Exercice corrigé bac S - Nouvelle Calédonie 2012 - Nombres complexes
Racines d'un polynôme du 3ème degré - Géométrie dans le plan complexe
Exercice corrigé de mathématiques: Exercice corrigé Bac S, Nouvelle Calédonie 2012: Nombres complexes, racines d'un polynôme du 3ème degré et géométrie dans le plan complexe
Exercice - énoncé:
Partie A. On considère le polynôme
défini sur
par
Partie B. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
. On prendra 2 cm pour unité graphique.
On considère les points
,
,
et
d'affixes respectives:
Nouvelle Calédonie, 2012 5 points
Partie A.
Partie B.
Cacher la correction



- Montrer que le nombre complexe
est solution de l'équation
.
-
- Déterminer les réels
et
tels que
.
- En déduire les solutions dans
de l'équation
.
- Déterminer les réels
Partie B. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct






- Placer les points
,
,
,
sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
- Soit
le symétrique du point
par rapport au point
. Montrer que l'affixe de L est égale à
.
- Montrer que les points
,
,
et
appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
- Soit
et
les points d'affixes respectives
et
.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
Correction exercice
Nouvelle Calédonie, 2012 5 points
Partie A.
-
avec,, et
et ainsi,
est donc bien une racine de
.
-
- En développant, on a:
En identifiant avec les coefficients du polynôme, on a alors:
On a donc la factorisation - En utilisant la factorisation précédente :
On retrouve la racinede la question 1.
L'équation du second degré a pour discriminant, et admet donc 2 racines complexes conjuguées:
Les solutions sont donc :,
, et
.
- En développant, on a:
Partie B.
-
- On a
.
est le milieu du segment
ce qui se traduit par:
On a donc bien.
- On a
,
,
.
On a donc: les points
,
,
et
appartiennent à un même cercle de centre
et de rayon
.
-
est un carré; on peut raisonner pour le démontrer de nombreuses manières: en calculant les longueurs
,
et
et en utilisant le théorème de Pythagore; en montrant que
donc que
est un parallélogramme, et en calculant le produit scalaire (avec les coordonnées cartésiennes)
; ou encore en utilisant le point
, intersection et milieu des diagonales…
Par exemple,et
, d'où
et le quadrilatère
est donc un parallélogramme.
De plus,, et
, et
.
Ainsi,donc, d'après le théorème de Pythagore, le parallélogramme
est un rectangle, et comme de plus
, c'est un carré.
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Voir aussi: