Source Latex: Exercices de mathématiques, Tableur: évolutions successives, régression linéaire

1STG

Tableur: évolutions successives, régression linéaire

Activité tableur: évolution d'un capital à intérêts et composés, évolutions successives de la population mondiale, régression linéaire (ajustement affine)
Fichier
Type: Exercices
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Description
Activité tableur: évolution d'un capital à intérêts et composés, évolutions successives de la population mondiale, régression linéaire (ajustement affine)
Niveau
1STG
Mots clé
tableur, évolutions successives, intérêts composés, intérêts simples, régression linéaire, ajustement affine, première technologique et gestion, STG

Quelques devoirs


    Voir aussi:

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    Source Latex 

    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
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\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
\nwc{\scz}[1]{\scriptsize#1}
\nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\Ga}{\Gamma}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

\nwc{\TITLE}{Tableur}



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\voffset=-0.5cm

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{}%Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - \ $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}STG$}


\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.6cm}

\hfill{\Large Tableur}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$\ STG
\vspace{0.6cm}

Chaque case, ou cellule, dans une feuille de calcul est rep�r�e par
son num�ro de ligne et sa lettre de colonne. 
On parlera ainsi ligne A, de la colonne D, de la case ou cellule A1,
de la case ou cellule C12 \dots


\bgex{\bf Evolution d'un capital � int�r�ts simples}

\vspace{-0.4cm}
\paragraph{1$^{{\mbox{\scz{�re}}}}$ m�thode}

On place sur un compte bancaire un capital initial
de 10\,000 euros � int�r�ts simples annuels de 3,5\,\%. 

Cela signifie que chaque ann�e le capital acquis est celui de l'ann�e
pr�c�dente, auquel s'ajoute les int�r�ts qui s'�l�ve � 3,5\,\% du
capital initialement d�pos�. 

\vspd
Entrer: 
\bgit
\item dans la cellule A1, l'intitul� ``Ann�e'', et dans la cellule B1
  l'intitul� ``Capital''. 
\item dans la cellule A2, le chiffre 1 (1$^{{\mbox{\scz{�re}}}}$
  ann�e), et dans la cellule B2 le nombre 10\,000 (capital initial).
\item dans la cellule A3, {\bf la formule de calcul} ``=A2+1'', et dans
  la cellule B3, la formule de calcul ``=B2+350''

  \ct{
    \epsx=8cm\epsy=2.5cm
    \epsfbox{./FIG/Tableur13.eps}
  }
  
\item S�lectionner les cellules A3 et B3, et ``tirer le coint
  inf�rieur droit'' de la s�lection vers le bas :
  %\epsx=3cm\epsy=1cm
  %\epsfbox{./FIG/Tableur11.eps}
 les formules entr�es en A3 et B3 sont ainsi recopi�es. 

  \vspd
  Que contient la cellule A6 ? la cellule B8 ?

  \vspd
  Au bout de combien d'ann�es le capital est-il doubl� ?
\enit

\paragraph{2$^{{\mbox{\scz{�me}}}}$ m�thode}

On veut cette fois pouvoir faire varier le taux d'int�r�ts. 

\bgit
\item Dans une nouvelle feuille de calcul, proc�der comme pr�cedemment
  pour les cinq cellules A1, A2, B1 et B2.
\item Dans la cellule D1, entrer l'intitul� ``taux d'int�r�t :'', et
  dans la cellule E1, le pourcentage 3,5\,\%; 
  entrer dans la cellule D2 l'intitul� ``int�r�ts annuels :'', et dans
  la cellule E2 la formule de calcul ``=E1*B2''.
\item Dans la cellule B3, entrer la formule de calcul :
  ``=B2*(1+D4)'', puis ``tirer'' comme pr�c�dem\-ment les cases A3 et B3
  vers le bas. 
  
  \vspd
  Quelle formule contiennent les cases B4, B5, et B10 ?
  Celle-ci est-elle exacte ?

  \vspd
\item Ceci peut-�tre rectifi� en utilisant un {\bf rep�rage absolu} de la
  cellule D4 : modifier la formule entr�e en B3 par :
  ``=B2*(1+D\$4)'', puis recopier cette formule dans les cellules en
  dessous. 

  \vspd
  Quelle formule contiennent maintenant les cellules B4, B5 et B10 ? 

  \vspd
  Quel taux faudrait-il appliquer pour que le capital soit doubl� en
  20 ans ?
\enit
\enex

\bgex{\bf Evolution d'un capital � int�r�ts compos�s}

On place maintenant un capital de 10\,000 euros � int�r�ts compos�s,
au taux annuel de 3,5\,\%.
Cela signifie que chaque ann�e le capital acquis est celui de l'ann�e
pr�c�dente, auqel s'ajoute les int�r�ts qui s'�l�vent � 3,5\,\% du
capital de l'ann�e pr�c�dente.


\vspd
En proc�dant comme pr�c�demment, d�terminer le montant du capital au
bout de 30 ans, puis de 100~ans ? 

\vsp
Au bout de combien d'ann�es, le capital a-t-il doubl� ? 

\vsp
Quel taux annuel faudrait-il appliquer pour que le capital soit doubl�
au bout de 20 ans ? 

