Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: fonctions de r�f�rence},
pdftitle={Fonctions de r�f�rence},
pdfkeywords={Math�matiques, seconde, 2nde, fonctions,
fonctions de r�f�rence, fonctions usuelles,
affine, inverse, carr�, racine carr�e, second degr�
}
}
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anchorcolor = red,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\tm}{\times}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\newcommand{\ctbf}[1]{\ct{\bf #1}}
\renewcommand{\no}{\noindent}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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% The environment centerpage centers text vertically on the page. This is
% useful within a titlepage environment.
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% \protect\vspace*{\fill} \mbox{} \protect\\ \mbox{}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
%\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Th�or�me:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}
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\newenvironment{Notation}{\paragraph{\ulg{Notation:}} \it}{}
\nwc{\bgnot}{\begin{Notation}}\nwc{\enot}{\end{Notation}}
%\newtheorem{lemme}{Lemme} % si on les veut num�rot�s
\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}
%\newtheorem{prop}{Propri\'et\'e}
%\newenvironment{prop}{\paragraph{Propri�t�:} \it}{}
%\nwc{\bgprop}{\begin{prop}}\nwc{\enprop}{\end{prop}}
\newtheorem{corol}{Corollaire}
%\newtheorem{definition}{D\'efinition}
%\newenvironment{definition}{\paragraph{D�finition:} \it}{}
%\nwc{\bgdef}{\begin{definition}}\nwc{\enef}{\end{definition}}
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\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
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\nwc{\deftitle}{D�finition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
\end{minipage}
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\end{minipage}
}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\vspace*{-2cm}
%\begin{centerpage}
%\setlength{\extrarowheight}{8pt}
\ct{\raisebox{0.cm}[0.9cm]{\bf \huge{Fonctions de r�f�rence}}}
%\tableofcontents
\sectionc{Etude de fonctions}
%{\it {\bf Activit�}: ``A propos des fonctions''}
\bgdef{Etudier une fonction $f$, c'est:
\bgit
\item d�terminer son ensemble de d�finition $\mathcal{D}_f$
\item d�terminer son sens de variation
\item tracer sa courbe repr�sentative $\mathcal{C}_f$, en
exploitant son tableau de variation, et � l'aide d'un tableau
de valeurs.
\enit
}
\sectionc{Fonctions affines}
\noindent
\ul{Rappel:} Une fonction affine est une fonction d�finie sur $\R$
qui admet une expression de la forme $f(x)=ax+b$.
\vspt\noindent
\ul{Ex:}\ \ \ul{Etude de $f(x)=2x+1$ }
\vspd
\bgit
\item Ensemble de d�finition: $\mathcal{D}_f=\R$
\item Sens de variation: Soient $x_1$ et $x_2$ deux r�els tels que
$x_1<x_2$, alors $2x_1+1<2x_2+1$, d'o� $f(x_1)<f(x_2)$.
On en d�duit que $f$ est croissante sur $\R$.
\item La courbe repr�sentative de $f$ est la droite d'�quation
$y=2x+1$.
\enit
\vspd\noindent
\ul{Ex:} Etude de $g(x)=-3x+6$.
\bgprop{Soit $f$ une fonction affine d�finie par l'expression
$f(x)=ax+b$.
Alors, si $a>0$, $f$ est strictement croissante sur $\R$; tandis
que si $a<0$, $f$ est strictement d�croissante sur $\R$.
}
\vspd
\hspace{3cm}
\bgmp{3.8cm}
\ct{\ul{$a<0$}}\vspd
\begin{tabular}{|c|lcr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$ & & \psline{->}(-0.8,0.5)(1,-.5) & \\
&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\rule[-1.2cm]{0.8pt}{2.4cm}
\hspace{0.5cm}
\bgmp{3.5cm}
\ct{\ul{$a>0$}}\vspd
\begin{tabular}{|c|lcr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\\hline
&&&\\
$f$ & & \psline{->}(-0.8,-0.5)(1,.5) & \\
&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Ex:} Etudier le sens de variation sur $\R$ de la fonction
d�finie par $f(x)=3x+2$, puis tracer sa courbe repr�sentative.
\vsp
R�soudre graphiquement, puis par le calcul, l'in�quation
$f(x)\leqslant 4$.
\sectionc{Fonction inverse}
\bgdef{La fonction inverse est la fonction d�finie sur $\R^*$ par
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}$.
}
\bgprop{La fonction inverse est d�croissante sur $]-\infty;0[$ et
sur $]0;+\infty[$.
Sa repr�sentation graphique est une courbe $\mathcal{H}$ appel�e
hyperbole.
}
\vspq\vsp
\ul{D�monstration:}\vspace{-1.cm}
\bgmp{13cm}
Sens de variation: Soient $x_1$ et $x_2$ deux r�els n�gatifs tels
que $x_1<x_2<0$ ...
\setlength{\unitlength}{1cm}
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
x & $-\infty$ \ \ \ \ \ \ &0\ \ \ \ \ \ \ &$+\infty$ \ \ \ \ \\\hline
$f$
& \put(.6,.4){\vector(1,-1){.6}}
& \put(.25,-.2){\line(0,1){.7}} \put(.35,-.2){\line(0,1){.7}}
\put(1.,.4){\vector(1,-1){.6}}
&
\\\hline
\end{tabular}}
\vspd
Courbe repr�sentative: Tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
x & 0,25&0,5&1&2&4\\\hline
$f(x)$&4&2&1&0,5&0,25\\\hline
\end{tabular}
\enmp\hspace{-0.5cm}
\bgmp{6cm}
\ct{\epsx=6cm\epsy=5cm
\epsfbox{./FIG/Hyperbole.eps}}
\enmp
\bgprop{Pour tout nombre r�el $x$,
$\dsp f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$:
La fonction inverse est \ul{impaire}: sa courbe repr�sentative admet
l'origine du rep�re comme centre de sym�trie.
}
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
R�soudre l'�quation $\dfrac{1}{x}\leqslant 2$
en s'aidant de la courbe repr�sentative de la fonction
inverse.
\vspd
R�soudre de m�me l'�quation $\dfrac{1}{x}\geqslant 6$.
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
Donner un encadrement de $\dsp\frac{1}{x}$ lorsque:
\hspace{0.3cm}
a)\ \ $x\in[1;2]$
\hspace{0.6cm}
b)\ \ $x\in]0;3[$
\hspace{0.6cm}
c)\ \ $x\in[-4;-1]$
\hspace{0.6cm}
d)\ \ $x\in]-1;1[$
\sectionc{Fonction racine carr�e}
\subsectionc{Rappels: r�gles de calcul sur les racines carr�es}
\bgprop{
Soit $a$ et $b$ deux nombres \ul{positifs}, alors,
\bgit
\item[$\bullet$] $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
\vspd
\item[$\bullet$] $\dsp\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
\vspd
\item[$\bullet$] Si $0<a<b$, alors $0<\sqrt{a}<\sqrt{b}$
\enit
}
\vspd\noindent
\ul{Mais}, comme pour les identit�s remarquables,
$\sqrt{a+b}\not=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
et
$\sqrt{a-b}\not=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
$\bullet$
Soit $X=\sqrt{24}-\sqrt{6}$.
Calculer $X^2$, puis en d�duire la valeur de $X$.
\vspd
$\bullet$
Soit $X=\sqrt{50}-\sqrt{8}$.
Calculer $X^2$, puis en d�duire la valeur de $X$.
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
Soit $X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}$. \vsp
$\bullet$ Calculer $X$ � la calculatrice. \vsp
$\bullet$ D�velopper $X^2$, puis en d�duire $X$, et retrouver le
r�sultat pr�c�dent.
\vspd
$\bullet$ M�mes questions avec $Y=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$
et $Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}$.
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
Ecrire les fractions sans radical au d�nominateur:
$\dsp A=\frac{2}{\sqrt{8}}$,
$\dsp B=\frac{3}{2+\sqrt{5}}$,
$\dsp C=\frac{-2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$,
$\dsp D=\frac{3-\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}$
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
R�soudre les syst�mes: \vspd
$\la\bgar{rrrcl}
\sqrt{3}\,x &-& y &=& 0 \\
2\,x &+& \sqrt{3}\,y &=& 5
\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{rrrcl}
3\sqrt{2}\,x &+& \sqrt{8}y &=& 2 \\
\sqrt{8}\,x &-& \sqrt{2}\,y &=& -8
\enar\right.$
\subsectionc{Fonction racine carr�e}
\bgdef{La fonction racine carr�e est la fonction d�finie sur
$[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.
}
D'apr�s la propri�t� pr�c�dente, si $0<a<b$, alors
$0<\sqrt{a}<\sqrt{b}$, soit aussi,
$0<f(a)<f(b)$.
On en d�duit la propri�t�:
\vspace{-1.5cm}
\bgprop{La fonction racine carr�e est strictement croissante sur
$[0;+\infty[$.
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1)(9,3)
\psline{->}(0,0)(4,0)
\psline{->}(0,0)(0,2)
%\psplot{0}{4}{x 0.5 exp} % ou aussi :
\psplot{0}{3.5}{x sqrt}
\end{pspicture}
\sectionc{Fonction carr�}
\bgdef{La fonction carr� est la fonction d�finie sur $\R$ par
$f(x)=x^2$.
}
\bgprop{La fonction carr� est d�croissante sur $\R^-$, et
croissante sur $\R^+$.
Sa repr�sentation graphique dans un rep�re orthonorm� est une
courbe $\mathcal{P}$ appel�e parabole.
}
\ul{D�monstration:}
\bgmp{12cm}
Sens de variation:
Soient $a$ et $b$ deux r�els n�gatifs tels que $a<b\leq 0$,
alors $a^2>b^2$, soit aussi $f(a)>f(b)$ :
la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;0]$.
\setlength{\unitlength}{1cm}
\ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
x & $-\infty$ \ \ \ \ \ \ &0\ \ \ \ \ \ \ &$+\infty$ \ \ \ \ \\\hline
$f$
& \put(.6,.4){\vector(1,-1){.6}}
& \put(.2,-.2){$0$}
\put(1.,-.2){\vector(1,1){.6}}
&
\\\hline
\end{tabular}}
\vspd
Courbe repr�sentative: Tableau de valeurs:
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
x & -2&-1&0&1&2\\\hline
$f(x)$&4&1&0&1&4\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6cm}
\ct{\epsx=6cm\epsy=3cm
\epsfbox{./FIG/Parabole.eps}}
\enmp
\bgprop{Pour tout nombre r�el $x$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$:
La fonction carr� est \ul{paire}: sa courbe repr�sentative admet
l'axe des ordonn�es comme axe de sym�trie.
}
\vspd\noindent
\ul{Ex:} Tracer la courbe repr�sentative la fonction carr�, et
r�soudre, en s'aidant de cette courbe, les �quations:
\vsp
\hspace{2cm}
a) $x^2\leqslant 9$ \hspace{3cm}
b) $x^2\leqslant 5$ \hspace{3cm}
c) $x^2\geqslant 8$
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
Donner un encadrement de $a^2$ lorsque:
\hspace{0.5cm}
1)\ \ $\dsp a\in \Big[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\Big]$
\hspace{1cm}
2)\ \ $\dsp a\in[-2;-1]$
\hspace{1cm}
3)\ \ $a\in[-1;2]$
\sectionc{Fonction du second degr�}
\bgdef{
Un fonction du second degr� est une fonction d�finie sur $\R$ par
une expression de la forme: \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$}, o� $a\not=0$, $b$ et $c$
sont trois nombres r�els quelconques.
}
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
\bgit
\item[$\bullet$] $f(x)=2x^2-5x+2$ est une fonction du second degr�,
avec $a=2$, $b=-5$ et $c=2$.
