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Points sur une hyperbole

Concourance de trois droites

Exercice corrigé: Concourance de trois droites contrainte par une hyperbole


Dans un repère orthonormé, on donne les points $ A(-1;-1)$ , $ B(-1;0)$ et $ C(0;-1)$ . $ \mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction inverse $ f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ .


Soit deux réels $ a$ et $ b$ , et $ M(a;b)$ un point quelconque du plan auquel on associe les points $ P(a;0)$ et $ Q(0;b)$ .


On souhaite étudier la position relative des droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ (CP)$ .

  1. Placer sur une figure ces six points, représenter la courbe $ \mathcal{C}$ et les droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ CP)$ .

  2. a. Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ , $ \overrightarrow{BQ}$ et $ \overrightarrow{CP}$ en fonction de $ a$ et $ b$ .
    b. Montrer que ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si $ ab=1$ .
    c. Que dire alors des droites $ (BQ)$ , $ (AM)$ et $ (CP)$ lorsque $ M$ est un point de $ \mathcal{C}$ ?

  3. On suppose par la suite que $ ab\not=1$ .
    a. Démontrer que la droite $ (BQ)$ a pour équation $ bx-y+b=0$ .
    b. Déterminer une équation de la droite $ (CP)$ .
    c. Calculer en fonction de $ a$ et $ b$ les coordonnées du point $ N$ intersection de $ (CP)$ et $ (BQ)$ .

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