Etude du prix du billet et de la recette dans une agence de voyage

Recette maximale

Exercice corrigé: Agence de voyage, son nombre de passagers et sa recette maximale


Un voyagiste veut faire une promotion sur le vol Paris-Londre. Le nombre de places disponibles est au maximum de 10200.


Le nombre $ p(x)$ de passagers intéressés est fonction du prix $ x$ , en euros, du billet : $ p(x)=10\,200 - 120 x$ .

Partie A. Etude du nombre de passagers.

  1. Calculer le nombre de passagers si le prix du billet est fixé à 65euros.


  2. Calculer le prix du billet en supposant que 7200 passagers sont intéressés.


  3. Que se passe-t-il si le billet est gratuit ? si le prix du billet est de 85euros ?


  4. Quel est le sens de variation de la fonction $ x\mapsto p(x)$ sur l'intervalle $ [0;85]$ ?


  5. Tracer la courbe représentative de la fonction $ p$ dans le plan rapporté à un repère orthonogonal (unités graphiques: 1cm pour 5euros en abscisse et 1cm pour 500 passagers en ordonnées).


    Retrouver graphiquement les résultats des questions 1. et 2.


Partie B. Etude de la recette.

  1. a. Montrer que la recette $ R(x)$ quand le billet vaut $ x$ euros est donné par :

    $\displaystyle R(x)=-120x^2+10\,200x\,.$

    b. Calculer la recette si le prix du billet est de 10euros, 42,50euros, 50euros et 60euros.


    On donne, ci-contre, la courbe représentative de la fonction $ R$ .


    a. Dresser le tableau de variation de la fonction $ R$ .


    b. Déterminer graphiquement le prix du billet permettant d'avoir une recette maximale, et calculer le nombre de passagers correspondant.

    \begin{pspicture}(-100,40)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(0,... ...} \put(5,0.5){Prix du} \put(5,0.){billet} \put(5,-0.5){(euros)} \end{pspicture}

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