Exercice Bac STI2D & STL - juin 2015
Exponentielle et équation différentielle du 1er ordre
Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole juin 2015 - Fonction exponentielle et équation différentielle du 1er ordre
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à
![$10^{-2}$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/1.png)
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note
![$P_E$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/2.png)
![$P_S$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/3.png)
Pour une fibre de longueur
![$L$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/4.png)
![$P_E$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/5.png)
![$P_S$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/6.png)
![$L$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/7.png)
![\[P_S = P_E \times e^{-aL}\]](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/8.png)
où
![$a$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/9.png)
- la puissance du signal à l'entrée de la fibre est
mW;
- à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au
moins
mW;
- pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa
puissance devient strictement inférieure à
mW.
Partie A
Le premier type de fibre de longueur
![$100$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/13.png)
![$a = 0,046$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/14.png)
Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?
Partie B
La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction
![$g$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/15.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/16.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/17.png)
![$g$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/18.png)
![$[0~;~+\infty[$](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/19.png)
![\[y' + 0,035 y = 0.\]](/Generateur-Devoirs/TSTI/EquaDiff/ex2015-Metropole/20.png)
- Résoudre l'équation différentielle
.
-
- Sachant que
, vérifier que la fonction
est définie sur l'intervalle
par
.
- En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
- Sachant que
-
- Étudier le sens de variation de la fonction
.
- Déterminer la limite de la fonction
en
.
- Étudier le sens de variation de la fonction
-
- Le signal sera-t-il encore détecté au bout de
km de propagation ?
- Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
- Le signal sera-t-il encore détecté au bout de
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