\item[$\bullet$] $f(x)=-3x^2+x-7$ est une fonction du second degr�,
avec $a=-3$, $b=1$ et $c=-7$.
\item[$\bullet$] $f(x)=-x^2-\frac{3}{2}$ est une fonction du second degr�,
avec $a=-1$, $b=0$ et $c=-\frac{3}{2}$.
\enit
\vspd\noindent
\ul{Ex:}
\bgit
\item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $f$ d�finie par
$f(x)=x^2-2x+3$.
Montrer que pour tout $x$ r�el, $f(x)=(x-1)^2+2$.
En d�duire le sens de variation et le minimum de $f$.
\vspd
\item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $g$ d�finie par
$g(x)=x^2+6x-8$.
Montrer que pour tout $x$ r�el, $g(x)=(x+3)^2-17$.
En d�duire le sens de variation et le minimum de $g$.
\vspd
\item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $h$ d�finie par
$h(x)=2x^2+12x+10$.
Montrer que pour tout $x$ r�el, $h(x)=2(x+3)^2-8$.
En d�duire le sens de variation et le minimum de $h$.
\vspd
\item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $k$ d�finie par
$k(x)=-2x^2-12x-9$.
Trouver trois nombres r�els $a$, $b$, et $c$ tels que, pour tout
$x$,
$k(x)=a(x+b)^2+c$.
\vspd
\item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $l$ d�finie par
$l(x)=-2x^2-12x-9$.
Trouver trois nombres r�els $a$, $b$, et $c$ tels que, pour tout
$x$,
$l(x)=a(x+b)^2+c$.
\enit
\bgprop{Soit $f$ une fonction du second degr� d�finie par
l'expression $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\not=0$, $b$ et $c$ trois nombres
r�els quelconques, alors,
pour tout nombre r�el $x$,
$\dsp f(x)=a\lp x+\frac{b}{2a}\rp^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$, et donc,
\bgmp{5.5cm}
\ct{\ul{$a>0$}}\vspd
\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & & $\dsp\frac{-b}{2a}$ & & $+\infty$\\\hline
&&&&&\\
$f$ & & \psline{->}(-.8,.5)(.5,-.5)&& \psline{->}(-.5,-.5)(.8,.5) & \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\rule[-1.5cm]{0.8pt}{3cm}
\hspace{0.5cm}
\bgmp{5.5cm}
\ct{\ul{$a<0$}}\vspd
\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$ & $-\infty$ & & $\dsp\frac{-b}{2a}$ & & $+\infty$\\\hline
&&&&&\\
$f$ & & \psline{->}(-.8,-.5)(.5,.5)&& \psline{->}(-.5,.5)(.8,-.5) & \\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
}
\vspd\noindent\ul{Ex:} Tracer les courbes repr�sentatives des fonctions
$f$ et $g$ d�finies par :
$f(x)=4x^2+16x-6$ et $g(x)=-2x^2+8x-6$.
D�terminer, graphiquement puis par le calcul, les coordonn�es des
points d'intersection des deux courbes.
\vspd\noindent\ul{Ex:}
Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression
$f(x)=ax^2+bx+2$, o� $a$ et $b$ sont des nombres r�els �
d�terminer,
et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative.
\vsp
On sait de plus que les points $A(1;-1)$ et $B(4;2)$ appartiennent �
$\mathcal{C}_f$.
\bgit
\item[a)] D�terminer $a$ et $b$, et l'expression de $f$.
\item[b)] Dresser le tableau de variation de $f$ et en d�duire son
minimum.
\item[c)] Tracer $\mathcal{C}_f$.
\enit
\vspd\noindent\ul{Ex:}
Chaque jour une entreprise fabrique un nombre $x$ d'objets, compris
entre $0$ et $50$.
\vsp
Le co�t de production des objets est donn�e, en euros, par
$C(x)=60-0,3x$,
tandis que le revenu de la vente de ces $x$ objets est, en euros,
$R(x)=20,1x-0,3x^2$.
\vsp
a) Exprimer le b�n�fice $B(x)$ en fonction de $x$.
b) Quel est le b�n�fice maximal que esp�rer l'entreprise ?
