Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Nombres complexes

Première STI2D

Nombres complexes

Devoir corrigé de maths en 1ère STI2D sur les nombres complexes: écriture algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe, parties réelles et imaginaires.
Plan complexe: placer des points sur un graphique et calculs de modules de nombres complexes
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de mathématiques en 1èreSTI2D et son corrigé: nombres complexes
Niveau
Première STI2D
Mots clé
nombres complexes, écriture algébrique, écriture trigonométrique, géométrie dans le plan complexe, devoir corrigé de mathématiques, maths

Sujet du devoir

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Source Latex 

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de math�matiques: nombres complexes},
    pdftitle={Corrig� du devoir de math�matiques: nombres complexes},
    pdfkeywords={d�riv�e, nombre d�riv�, tangente, sens de variation, 
      �tude de fonction, STI2D, 
      STI, premi�re, Math�matiques}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}		% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}		% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.5cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.cm

\usepackage{ifthen}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{xymaths.free.fr/Lycee/1STI/Mathematiques-1STI.php}{xymths - 1�re STI2D}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrig� du devoir de math�matiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\ct{\bf\LARGE{Corrig� du devoir de math\'ematiques}}
\vspq

\bgex
Soit $z=2-3i$, alors: 
$\Re e(z)=2\quad;\ 
\Im m(z)=-3\quad;\ 
|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}
$.
\enex

\bgex
\[
z_1
=\dfrac{2+i}{3-2i}
=\dfrac{(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}
=\dfrac{4+7i}{13}
=\dfrac{4}{13}+i\dfrac{7}{13}
\]
\[ 
z_2
=\dfrac{-2+3i}{-1+i}
=\dfrac{(-2+3i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}
=\dfrac{5-i}{2}
=\dfrac52-i\dfrac12
\]
\enex

\bgex
Calculer le module des nombres complexes suivants: 
\[
|z_1|=\left|\dfrac12+2i\right|
=\sqrt{\lp\dfrac12\rp^2+2^2}
=\sqrt{\dfrac14+4}
=\sqrt{\dfrac{17}{4}}
=\dfrac{\sqrt{17}}{2}
\]

\[
|z_2|=|i(1-i)|=|i|\tm|1-i|=1\tm\sqrt{2}=\sqrt{2}
\quad;\quad
|z_3|=\left|\dfrac{1+i}{-3-4i}\right|
=\dfrac{|1+i|}{|-3-4i|}
=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}}
=\dfrac{\sqrt{2}}{5}
\]
\enex

\bgex

\bgen
\item $A$, $B$ et $C$  sont les points d'affixes respectives 
$z_A=1-i$, $z_B=-2+i$ et $z_C=3+2i$. 
  \[
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-5,-4.5)(5,4.2)
    \psline[linewidth=0.8pt](-5.5,0)(5.5,0)
    \psline[linewidth=0.8pt](0,-4.4)(0,4.4)
    \rput(-0.25,-0.25){$O$}
    \psline[linewidth=1.5pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(1,0)
    \rput(0.5,-0.25){$\vec{u}$}
    \rput(-0.25,0.5){$\vec{v}$}
    \psline[linewidth=1.5pt,arrowsize=7pt]{->}(0,0)(0,1)
    \multido{\i=-5+1}{11}{
      \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-4.2)(\i,4.2)
    }
    \multido{\i=-4+1}{9}{
      \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5.2,\i)(5.2,\i)
    }
    %
    \rput[c](1,-1){\bf\large$\tm$}\rput(1.25,-1.25){$A$}
    \rput[c](-2,1){\bf\large$\tm$}\rput(-2.25,1.25){$B$}
    \rput[c](3,2){\bf\large$\tm$}\rput(3.25,2.25){$C$}
    \rput[c](-0.5,0){\bf\large$\tm$}\rput(-0.75,0.25){$I$}
    % et la m�diatrice
    \psplot{-3.2}{2.2}{3 2 div  x mul 3 4 div add}
    \rput[r](1.8,3.6){$\mathcal{E}$}
  \end{pspicture}
  \]

\item
  $AB=|z_B-z_A|=|-2+i-(1-i)|=|-3+2i|=\sqrt{13}$

  $BC=|z_C-z_B|=|3+2i-(-2+i)|=|5+i|=\sqrt{26}$

\item Soit $D(z_D)$, alors $ABCD$ est un parall�logramme si et
  seulement si 
  \[\bgar{ll}
  \V{AB}=\V{DC}
  &\iff
  z_{\V{AB}}=z_{\V{DC}}
  \iff
  z_B-z_A=z_C-z_D \\[0.3cm]
  &\iff
  z_D
  =z_C-z_B+z_A=3+2i-(-2+i)+1-i
  =6-2i
  \enar\]

\item L'affixe $z_I$ du milieu $I$ de $[AB]$ est 
  $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}=-\dfrac12$.

\item On a: $|z-1+i|=|z+2-i|\iff |z-z_A|=|z-z_B| \iff AM=BM$. 

  L'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ recherch�s est donc la m�diatrice de 
  $[AB]$. 
\enen
\enex

%\bgex
%Ecrire sous forme trigonom�trique le nombre complexe 
%$z=1-i\sqrt{3}$.
%\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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