tant que v(b)-v(a)>10-3 faire:
c prend la valeur (a+b)/2Fin Tant que
Si v(c)<V/2, alors:
a prend la valeur cSinonb prend la valeur cFin SiSortie: Afficher f(c)
Autres ressources, exercices, cours, …