Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
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% Bandeau en bas de page
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\author{Y. Morel}
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%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\hfill{\Large{\bf Les dix suspects}}
\hfill $2^{nde}$
\vspace{0.6cm}
Un d�lit a �t� commis pour lequel dix personnes sont suspect�es.
Quatre autres personnes, se d�clarant t�moins du d�lit, sont
convoqu�es pour tenter d'identifier le coupable.
Chaque t�moin d�signe a son tour un des dix suspects sans avoir
connaissance des t�moignages des autres t�moins.
\vspd
Un suspect est d�sign� par deux t�moins diff�rents.
Cela constitue-t-il une charge accablante contre lui ?
\vspd
Une autre mani�re d'aborder la question est:
imaginons que les quatre pr�tendus t�moins d�signent chacun un
suspect \emph{au hasard}, ind�pendamment les uns des autres.
Quelle serait alors la probabilit� pour qu'au moins un des suspects
soit d�sign� deux fois ?
\paragraph{Calcul de la probabilit�}
\bgen
\item De combien de fa�ons diff�rentes les quatre t�moins peuvent-ils
d�signer quatre suspects parmi les dix suspect�s ?
\vspd
\item On consid�re l'�v�nement:
$A$:"un m�me suspect est d�sign� au moins deux fois".
D�crire l'�v�nement contraire $\overline{A}$ de $A$ ?
\vspd
\item On cherche � d�nombrer le nombre de fa�ons de r�aliser
l'�v�nement $A$.
\bgen[a)]
\item Combien de possibilit� a le 1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$
t�moin pour d�signer un suspect ?
Combien en a alors le 2$^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ?
le 3$^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ?
puis le 4$^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ ?
En d�duire le nombre d'issues de l'�v�nement $\overline{A}$.
\item D�terminer alors la probabilit� de $\overline{A}$.
\enen
\item D�duire du r�sultat pr�c�dent la probabilit� de $A$.
Que peut-on en conclure ?
\enen
\vspace{1cm}
\ct{\Large{\bf Co�ncidence de dates anniversaires}}
\vspq
On consid�re un groupe de personnes, et on s'int�resse aux
co�ncidences possibles entre les jours de naissance dans l'ann�e de
ces personnes.
\vspd
\bgen
\item On consid�re un groupe de quatre personnes et l'�v�nement:
$A$:"Deux personnes au moins dans le groupe de quatre personnes sont
n�es le m�me jour de l'ann�e".
\vspd
D�crire l'�v�nemment $\overline{A}$ et calculer sa probabilit�.
\vspd
En d�duire la probabilit� de l'�v�nement $A$.
\vspd
\item Calculer cette m�me probabilit� pour un groupe de cinq
personnes, puis six personnes, sept personnes \ldots
\vspd
\item A partir de combien de personnes dans le groupe, la probabilit�
que deux personnes au moins soient n�es le m�me jour de l'ann�e est
plus grande que $\dfrac{1}{2}$ ?
\enen
\end{document}
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