Exercice corrigé type bac - Etude complète de fonction
Une étude complète de fonction
Exercice corrigé de mathématiques: Un exercice corrigé complet type Bac: Etude complète de fonctions, variations, limites, asymptote oblique...
Exercice - énoncé:
Partie I. Soit



- Etudier le sens de variation de
sur
.
- Démontrer que l'équation
admet dans
une solution unique que l'on notera
. Donner une valeur approchée de
à
près.
- Déterminer le signe de
sur
.
Partie II. Soit




- Etudier les limites de
aux bornes de ses intervalles de définition.
En déduire l'existence de deux asymptotes verticales dont on donnera les équations. - Calculer la dérivée de
sur
et déterminer son signe.
- Dresser le tableau de variation de
.
- Montrer que pour tout
de
,
.
- Montrer que la droite
d'équation
est une asymptote oblique à
en
et
.
- Etudier la position relative de
et
.
- Déterminer les abscisses des points de
admettant une tangente parallèle à
.
Correction exercice
Partie I.



-
est une fonction polynôme donc dérivable sur
, et, pour tout
réel,
.
-
est une fonction polynôme, donc continue sur
. De plus, sa limite en
est la limite de son terme de plus haut degré:
, et comme
, on en déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que il existe un unique réel
tel que
. Comme de plus,
pour tout
, on en déduit que
est la seule solution sur
de l'équation
.
De pluset
, donc
.
- On déduit de la question précédcente le signe de
:
Partie II. Soit




- Limites en
:
est une fonction rationnelle, et on peut donc factoriser par ses termes de plus haut degré au numérateur et dénominateur (termes prépondérants en l'infini):
On aet
, et donc, par quotient et produit des limites,
.
De même, en,
.
Limites en: Signe de
:
et
, d'où,
.
et
, d'où,
.
et
, d'où,
.
et
, d'où,
.
et
sont asymptotes verticales à
.
-
est le quotient des fonctions polynômes
et
qui sont dérivables sur
, avec
si et seulement si
ou
, et donc,
est dérivable sur
, avec, pour tout
,
- On en déduit, d'après la partie I,
- Pour tout
de
,
.
de
,
.
- D'après le calcul précédent, pour tout
de
,
.
Ainsi,
par produit et quotient des limites, et
.
.
est asymptote oblique à
en
et
.
- La position relative de
et
est donnée par le signe de
:
est au-dessous de
pour
.
est au dessus de
pour
.
- Le coefficient directeur de
est
. Le coefficient de la tangente à
au point d'abscisse
est
.
au point d'abscisse
est donc parallèle à
si et seulement si,
, soit pour
et
,
Ce trinôme du second degré a pour discriminant, et admet donc deux racines réelles distinctes:
et
Les abscisses des points deadmettant une tangente parallèle à
sont donc:
et
.
![\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(8,9.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-5,0)(5,0)\rput(-0.2,0.25){$O$}
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-5)(0,8.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{-5}{-1.058}{
x x mul x mul 2 x mul x mul add
x x mul 1 sub div}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-0.908}{0.8}{
x x mul x mul 2 x mul x mul add
x x mul 1 sub div}
\psplot[linewidth=1.4pt]{1.25}{6}{
x x mul x mul 2 x mul x mul add
x x mul 1 sub div}
\rput(1.6,8){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.5pt](-1,-5)(-1,9)
\psline[linewidth=0.5pt](1,-5)(1,9)
\psplot[linewidth=0.5pt]{-5}{6}{x 2 add}% Delta
\rput(6,7.6){$\Delta$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,5.29)(3.2,5.29)%Tgte horizontale en 0
\psline[linewidth=0.9pt]{<->}(-0.8,0)(0.8,0)%Tgte horizontale en alpha
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2.2,0)(2.2,5.29)
\rput(2.2,-0.2){$\alpha$}
\rput(-1.2,-0.2){$\scriptstyle -1$}
\rput(1.2,-0.2){$\scriptstyle -1$}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex02_c/114.png)
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Voir aussi: