Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\nwc{\Ga}{\Gamma}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2cm}
$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$STI\hspace{4cm}
{\Large Devoir Surveill�}
%\hfill 1/10/2008
\vspace{1cm}
\bgex
Ecrire sous forme alg�brique les nombres complexes:
\[z_1=\frac{1}{2+3i}\ , \ z_2=\frac{1-i}{2+3i} \ , \
z_3=[3;\frac{\pi}{4}]
\]
\enex
\vspd
\bgex
On d�signe par $i$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument
$\dsp \frac{\pi}{2}$.
Soit $z=2+2i\sqrt{3}$.
On d�finit alors les nombres complexes:
\[ z_1=\overline{z} \ , \ z_2=\frac{16}{z} \ ,\ z_3=\frac{1}{4}\,z^2
\]
\bgit
\item[1)] Ecire sous forme alg�brique les nombres complexes $z_1$,
$z_2$ et $z_3$.
\vspd
\item[2)] D�terminer le module et un argument de $z$, $z_1$, $z_2$ et
$z_3$;
\vspd
\item[3)] Dans le plan muni d'un rep�re orthonormal
$(O;\vec{u},\vec{v})$, on consid�re les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixes respectives $z$, $z_1$, $z_2$ et $z_3$.
\bgit
\item[a.] Calculer les distances $AB$, $AD$ et $BD$.
\vsp
Quelle est la nature du triangle $ABD$ ?
\vspd
\item[b.]
Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$, et retrouver alors le
r�sultat de la question pr�c�dente.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
Le plan complexe est rapport� � un rep�re orthonormal
$(O,\vec{i},\vec{j})$ d'unit� graphique 1~cm.
On consid�re les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives
$z_A=\sqrt{3}+3i$, $z_B=2\sqrt{3}$ et $z_C=2i$.
\vspd
\bgit
\item[1)] Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.
\vspd
\item[2)] D�terminer le module et un argument du nombre complexe
$z_A$.
\vspd
\item[3)]
\bgit
\item[a.] Calculer les modules des nombres complexes $z_A-z_C$,
$z_B-z_A$ et $z_B-z_C$.
\vsp
En d�duire la nature du triangle $ABC$
\vspd
\item[b.] D�terminer l'affixe du centre $K$ du cercle $(\Ga)$
circonscrit au triangle $ABC$; pr�ciser le rayon $r$ de ce
cercle.
\vsp
\item[c.] Montrer que le point $O$ appartient au cercle $(\Ga)$.
\enit
\vspd
\enit
\enex
\end{document}
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