Exercice corrigé bac S, Nouvelle Calédonie 2015 - Représentations paramétriques - Droites perpendiculaires dans l'espace
Droites perpendiculaires dans l'espace
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé bac S, Nouvelle Calédonie 2015 - Représentations paramétriques et droites perpendiculaires dans l'espace
Exercice - énoncé:
L'espace est rapporté au repère orthonormé
.
On désigne par
l'ensemble des
nombres réels.
On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point
de coordonnées
et le vecteur
de coordonnées
.
On appelle
la droite passant par
et de vecteur directeur
.
On appelle
la droite qui admet pour représentation paramétrique
Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à
et
.
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On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.
Soient le point




On appelle



On appelle


Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à


-
- Donner une représentation paramétrique de
.
- Donner un vecteur directeur de
(on le notera :
).
- Le point
appartient-il à
?
- Donner une représentation paramétrique de
- Démontrer que les droites
et
sont non coplanaires.
- Soit le vecteur
. On définit la droite
passant par
et de vecteur directeur
et la droite
passant par
et parallèle à
. Justifier que les droites
et
sont perpendiculaires.
Dans la suite, on admettra que les droiteset
sont perpendiculaires.
- Soit
le plan défini par les droites
et
et
le plan défini par les droites
et
.
- Soit le vecteur
. Vérifier que
est un vecteur normal au plan
.
- Montrer que
et
ne sont pas parallèles.
- Soit le vecteur
- Soit
la droite d'intersection des plans
et
. On admettra que le vecteur
est un vecteur directeur de
. Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace perpendiculaire à la fois à
et à
.
Correction exercice
-
- Une représentation paramétrique de
s'obtient en traduisant l'égalité
avec
soit:
.
- Dans la représentation paramétrique, on reconnait qu'un
vecteur directeur de
est
.
-
qui a une solution
.
Le pointappartient à
.
- Une représentation paramétrique de
- Les vecteurs directeurs de
et de
ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes s'il existe des réels
et
tels que:
Ce système n'a pas de solution donc il n'existe pas de point commun aux deux droites, elles ne sont donc pas coplanaires.
- Les droites
et
contiennent le point
. Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires il suffit de montrer que deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux :
. Ainsi, les droites
et
sont perpendiculaires.
- Les droites
et
sont aussi perpendiculaires
-
est un vecteur normal au plan
s'il est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce plan
et
; or
Le vecteurest orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan
. Il est par conséquent normal à ce plan.
- Si
et
sont parallèles,
vecteur normal au plan
est aussi un vecteur normal au plan
; il est donc orthogonal à tout vecteur non nul du plan
comme
et
. On a bien
, mais
.
Doncn'est pas normal au plan
et les deux plans
et
ne sont pas parallèles.
-
-
est parallèle à
et
lesquelles sont respectivement perpendiculaire à
et
.
Par conséquent la droiteest orthogonale aux droites
et
.
Or cette droite appartient au planet au plan
. Elle est donc perpendiculaire aux droites
et
. Il existe donc une droite de l'espace perpendiculaire à la droite
et à
: c'est la droite
.
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Voir aussi: