Source Latex: Cours de mathématiques, Fonctions usuelles

Seconde

Fonctions usuelles

Cours de mathématiques en 2nde sur les fonctions de référence (ou usuelles): fonction carré, fonction cube, fonction inverse
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en 2nde sur les fonctions de référence (ou usuelles): fonction carré, fonction cube, fonction inverse
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Étude de fonctions
  • Fonctions affines
  • Fontion inverse
  • Fonction racine carrée
  • Fonction carré
  • Fonction du second degré
  • Fonctions cosinus et sinus
Mots clé
fonctions de référence, fonctions usuelles fonction carré, fonction cube, fonction inverse, cours de mathématiques
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours math�matiques: fonctions de r�f�rence},
    pdftitle={Fonctions de r�f�rence},
    pdfkeywords={Math�matiques, seconde, 2nde, fonctions, 
      fonctions de r�f�rence, fonctions usuelles, 
      affine, inverse, carr�, racine carr�e, second degr�
    }
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    anchorcolor = red,
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}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\newcommand{\ct}{\centerline}
\newcommand{\ctbf}[1]{\ct{\bf #1}}

\renewcommand{\no}{\noindent}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

%  The environment centerpage centers text vertically on the page.  This is
%  useful within a titlepage environment.

%\newenvironment{centerpage}{\mbox{} \protect\vspace*{\fill}}{
%	\protect\vspace*{\fill} \mbox{} \protect\\ \mbox{}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}


%\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
\newenvironment{theoreme}{\paragraph{Th�or�me:} \it}{}
\nwc{\bgth}{\begin{theoreme}}\nwc{\enth}{\end{theoreme}}

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\newenvironment{Notation}{\paragraph{\ulg{Notation:}} \it}{}
\nwc{\bgnot}{\begin{Notation}}\nwc{\enot}{\end{Notation}}

%\newtheorem{lemme}{Lemme} % si on les veut num�rot�s
\newenvironment{lemme}{\paragraph{Lemme:} \it}{}
\nwc{\bglem}{\begin{lemme}}\nwc{\enlem}{\end{lemme}}

%\newtheorem{prop}{Propri\'et\'e}
%\newenvironment{prop}{\paragraph{Propri�t�:} \it}{}
%\nwc{\bgprop}{\begin{prop}}\nwc{\enprop}{\end{prop}}

\newtheorem{corol}{Corollaire}

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\nwc{\ulr}[1]{\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{#1}}}}
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\newenvironment{definitioncolor}{\paragraph{\ulb{D�finition:}} \it}{}
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\newenvironment{propcolor}{\paragraph{\ulr{Propri�t�:}} \it}{}
\nwc{\bgpropc}{\begin{propcolor}}
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\newlength{\colt}

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\nwc{\deftitle}{D�finition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ulb{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Propri�t�}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ulb{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\cold-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\V}{\overrightarrow}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


%\vspace*{-2cm}
%\begin{centerpage}
%\setlength{\extrarowheight}{8pt}

\ct{\raisebox{0.cm}[0.9cm]{\bf \huge{Fonctions de r�f�rence}}}  

%\tableofcontents

  \sectionc{Etude de fonctions}

  %{\it {\bf Activit�}: ``A propos des fonctions''} 

  \bgdef{Etudier une fonction $f$, c'est: 
    \bgit
      \item d�terminer son ensemble de d�finition $\mathcal{D}_f$
      \item d�terminer son sens de variation
      \item tracer sa courbe repr�sentative $\mathcal{C}_f$, en
	exploitant son tableau de variation, et � l'aide d'un tableau
	de valeurs.
    \enit
  }


  \sectionc{Fonctions affines}

  \noindent
  \ul{Rappel:} Une fonction affine est une fonction d�finie sur $\R$
  qui admet une expression de la forme $f(x)=ax+b$. 

  \vspt\noindent
  \ul{Ex:}\ \ \ul{Etude de  $f(x)=2x+1$ }

  \vspd
  \bgit
    \item Ensemble de d�finition: $\mathcal{D}_f=\R$
    \item Sens de variation: Soient $x_1$ et $x_2$ deux r�els tels que
      $x_1<x_2$, alors $2x_1+1<2x_2+1$, d'o� $f(x_1)<f(x_2)$. 
      On en d�duit que $f$ est croissante sur $\R$. 
    \item La courbe repr�sentative de $f$ est la droite d'�quation
      $y=2x+1$. 
  \enit

  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} Etude de $g(x)=-3x+6$. 

