Exercice type Bac - Analyse - Logarithme

Suite récurrente et logarithme

Exercice corrigé type Bac: Etudes de fonctions avec logarithme - Suite récurrente

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Le but de l'exercice est l'étude de la suite définie par son premier terme , puis pour tout entier , .
Partie A. Restitution organisée des connaissances.
On rappelle que .
Montrer que .
Partie B. On considère la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative.

1. Soit la fonction définie sur par .
   Montrer que la fonction est négative sur et positive sur .
   
2. 1. Montrer que pour tout , .
   2. En déduire le sens de variation de .
   3. Montrer que la droite d'équation est une asymptote à la courbe en .
   4. Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .
   
   

Partie C.

1. Que peut-on dire de la suite si ?
2. On suppose que .
   1. Montrer que pour tout entier , .
   2. On note la fonction définie sur par .
      Donner le signe de . En déduire le sens de variation de .
   3. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente et donner sa limite.
3. On suppose que . Dans quel intervalle se trouve alors ?
   Que peut-on alors en déduire quant au sens de variation de et à sa convergence ?

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