Equations de droites, intersection avec les axes et entre elles

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

On considère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ d'équations $\mathcal{D}: 2x+y=5$ et $\mathcal{D}': y=3x-1$.
  1. Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $\mathcal{D}$ avec l'axe des ordonnées, et du point $B$ d'intersection de $\mathcal{D}$ avec l'axe des abscisses.
  2. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont-elles parallèles ?
  3. Tracer dans un repère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.
  4. Calculer les coordonnées des éventuels points d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.



Correction

Correction

On considère les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ d'équations $\mathcal{D}: 2x+y=5$ et $\mathcal{D}': y=3x-1$.
  1. Soit $A(x;y)$ alors comme $A$ appartient à l'axe des ordonnées, on a $x=0$, et, comme $A\in\mathcal{D}$, $2x+y=5$ soit, avec $x=0$, $y=5$. Ainsi on trouve $A(0;5)$.
    Soit $B(x;y)$ alors comme $B$ appartient à l'axe des abscisses, on a $y=0$, puis comme $B\in\mathcal{D}$, $2x+y=5$ soit, avec $y=0$, $2x=5\iff x=\dfrac52$. Ainsi, on trouve $B\lp\dfrac52;0\rp$.
  2. $\mathcal{D}: 2x+y=5\iff y=-2x+5$ et $\mathcal{D}': y=3x-1$. $\mathcal{D}$ a pour coeeficient directeur $a=-2$ et $\mathcal{D}'$ a pour coefficient directeur $a'=3$. Ces coefficients directeurs sont différents, donc les droites sont sécantes.

  3. \[\psset{unit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,5.5) \psline{->}(-1.2,0)(4,0) \psline{->}(0,-2)(0,6) \multido{\i=-1+1}{7}{\psline(.1,\i)(-.1,\i)\rput(-.2,\i){\i}} \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \psplot{-.5}{3}{-2 x mul 5 add}\rput(2.5,.8){$\mathcal{D}$} \psplot{-.3}{2}{3 x mul 1 sub}\rput(2.3,4.6){$\mathcal{D}'$} \end{pspicture}\]

  4. Soit $M(x;y)$ le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$, alors on a $\la\begin{array}{ccr} y&=&-2x+5\\ y&=&3x-1 \enar\right.$
    d'où $y=-2x+5=3x-1$ donc $5x=6\iff x=\dfrac65$, et alors $y=-2x+5=-2\tm\dfrac65+5=\dfrac{13}{5}$.
    Ainsi, le point d'intersection est $M\lp\dfrac65;\dfrac{13}{5}\rp$.


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