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Etude de fonction avec une racine carrée

Dérivée, sens de variation, encadrements

On appelle

la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ .

Montrer que, pour tout , $f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}$ .
Dresser le tableau de variation de .
En déduire que, pour tout réel positif , $0\leq \sqrt{x}\leq \dfrac{x+1}{2}$ .
Tracer la courbe $\mathcal{C}$ de dans le plan muni d'un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ d'unité 2cm en abscisse et 5cm en ordonnée.
Montrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{10}$ admet une unique solution $\alpha$ sur .
Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.