  \bgprop{Soit $f$ une fonction affine d�finie par l'expression 
    $f(x)=ax+b$. 
    Alors, si $a>0$, $f$ est strictement croissante sur $\R$; tandis
    que si $a<0$, $f$ est strictement d�croissante sur $\R$.
  }

  \vspd
  \hspace{3cm}
  \bgmp{3.8cm}
  \ct{\ul{$a<0$}}\vspd

  \begin{tabular}{|c|lcr|}\hline
    $x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\\hline
    &&&\\
    $f$ & & \psline{->}(-0.8,0.5)(1,-.5) & \\
    &&&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp
  \rule[-1.2cm]{0.8pt}{2.4cm}
  \hspace{0.5cm}
  \bgmp{3.5cm}
  \ct{\ul{$a>0$}}\vspd

  \begin{tabular}{|c|lcr|}\hline
    $x$ & $-\infty$ & & $+\infty$ \\\hline
    &&&\\
    $f$ & & \psline{->}(-0.8,-0.5)(1,.5) & \\
    &&&\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp

  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} Etudier le sens de variation sur $\R$ de la fonction
  d�finie par $f(x)=3x+2$, puis tracer sa courbe repr�sentative. 

  \vsp
  R�soudre graphiquement, puis par le calcul, l'in�quation 
  $f(x)\leqslant 4$.

\sectionc{Fonction inverse}

  \bgdef{La fonction inverse est la fonction d�finie sur $\R^*$ par
    $\dsp f(x)=\frac{1}{x}$.
  }
  
  \bgprop{La fonction inverse est d�croissante sur $]-\infty;0[$ et
    sur $]0;+\infty[$. 
    Sa repr�sentation graphique est une courbe $\mathcal{H}$ appel�e
    hyperbole.
  }

  \vspq\vsp
  \ul{D�monstration:}\vspace{-1.cm}
  
  \bgmp{13cm}
  Sens de variation: Soient $x_1$ et $x_2$ deux r�els n�gatifs tels
  que $x_1<x_2<0$ ...
  
  \setlength{\unitlength}{1cm}
  \ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
    x & $-\infty$ \ \ \ \ \ \ &0\ \ \ \ \ \ \ &$+\infty$ \ \ \ \ \\\hline
    $f$
    & \put(.6,.4){\vector(1,-1){.6}} 
    & \put(.25,-.2){\line(0,1){.7}} \put(.35,-.2){\line(0,1){.7}}
    \put(1.,.4){\vector(1,-1){.6}} 
    & 
    \\\hline
  \end{tabular}}
  
  \vspd
  Courbe repr�sentative: Tableau de valeurs: 
  \begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
    x & 0,25&0,5&1&2&4\\\hline
    $f(x)$&4&2&1&0,5&0,25\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp\hspace{-0.5cm}
  \bgmp{6cm}
  \ct{\epsx=6cm\epsy=5cm
    \epsfbox{./FIG/Hyperbole.eps}}
  \enmp

  \bgprop{Pour tout nombre r�el $x$, 
    $\dsp f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$: 
    La fonction inverse est \ul{impaire}: sa courbe repr�sentative admet
    l'origine du rep�re comme centre de sym�trie.
  }


  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} 
  R�soudre l'�quation $\dfrac{1}{x}\leqslant 2$ 
  en s'aidant de la courbe repr�sentative de la fonction 
  inverse. 
  
  \vspd
  R�soudre de m�me l'�quation $\dfrac{1}{x}\geqslant 6$.


  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} 
  Donner un encadrement de $\dsp\frac{1}{x}$ lorsque: 
  \hspace{0.3cm} 
  a)\ \ $x\in[1;2]$
  \hspace{0.6cm}
  b)\ \ $x\in]0;3[$
  \hspace{0.6cm}
  c)\ \ $x\in[-4;-1]$
  \hspace{0.6cm}
  d)\ \ $x\in]-1;1[$


\sectionc{Fonction racine carr�e}

\subsectionc{Rappels: r�gles de calcul sur les racines carr�es}

\bgprop{
  Soit $a$ et $b$ deux nombres \ul{positifs}, alors, 
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
    \vspd
  \item[$\bullet$] $\dsp\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
    \vspd
  \item[$\bullet$] Si $0<a<b$, alors $0<\sqrt{a}<\sqrt{b}$
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Mais}, comme pour les identit�s remarquables, 
$\sqrt{a+b}\not=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 
et 
$\sqrt{a-b}\not=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 


\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
$\bullet$ 
Soit $X=\sqrt{24}-\sqrt{6}$. 
Calculer $X^2$, puis en d�duire la valeur de $X$. 

\vspd
$\bullet$ 
Soit $X=\sqrt{50}-\sqrt{8}$. 
Calculer $X^2$, puis en d�duire la valeur de $X$. 


\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
Soit $X=\sqrt{10-\sqrt{84}}+\sqrt{10+\sqrt{84}}$. \vsp

$\bullet$ Calculer $X$ � la calculatrice. \vsp

$\bullet$ D�velopper $X^2$, puis en d�duire $X$, et retrouver le
r�sultat pr�c�dent. 

\vspd
$\bullet$ M�mes questions avec $Y=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$ 
et $Z=\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{15+\sqrt{216}}$.

\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
Ecrire les fractions sans radical au d�nominateur: 
$\dsp A=\frac{2}{\sqrt{8}}$, 
$\dsp B=\frac{3}{2+\sqrt{5}}$, 
$\dsp C=\frac{-2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$, 
$\dsp D=\frac{3-\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}$


\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
R�soudre les syst�mes: \vspd

$\la\bgar{rrrcl}
\sqrt{3}\,x &-& y &=& 0 \\
2\,x &+& \sqrt{3}\,y &=& 5
\enar\right.$
\hspace{1cm}
$\la\bgar{rrrcl}
3\sqrt{2}\,x &+& \sqrt{8}y &=& 2 \\
\sqrt{8}\,x &-& \sqrt{2}\,y &=& -8
\enar\right.$



\subsectionc{Fonction racine carr�e}

  \bgdef{La fonction racine carr�e est la fonction d�finie sur
    $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$. 
  }
  

D'apr�s la propri�t� pr�c�dente, si $0<a<b$, alors
$0<\sqrt{a}<\sqrt{b}$, soit aussi, 
$0<f(a)<f(b)$. 
On en d�duit la propri�t�:


      \vspace{-1.5cm}

  \bgprop{La fonction racine carr�e est strictement croissante sur 
    $[0;+\infty[$.
  }
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(5,1)(9,3)
    \psline{->}(0,0)(4,0)
    \psline{->}(0,0)(0,2)
    %\psplot{0}{4}{x 0.5 exp} % ou aussi : 
    \psplot{0}{3.5}{x sqrt}
  \end{pspicture}
  

\sectionc{Fonction carr�}

  \bgdef{La fonction carr� est la fonction d�finie sur $\R$ par
    $f(x)=x^2$. 
  }
  
  \bgprop{La fonction carr� est d�croissante sur $\R^-$, et
    croissante sur $\R^+$. 
    Sa repr�sentation graphique dans un rep�re orthonorm� est une
    courbe $\mathcal{P}$ appel�e parabole.
  }

  \ul{D�monstration:} 
  
  \bgmp{12cm}
  Sens de variation: 
  Soient $a$ et $b$ deux r�els n�gatifs tels que $a<b\leq 0$, 
  alors $a^2>b^2$, soit aussi $f(a)>f(b)$ : 
  la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;0]$.
  

  \setlength{\unitlength}{1cm}
  \ct{\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
    x & $-\infty$ \ \ \ \ \ \ &0\ \ \ \ \ \ \ &$+\infty$ \ \ \ \ \\\hline
    $f$
    & \put(.6,.4){\vector(1,-1){.6}} 
    & \put(.2,-.2){$0$}
    \put(1.,-.2){\vector(1,1){.6}} 
    & 
    \\\hline
  \end{tabular}}

  \vspd
  Courbe repr�sentative: Tableau de valeurs: 
  \begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
    x & -2&-1&0&1&2\\\hline
    $f(x)$&4&1&0&1&4\\\hline
  \end{tabular}
  \enmp
  \bgmp{6cm}
  \ct{\epsx=6cm\epsy=3cm
    \epsfbox{./FIG/Parabole.eps}}
  \enmp

  \bgprop{Pour tout nombre r�el $x$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$: 
    La fonction carr� est \ul{paire}: sa courbe repr�sentative admet
    l'axe des ordonn�es comme axe de sym�trie.
  }


  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} Tracer la courbe repr�sentative la fonction carr�, et
  r�soudre, en s'aidant de cette courbe, les �quations: 
  
  \vsp
  \hspace{2cm}
  a) $x^2\leqslant 9$ \hspace{3cm}
  b) $x^2\leqslant 5$ \hspace{3cm}
  c) $x^2\geqslant 8$


  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} 
  Donner un encadrement de $a^2$ lorsque: 
  \hspace{0.5cm}
  1)\ \ $\dsp a\in \Big[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\Big]$
  \hspace{1cm}
  2)\ \ $\dsp a\in[-2;-1]$
  \hspace{1cm}
  3)\ \ $a\in[-1;2]$


\sectionc{Fonction du second degr�}

  \bgdef{
    Un fonction du second degr� est une fonction d�finie sur $\R$ par
    une expression de la forme: \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$}, o� $a\not=0$, $b$ et $c$
    sont trois nombres r�els quelconques. 
  }

  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} 
  \bgit
  \item[$\bullet$] $f(x)=2x^2-5x+2$ est une fonction du second degr�, 
    avec $a=2$, $b=-5$ et $c=2$.
  \item[$\bullet$] $f(x)=-3x^2+x-7$ est une fonction du second degr�, 
    avec $a=-3$, $b=1$ et $c=-7$.
  \item[$\bullet$] $f(x)=-x^2-\frac{3}{2}$ est une fonction du second degr�, 
    avec $a=-1$, $b=0$ et $c=-\frac{3}{2}$.
  \enit

  \vspd\noindent
  \ul{Ex:} 
  \bgit
  \item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $f$ d�finie par
    $f(x)=x^2-2x+3$.  
    
    Montrer que pour tout $x$ r�el, $f(x)=(x-1)^2+2$. 
    En d�duire le sens de variation et le minimum de $f$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $g$ d�finie par
    $g(x)=x^2+6x-8$.  
    
    Montrer que pour tout $x$ r�el, $g(x)=(x+3)^2-17$. 
    En d�duire le sens de variation et le minimum de $g$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $h$ d�finie par
    $h(x)=2x^2+12x+10$.  
    
    Montrer que pour tout $x$ r�el, $h(x)=2(x+3)^2-8$. 
    En d�duire le sens de variation et le minimum de $h$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $k$ d�finie par 
    $k(x)=-2x^2-12x-9$. 
    
    Trouver trois nombres r�els $a$, $b$, et $c$ tels que, pour tout
    $x$, 
    $k(x)=a(x+b)^2+c$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] Soit la fonction du second degr� $l$ d�finie par 
    $l(x)=-2x^2-12x-9$. 
    
    Trouver trois nombres r�els $a$, $b$, et $c$ tels que, pour tout
    $x$, 
    $l(x)=a(x+b)^2+c$. 
  \enit


  \bgprop{Soit $f$ une fonction du second degr� d�finie par
    l'expression $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\not=0$, $b$ et $c$ trois nombres
    r�els quelconques, alors, 
    pour tout nombre r�el $x$, 
    $\dsp f(x)=a\lp x+\frac{b}{2a}\rp^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}$, et donc, 

    \bgmp{5.5cm}
    \ct{\ul{$a>0$}}\vspd

    \begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
      $x$ & $-\infty$ & & $\dsp\frac{-b}{2a}$ & & $+\infty$\\\hline
      &&&&&\\
      $f$ & & \psline{->}(-.8,.5)(.5,-.5)&&  \psline{->}(-.5,-.5)(.8,.5) & \\
      &&&&&\\\hline
      \end{tabular}
    \enmp
    \rule[-1.5cm]{0.8pt}{3cm}
    \hspace{0.5cm}
    \bgmp{5.5cm}
    \ct{\ul{$a<0$}}\vspd

    \begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
      $x$ & $-\infty$ & & $\dsp\frac{-b}{2a}$ & & $+\infty$\\\hline
      &&&&&\\
      $f$ & & \psline{->}(-.8,-.5)(.5,.5)&&  \psline{->}(-.5,.5)(.8,-.5) & \\
      &&&&&\\\hline
      \end{tabular}
    \enmp
  }

  \vspd\noindent\ul{Ex:} Tracer les courbes repr�sentatives des fonctions
  $f$ et $g$ d�finies par : 
  $f(x)=4x^2+16x-6$ et $g(x)=-2x^2+8x-6$.
  
  D�terminer, graphiquement puis par le calcul, les coordonn�es des
  points d'intersection des deux courbes.

  \vspd\noindent\ul{Ex:} 
  Soit la fonction $f$ d�finie par l'expression 
  $f(x)=ax^2+bx+2$, o� $a$ et $b$ sont des nombres r�els �
  d�terminer, 
  et soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative. 

  \vsp
  On sait de plus que les points $A(1;-1)$ et $B(4;2)$ appartiennent � 
  $\mathcal{C}_f$. 

  \bgit
  \item[a)] D�terminer $a$ et $b$, et l'expression de $f$. 
  \item[b)] Dresser le tableau de variation de $f$ et en d�duire son
    minimum. 
  \item[c)] Tracer $\mathcal{C}_f$.
  \enit

  \vspd\noindent\ul{Ex:} 
  Chaque jour une entreprise fabrique un nombre $x$ d'objets, compris
  entre $0$ et $50$. 

