Bac S 2015 - Nouvelle Calédonie
Droites perpendiculaires dans l'espace
Exercice corrigé bac S, Nouvelle Calédonie 2015 - Représentations paramétriques et droites perpendiculaires dans l'espace
L'espace est rapporté au repère orthonormé
![$\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/1.png)
![$\R](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/2.png)
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point
![$A_1](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/3.png)
![$(0~;~2~;~-1)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/4.png)
![$\overrightarrow{u_1}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/5.png)
![$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/6.png)
On appelle
![$D_1](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/7.png)
![$A_1](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/8.png)
![$\overrightarrow{u_1}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/9.png)
On appelle
![$D_2](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/10.png)
![$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k}
\end{array}\right.\:(k \in \R).](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/11.png)
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à
![$D_1](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/12.png)
![$D_2](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex2/13.png)
-
- Donner une représentation paramétrique de
.
- Donner un vecteur directeur de
(on le notera :
).
- Le point
appartient-il à
?
- Donner une représentation paramétrique de
- Démontrer que les droites
et
sont non coplanaires.
- Soit le vecteur
. On définit la droite
passant par
et de vecteur directeur
et la droite
passant par
et parallèle à
. Justifier que les droites
et
sont perpendiculaires.
Dans la suite, on admettra que les droiteset
sont perpendiculaires.
- Soit
le plan défini par les droites
et
et
le plan défini par les droites
et
.
- Soit le vecteur
. Vérifier que
est un vecteur normal au plan
.
- Montrer que
et
ne sont pas parallèles.
- Soit le vecteur
- Soit
la droite d'intersection des plans
et
. On admettra que le vecteur
est un vecteur directeur de
. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à
et à
.
Autres ressources, exercices, cours, …