Etude de fonction avec une racine carrée

Dérivée, sens de variation, encadrements

Exercice corrigé - Etude d'une fonction avec racine carrée - Dérivée, sens de variation, encadrements


On appelle $ f$ la fonction définie sur $ [0;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ .

  1. Montrer que, pour tout $ x>0$ , $ f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}$ .
  2. Dresser le tableau de variation de $ f$ .

    En déduire que, pour tout réel positif $ x$ , $ 0\leq \sqrt{x}\leq \dfrac{x+1}{2}$ .

  3. Tracer la courbe $ \mathcal{C}$ de $ f$ dans le plan muni d'un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ d'unité 2cm en abscisse et 5cm en ordonnée.

  4. Montrer que l'équation $ f(x)=\dfrac{1}{10}$ admet une unique solution $ \alpha$ sur $ [0;1]$ .

    Donner un encadrement de $ \alpha$ à $ 10^{-2}$ près.


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