  \vsp
  Le co�t de production des objets est donn�e, en euros, par 
  $C(x)=60-0,3x$, 
  tandis que le revenu de la vente de ces $x$ objets est, en euros, 
  $R(x)=20,1x-0,3x^2$. 

  \vsp
  a) Exprimer le b�n�fice $B(x)$ en fonction de $x$. 

  b) Quel est le b�n�fice maximal que esp�rer l'entreprise ?

  \vspd\noindent\ul{Ex:} 
  \bgmp[t]{13cm}
  Dans un carr� $ABCD$ de c�t� 20 cm, on inscrit un carr� $MNPQ$ tel
  que 

  $x=MB=NC=PD=QA$. 

  On cherche la valeur de $x$ pour que le carr� $MNPQ$ ait une aire
  minimale. 

  \bgit
  \item[1)] \emph{(Facultative)} 
    Quelle est l'aire du carr� $MNPQ$ si $x=5$ cm ? 
    si $x=12$ cm ? 

  \item[2)] Exprimer l'aire $A(x)$ de $MNPQ$ en fonction de $x$. 

    Dresser le tableau de variation de $A(x)$ et conclure.
  \enit
  \enmp
  \bgmp[m]{5cm}
  \begin{pspicture}(-0.5,2)(3.5,3.5)
    \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
    \pspolygon(1,0)(3,1)(2,3)(0,2)
    \rput(-0.2,3.2){$A$}
    \rput(3.2,3.2){$B$}
    \rput(3.2,-0.2){$C$}
    \rput(-0.2,-0.2){$D$}
    \rput(2,3.2){$M$}
    \rput(3.2,1){$N$}
    \rput(1,-0.2){$P$}
    \rput(-0.2,2){$Q$}
    \rput(2.5,3.15){$x$}
    \rput(3.15,0.5){$x$}
    \rput(0.5,-0.15){$x$}
    \rput(-0.15,2.5){$x$}
  \end{pspicture}
  \enmp



\sectionc{Fonctions cosinus et sinus}

  \bgdef{Dans un rep�re othonormal $(O;I;J)$, un cercle $\mathcal{C}$
  de centre $O$ et de rayon $1$ s'appelle un \ulb{cercle
  trigonom�trique}. 
  }

  \bgmp[b]{3cm}
  \epsx=3cm\epsy=3cm
  \epsfbox{./FIG/CercleTrigo_Simple.eps}
  \enmp
  \bgmp[b]{10cm}
  Soit M un point de $\mathcal{C}$, avec $x=\widehat{IOM}$. \\
  La longueur de l'arc IM est, en fonction de $x$: 
  \[\bgar{clc}
    x   &\longrightarrow &? \\
    360 &\longrightarrow &2\pi \\
  \enar
  \]
  Donc, la longueur de l'arc IM est 
  $\dsp x\tm \frac{2\pi}{360}=\frac{\pi}{180}$. 
  \enmp

  \bgdef{Pour un point M du cercle trigonom�trique, on appelle angle
    en radian la longueur de l'arc IM. 
    Si $x=\widehat{IOM}$ est la mesure de cet angle en degr�, alors la
    mesure en radian est $\dsp x\tm\frac{\pi}{180}$. 
  }

  \vspd
  \ct{\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
    angle en degr� &0&30&45&60&90&180&360\\\hline
    angle en radian
    &0&$\frac{\pi}{6}$&$\frac{\pi}{4}$&$\frac{\pi}{3}$
    &$\frac{\pi}{2}$&$\pi$&$2\pi$\\\hline
  \end{tabular}}

  


  \bgdef{On dit qu'une fonction est p�riodique de p�riode $T$ si pour
    tout $x$ on a: $f(x+T)=f(x)$. 
  }

  \bgprop{ Les fonctions sinus et cosinus sont p�riodiques de p�riode
    $2\pi$. 

    Pour tout $x$, $\cos(-x)=\cos x$: la fonction cosinus est paire.
    
    Pour tout $x$, $\sin(-x)=-\sin x$: la fonction sinus est impaire. 
  }

  \bgprop{Pour tout nombre $x$:
    \bgit
      \item[$\bullet$] $\cos^2 x+\sin^2 x =1 $
      \item[$\bullet$] $-1\leq \cos x\leq 1$ et $-1\leq \sin x\leq 1$
    \enit
  }

  \vspt
  \ul{Valeurs remarquables:} 
  \begin{tabular}{|*7{c|}}\hline
    x & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ &
    $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$\\\hline
    $\cos x$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ &
    $\frac{1}{2}$ & 0 & -1 \\\hline
    $\sin x$ &  0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ &
    $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0 \\\hline
  \end{tabular}




\end{document}

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