Exercice bac corrigé - Probabilités: Bac S, métropole, juin 2015

Lois exponentielle et normale - Fluctuation



Exercice corrigé de mathématiques: Exercice bac corrigé - Probabilités: Bac S métropole, juin 2015, Lois exponentielle et normale - Fluctuation

Exercice - énoncé:


Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3} près.


Partie 1


  1. Soit $X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda, où $\lambda est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f définie sur $[0~;~+ \infty[ par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}.
    1. Soit $c et $d deux réels tels que $0 \leqslant c < d. Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d) vérifie

      P(c \leqslant X \leqslant d) = e^{- \lambda c}-e^{-\lambda d}

    2. Déterminer une valeur de $\lambda à $10^{-3} près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20) soit égale à 0,05.
    3. Donner l'espérance de la variable aléatoire $X.


      Dans la suite de l'exercice on prend $\lambda = 0,15.
    4. Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20).
    5. Calculer la probabilité de l'évènement $(X > 18).
  2. Soit $Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $16 et d'écart type $1,95.
    1. Calculer la probabilité de l'événement $(20 \leqslant Y \leqslant 21).
    2. Calculer la probabilité de l'événement $(Y < 11) \cup (Y > 21).



Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à $0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015 et $0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.


  1. Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
  2. Montrer qu'une valeur approchée à 10^{-3} près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut $0,057.


    Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
  3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30\euro.


    Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
    Ses doutes sont-ils justifiés ?

Correction exercice


Partie 1
    1. Par définition, $\displaystyle P(c\leqslant X\leqslant d)=\int_c^df(x)dx=\int_c^d\lambda e^{-\lambda x}$.
      Or, $F:x\mapsto -e^{-\lambda x}$ est une primitive de $f$ et donc,
      \[\begin{array}{ll} P(c\leqslant X\leqslant d)&=\dsp\int_c^df(x)dx\\[1em] &=\Bigl[F(x)\Bigr]_c^d=F(d)-F(c)\\[.8em] &=-e^{-\lambda d}-\lp-e^{-\lambda c}\rp\\ &=e^{-\lambda c}-e^{-\lambda d}\enar\]


    2. On a
      \[\begin{array}{ll} P(X>20)&=P(0\leqslant X\leqslant 20)\\ &=e^{-\lambda\tm0}-e^{-\lambda\tm20}=1-e^{-20\lambda}\enar\]


      Ainsi,
      \[\begin{array}{ll} P(X>20)=0,95&\iff 1-e^{-20\lambda}=0,95\\[.8em] &\iff\lambda=-\dfrac{\ln(0,05)}{20}\simeq 0,150\enar\]

    3. L'espérance d'une loi exponentielle est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\simeq 6,676$.

      Dans la suite de l'exercice on prend $\lambda = 0,15$.

    4. \[\begin{array}{ll} P(10 \leqslant X \leqslant 20)&=e^{-10\lambda}-e^{-20\lambda}\\ &\simeq 0,173\enar\]


    5. \[\begin{array}{ll} P(X>18)&=1-P(0\leqslant X\leqslant 18)\\ &=1-\left( e^{-0\lambda}-e^{-18\lambda}\rp\\ &=e^{-18\lambda}\simeq 0,067\enar\]

    1. La calculatrice donne $P(20 \leqslant Y \leqslant 21)\simeq0,015$.

    2. \[\begin{array}{ll} P((Y < 11) \cup (Y > 21))&=1-P(11\leqslant Y\leqslant 21)\\ &\simeq0,010\enar\]




Partie 2 On peut alors représenter la situation par un arbre, en notant les événements:
  • R: "le bon d'achat est rouge"
  • V: "le bon d'achat est vert"
  • T: "le bon d'achat est de trente euros"
  • C: "le bon d'achat est de cent euros"
  • A: "le bon d'achat est d'une autre valeur"

\[\psset{xunit=1.2cm,yunit=1cm}\begin{pspicture}(-.2,-2.8)(4,2.2) \psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){V} \rput(0.4,0.9){$0,75$}\rput(0.4,-0.9){$0,25$} \psline(3.5,1)(2,1.5)(3.5,2)\rput(1.75,-1.5){R} \rput(3.75,2){T}\rput(3.75,1.){A} \rput(2.8,2.){$0,067$}\rput(2.8,.9){$0,933$} \psline(2,-1.5)(3.5,-.5)\rput(3.75,-.5){T} \psline(2,-1.5)(3.5,-1.5)\rput(3.75,-1.5){C} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.5)\rput(3.75,-2.5){A} \rput(2.8,-0.7){$0,015$}\rput(2.95,-1.35){$0,010$}\rput(2.8,-2.5){$0,975$} \end{pspicture}\]

  1. En notant S l'événement: "la valeur du bon d'achat est supérieure ou égale à 30 euros", la probabilité recherchée est la probabilité conditionnelle:
    \[P_R(S)=P_R(T)+P_R(C)=0,025\]


  2. \[\begin{array}{ll} P(S) &= P(T\cup C)\\[.8em] &=P(V)\times P_V(S)+P(R)\times P_R(S)\\[.8em] &=0,75\tm0,067+0,025\tm0,025=0,0565\simeq 0,057\enar\]


  3. En utilisant la valeur précédente, la probabilité d'avoir un bon d'un montant supérieur ou égal à 30 euros est $p=0,057$.
    Comme $n=200\geqslant 30$ ; $np=11,4\geqslant 5$ et $n(1-p)=188,6\geqslant 5$, on peut utiliser la formule asymptotique de l'intervalle de fluctuation à 95%: la proportion $p'$ dans un échantillon aléatoire de 200 bons d'achat est, avec une probabilité d'environ 95%, dans l'intervalle de fluctuation
    \[\begin{array}{ll} I&=\left[p-1,96\tm\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\tm\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\\&\simeq \Bigl[0,024;0,090\Bigr]\enar\]

    Ici, la proportion observée est $p'=\dfrac{6}{200}=0,03$. On a $p'\in I$, et donc les doutes du directeur du magasin ne sont pas justifiés: avec un faible risque d'erreur (d'environ 5%), la fluctuation de $p'$ par rapport à celle de $p$ annoncée s'explique simplement par le fait que l'échantillon des 200 billets de son magasin est constitué au hasard.


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Voir aussi:
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