Bac S - Nouvelle Calédonie 2012

Racines d'un polynôme du 3ème degré - Géométrie dans le plan complexe

Exercice corrigé Bac S, Nouvelle Calédonie 2012: Nombres complexes, racines d'un polynôme du 3ème degré et géométrie dans le plan complexe


Partie A. On considère le polynôme $P défini sur $\C par

P(z) = z^3 - \lp2+i\sqrt{2}\right) z^2 + 2\lp1+i\sqrt{2}\right) z-2i\sqrt{2}

  1. Montrer que le nombre complexe $z_0=i\sqrt{2} est solution de l'équation $P(z)=0.
    1. Déterminer les réels $a et $b tels que $P(z)=\left( z-i\sqrt{2}\right) \left( z^2+az+b\right).
    2. En déduire les solutions dans $\C de l'équation $P(z)=0.


Partie B. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp. On prendra 2 cm pour unité graphique. On considère les points $A, $B, $J et $K d'affixes respectives:

z_A=1+i,\quad z_B=1-i,\quad z_J=i\sqrt{2}\quad \text{et}\ z_K=e^{\frac{3i\pi}{4}}.


  1. Placer les points $A, $B, $J, $K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
  2. Soit $L le symétrique du point $J par rapport au point $K. Montrer que l'affixe de L est égale à $-\sqrt{2}.
  3. Montrer que les points $A, $B, $J et $L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
  4. Soit $C et $D les points d'affixes respectives $z_C=-1-i et $z_D=-1+i.
    Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

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