\vspd\noindent\ul{Ex:}
\bgmp[t]{13cm}
Dans un carr� $ABCD$ de c�t� 20 cm, on inscrit un carr� $MNPQ$ tel
que
$x=MB=NC=PD=QA$.
On cherche la valeur de $x$ pour que le carr� $MNPQ$ ait une aire
minimale.
\bgit
\item[1)] \emph{(Facultative)}
Quelle est l'aire du carr� $MNPQ$ si $x=5$ cm ?
si $x=12$ cm ?
\item[2)] Exprimer l'aire $A(x)$ de $MNPQ$ en fonction de $x$.
Dresser le tableau de variation de $A(x)$ et conclure.
\enit
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,2)(3.5,3.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\pspolygon(1,0)(3,1)(2,3)(0,2)
\rput(-0.2,3.2){$A$}
\rput(3.2,3.2){$B$}
\rput(3.2,-0.2){$C$}
\rput(-0.2,-0.2){$D$}
\rput(2,3.2){$M$}
\rput(3.2,1){$N$}
\rput(1,-0.2){$P$}
\rput(-0.2,2){$Q$}
\rput(2.5,3.15){$x$}
\rput(3.15,0.5){$x$}
\rput(0.5,-0.15){$x$}
\rput(-0.15,2.5){$x$}
\end{pspicture}
\enmp
\sectionc{Fonctions cosinus et sinus}
\bgdef{Dans un rep�re othonormal $(O;I;J)$, un cercle $\mathcal{C}$
de centre $O$ et de rayon $1$ s'appelle un \ulb{cercle
trigonom�trique}.
}
\bgmp[b]{3cm}
\epsx=3cm\epsy=3cm
\epsfbox{./FIG/CercleTrigo_Simple.eps}
\enmp
\bgmp[b]{10cm}
Soit M un point de $\mathcal{C}$, avec $x=\widehat{IOM}$. \\
La longueur de l'arc IM est, en fonction de $x$:
\[\bgar{clc}
x &\longrightarrow &? \\
360 &\longrightarrow &2\pi \\
\enar
\]
Donc, la longueur de l'arc IM est
$\dsp x\tm \frac{2\pi}{360}=\frac{\pi}{180}$.
\enmp
\bgdef{Pour un point M du cercle trigonom�trique, on appelle angle
en radian la longueur de l'arc IM.
Si $x=\widehat{IOM}$ est la mesure de cet angle en degr�, alors la
mesure en radian est $\dsp x\tm\frac{\pi}{180}$.
}
\vspd
\ct{\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
angle en degr� &0&30&45&60&90&180&360\\\hline
angle en radian
&0&$\frac{\pi}{6}$&$\frac{\pi}{4}$&$\frac{\pi}{3}$
&$\frac{\pi}{2}$&$\pi$&$2\pi$\\\hline
\end{tabular}}
\bgdef{On dit qu'une fonction est p�riodique de p�riode $T$ si pour
tout $x$ on a: $f(x+T)=f(x)$.
}
\bgprop{ Les fonctions sinus et cosinus sont p�riodiques de p�riode
$2\pi$.
Pour tout $x$, $\cos(-x)=\cos x$: la fonction cosinus est paire.
Pour tout $x$, $\sin(-x)=-\sin x$: la fonction sinus est impaire.
}
\bgprop{Pour tout nombre $x$:
\bgit
\item[$\bullet$] $\cos^2 x+\sin^2 x =1 $
\item[$\bullet$] $-1\leq \cos x\leq 1$ et $-1\leq \sin x\leq 1$
\enit
}
\vspt
\ul{Valeurs remarquables:}
\begin{tabular}{|*7{c|}}\hline
x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ &
$\frac{\pi}{2}$ & $\pi$\\\hline
$\cos x$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ &
$\frac{1}{2}$ & 0 & -1 \\\hline
$\sin x$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ &
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0 \\\hline
\end{tabular}
\end{document}
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