Exercice type Bac

Suite récurrente définie par une fonction, démonstration par récurrence, et limite

Exercice corrigé type Bac: suite définie par une fontion, démonstration par récurrence, et limite d'une suite

1. Dresser le tableau de variation de .
2. On considère la suite définie par:
   
   1. Calculer et (donner les résultats sous forme de frations irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à près).
   2. Démontrer, par récurrence, que pour tout , on a:
   3. Démontrer que, pour tout : .
   4. En déduire, par récurrence, que pour tout entier , .
   5. En déduire la limite de la suite .