Exercice Bac S Amérique du nord, juin 2016
Volume d'un récupérateur d'eau
Exercice corrigé Bac S Amérique du nord, juin 2016: Etudes de fonctions avec un logarithme, calculs de pentes, tangentes, primitive, et intégrales
Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant:
- elle doit être située à deux mètres de sa maison;
- la profondeur maximale doit être de deux mètres;
- elle doit mesurer cinq mètres de long;
- elle doit épouser la pente naturelle du terrain.
Cette cuve est schématisée ci-contre.
![$$(-1.8,-0.5)(7,5)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7)
\rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}}
\psline(2.1,2.7)(5.4,2)
\psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7)
\psline(2,1.8)(5.4,2)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7)
\psset{arrowsize=2pt 3}
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7)
\psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05)
\psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=8pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05)
\uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m}
$$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/1.png)
La partie incurvée est modélisée par la courbe
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/2.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/3.png)
![$[2;2e]$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/4.png)
![\[f(x)=x\ln \lp\dfrac{x}{2}\rp-x+2.\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/5.png)
La courbe
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/6.png)
On considère les points
![$A(2;2)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/7.png)
![$I(2;0)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/8.png)
![$B(2e;2)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/9.png)
![\[\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.3)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,2.5)
\uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psline(5.437,2)(6,2)
\psline(6,0)(2,0)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psdots(2,2)(5.437,2)
\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}
\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub}
\uput[u](2,2){$A$}
\uput[u](5.437,2){$B$}
\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](2,0){$I$}
\uput[dr](3.437,0){$D$}
\rput(1,1){Terrain}
\rput(3.2,1.2){Cuve}
\rput(4.7,0.5){Terrain}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2,2)(5.437,2)
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/10.png)
Partie A  L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.
- Justifier que les points
et
appartiennent à la courbe
et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe
au point
.
- On note
la tangente à la courbe
au point
, et
le point d'intersection de la droite
avec l'axe des abscisses.
- Déterminer une équation de la droite
et en déduire les coordonnées de
.
- On appelle
l'aire du domaine délimité par la courbe
, les droites d'équations
,
et
.
peut être encadrée par l'aire du triangle
et celle du trapèze
.
Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
- Déterminer une équation de la droite
-
- Montrer que, sur l'intervalle
, la fonction
définie par
est une primitive de la fonctiondéfinie par
.
- En déduire une primitive
de la fonction
sur l'intervalle
.
- Déterminer la valeur exacte de l'aire
et en déduire une valeur approchée du volume
de la cuve au
près.
- Montrer que, sur l'intervalle
Partie B  Pour tout réel
![$x$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/42.png)
![$2$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/43.png)
![$2e$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/44.png)
![$v(x)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/45.png)
![$^3$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/46.png)
![$f(x)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/47.png)
On admet que, pour tout réel
![$x$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/48.png)
![\[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/49.png)
![\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-.9,-0.5)(5.8,3.2)
\psline(0,-0.5)(0,3.5)
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)}
\rput{3}(0,0){
\psline(-0.5,0)(6,0)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}}
}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.5)(0.35,2.3)(0.35,0.9)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.37,2.47)(5.08,1.7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(5.08,1.75)
\psline(5.08,1.75)(2,1.5)
}
\pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95)
\psline(2,1.85)(2,1.5)
\psline(0.35,2.7)(0.35,2.3)
\pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](5.08,0.2)(5.08,1.75)(0,1.37)
\uput[d](5.2,0.3){$x$}
\uput[l](0,1.37){$f(x)$}
\multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex2-Amerique-nord-juin-2016/50.png)
- Quel volume d'eau, au m
près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
- On rappelle que
est le volume total de la cuve,
est la fonction définie en début d'exercice et
la fonction définie dans la partie B.
On considère l'algorithme ci-dessous.
Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.
Variables: a est un réel
b est un réelTraitement: a prend la valeur 2
b prend la valeur 2e
Tant que v(b)-v(a)>10-3 faire:
c prend la valeur (a+b)/2Fin Tant que
Si v(c)<V/2, alors:
a prend la valeur cSinonb prend la valeur cFin SiSortie: Afficher f(c)
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