Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Produit scalaire et trigonométrie

Première STI2D

Produit scalaire et trigonométrie

Devoir de mathématiques en 1ère STI2D sur le produit scalaire de vecteurs et la trigonométrie.
Calcul d'angle grâce au produit scalaire.
Résoudre une équation trigonométrique et étude de fonctions périodiques.
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de maths en 1ère STI2D: produit scalaire et trigonométrie
Niveau
Première STI2D
Mots clé
produit scalaire, vecteurs, géométrie, coordonnées, trigonométrie, fonctions trigonométriques, devoir corrigé de mathématiques, maths

Sujet du devoir

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Source Latex 

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: produit scalaire et trigonométrie},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: produit scalaire et trigonométrie},
    pdfkeywords={trigoométrie, produit scalaire, géométrie, vecteurs, STI2D, 
      STI, première, Mathématiques}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/Mathematiques-1STI.php}{xymaths - 1ère  STI2D}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - 1STI2D - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
On a $\V{AB}\lp -14;26\rp$;\ $\V{AC}\lp 16;-5\rp$, 
$\|\V{AB}\|=AB=\sqrt{\lp-14\rp^2+26^2}\simeq 29,53$, 

et 
$\|\V{AC}\|=AC=\sqrt{16^2+\lp-5\rp^2}=16,76$

et donc, $\V{AB}\cdot\V{AC}=-14\tm16+26\tm(-5)=-354$

\medskip
On a aussi, 
  $\V{AB}\cdot\V{AC}
  =AB\tm AC\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
  \simeq 19,53\tm16,76\tm\cos\lp\widehat{BAC}\rp
  \simeq 494,92\cos\lp\widehat{BAC}\rp
  $. 

  On en d\'eduit que 
  $\cos\lp\widehat{BAC}\rp\simeq \dfrac{-354}{494,92}$, 
  soit $\lp\widehat{BAC}\rp\simeq 135,7^\circ$
\enex


\bgex
$\cos x =\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}
\iff
\la\bgar{ll}
x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\[0.3cm]
x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi
\enar\right.
\quad,\quad k\in\Z
$.
    
Dans l'intervalle $[0;2\pi[$ les solutions sont donc, 
    $\mathcal{S}=\la \dfrac{\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\ra$.
\enex


\bgex

\bgmp{9cm}
Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$, 
p\'eriodique de p\'eriode $T=2$, d\'efinie par 
\[f(t)=\la\bgar{ll}
-t+1 & \text{ si } 0\leqslant t < 1 \\
t-1 & \text{ si } 1\leqslant t \leqslant 2
\enar\right.\]
\enmp
\bgmp{8cm}
\[\begin{pspicture}(-4.5,-0.5)(4.5,2)
  \psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
  \psline{->}(-4.4,0)(4.4,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,2.2)
  %
  \multido{\i=-4+1}{9}{
    \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-0.5)(\i,1.5)
    \rput(\i,-0.3){\i}
  }
  \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-4.3,1)(4.3,1)
  \rput(-0.15,1.15){1}
  %
  \psline[linewidth=1.5pt]
  (-4,1)(-3,0)(-2,1)(-1,0)
  (0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)
\end{pspicture}\]
\enmp

\enex


\bgex

\begin{pspicture}(-8,-2.5)(4,2.7)
  \psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(-6.4,0)(6.6,0)\rput(6.7,-0.1){$t$}
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-2.4)(0,2.7)
  \multido{\i=-6+1}{13}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-2.2)(\i,2.2)
  }
  \multido{\i=-2+1}{5}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-6.2,\i)(6.2,\i)
  }
  \rput(-6.25,-0.3){-$\frac{3\pi}{4}$}
  \rput(-3.8,-0.25){-$\frac{\pi}{2}$}
  \rput(-2.15,-0.25){-$\frac{\pi}{4}$}
  \rput(-0.15,-0.25){$0$}
  \rput(1.85,-0.25){$\frac{\pi}{4}$}
  \rput(4.15,-0.25){$\frac{\pi}{2}$}
  \rput(5.85,-0.3){$\frac{3\pi}{4}$}
  %
  \rput(-0.15,1.1){$1$}
  \rput(-0.15,2.1){$2$}
  \rput(-0.15,-1.15){-$1$}
  \rput(-0.15,-2.15){-$2$}
  %
  \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.5pt]{-6.2}{6.2}
         {x 180 mul 0.5 mul sin 2 mul}
         %
  \psline[linewidth=1.6pt]{<->}(0,-2.6)(4,-2.6)\rput(2,-2.4){$T=\frac{\pi}{2}$}
\end{pspicture}

\bgen
\item Graphiquement, on trouve $T=\dfrac{\pi}{2}$. 
\item $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}
  =2\pi\tm\dfrac{2}{\pi}=4$. 

\item 
  Par exemple, en $t=\dfrac{\pi}{8}$, on a graphiquement 
  $f(t)=f\lp\dfrac{\pi}{8}\rp
  =2$. 

  Or $f(t)=a\sin(\omega t)=a\sin(4t)$, et donc 
  $f\lp\dfrac{\pi}{8}\rp=a\sin\lp 4\dfrac{\pi}{8}\rp=
  a\sin\lp \dfrac{\pi}{2}\rp=a$. 

  On en d\'eduit donc que $a=2$. 

  \vspd
  On peut aussi d\'eterminer le coefficient $a$ graphiquement en
  observant que le maximum de $f$ est~$2$. 

  Or, $f(t)=a\sin(\omega t)$, et le maximum d'un sinus est $1$. 
  Ainsi, le maximum de $f$ est $a\tm1=2$, d'o\`u $a=2$. 

  \vspt
  L'expression compl\`ete de la fonction est donc 
  $f(t)=2\sin\lp 4t\rp$. 
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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