\enex

\bgex
Le tableau ci-dessous donne l'�volution du montant horaire brut du
SMIC (Salaire minimum interprofessionnel de croissance) en France du
1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2000 au 1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$
2005. 

\center{
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
  &Smic horaire brut en euros \\\hline
  1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2000 & 6,41 \\\hline
  1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2001 & 6,67 \\\hline
  1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2002 & 6,83 \\\hline
  1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2003 & 7,19 \\\hline
  1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2004 & 7,61 \\\hline
  1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2005 & 8,03 \\\hline
\end{tabular}
}

\vspt
\bgit
  \item[1.] Quel �tait le Smic horaire brut au
    1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 1999 sachant qu'il a augment�
    entre le 1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 1999 et le
    1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2000 de $3,2\,\%$ ?
    
    \vspd
  \item[2.] On appelle indice simple en base 100, ou plus simplement
    indice, de la quantit� $y_2$ par rapport � la quantit� $y_1$, le
    nombre:\ $I_{2/1}=100\tm\dfrac{y_2}{y_1}$.

    \vspd
    \bgit
      \item[(a)] Compl�ter dans l'extrait de feuille de calcul
	ci-dessous les valeurs des indices de chaque ann�e par rapport
        � la pr�c�dente. 
        Donner des valeurs arrondies au dixi�me.
	
        \vspd
	\begin{tabular}{|*8{c|}}\hline
	  & A & B &C&D&E&F&G \\\hline
	  1&Date&1/07/00&1/07/01&1/07/02&1/07/03&1/07/04&1/07/05\\\hline
	  2&Smic horaire brut&6,41&6,67&6,83&7,19&7,61&8,03\\\hline
	  3&Indices&100 & &&&&125,3\\\hline
	\end{tabular}

	\vspd
      \item[(b)] Quelle formule, � recopier sur la plage \verb+D3:G3+,
	peut-on entrer dans la cellule \verb+C3+ ?
	
	\vspd
      \item[(c)] D�terminer le taux d'�volution du Smic horaire brut
	entre le 1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2000 et le
	1$^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ juillet 2005.
    \enit

    \vspd
\enit

\enex

\bgex


\bgit
\item[{\bf A.} 1.] La feuille de calcul suivante, extraite d'un tableur, donne
la population mondiale en millions d'habitants: 

\vspd
%\renewcommand{\arraystretch}{1.}
%\begin{tabularx}
%{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E\\ \hline
%1&Ann�e& Population & Taux d'�volution arrondi � 0,1\,\% & n & $u_n$\\ \hline
%2&1950	&2500	& $-$		&0	&2500\\ \hline
%3&1960	&3014	&20,6\,\%	&1	&\\ \hline
%4&1970	&3683	&22,2\,\%	&2	&\\ \hline
%5&1980	&4453	&20,9\,\%	&3&\\ \hline
%6&1990	&5201	&	&4&\\ \hline
%7&2000	&6080	&	&5&\\ \hline
%8&	&	&	&6&\\ \hline
%9&	&	&	&7&\\ \hline
%10&	&	&	&8&\\ \hline
%11&	&	&	&9&\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{tabular}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}c|}}\hline
&A&B&C\\ \hline
1&Ann�e& Population & Taux d'�volution arrondi � 0,1\,\% \\ \hline
2&1950	&2500	& $-$		\\ \hline
3&1960	&3014	&20,6\,\%	\\ \hline
4&1970	&3683	&22,2\,\%	\\ \hline
5&1980	&4453	&20,9\,\%	\\ \hline
6&1990	&5201	&	\\ \hline
7&2000	&6080	&	\\ \hline
8&	&	&	\\ \hline
9&	&	&	\\ \hline
\end{tabular}

\vspt
Quelle formule faut-il �crire en \verb+C3+ pour compl�ter la colonne 
\verb+C+ en
recopiant cette formule vers le bas ?

\vspd
\item[2.] 
  %\bgit
  %\item[(a)] 
  Calculer le taux d'�volution global de la population
    mondiale entre les ann�es 1950 et 2000. 

    %En d�duire le taux d�cennal moyen entre les ann�es 1950 et 2000. 

    %\vspd
    %On consid�re la suite g�om�trique $(u_n)$ de premier terme
    %$u_0=2500$ et de raison $q=1,195$.
    %
    %\item[(b)] Quelle formule, � recopier vers le bas, peut-on �crire
    %  en E3 pour calculer les termes de la suite $(u_n)$ ?

  %\enit


\vspq
\item[\bf B.] On a pu lire dans un livre 
{\it `` Voici venu le temps du monde fini ''}, d'Albert Jacquard,
l'affirmation suivante: 

{\it Un accroissement d'une population de 2\,\% par an peut sembler
  faible, il correspond pourtant � un doublement en 35 ans, donc � un
  quadruplement en 70 ans, � une multiplication par 7 en moins d'un
  si�cle.
}

\vsp
Les affirmations de l'auteur sont-elles exactes ? Justifier la
r�ponse. 
\enit
\enex

\vspd
\bgex{\bf D'apr�s baccalaur�at STG, septembre 2008}\hfill{\bf 8 points}

\vspd
Les rations journali�res conseill�es sur des sacs de croquettes pour chien des marques Topdog et Friskas sont donn�es ci-dessous.\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Poids du chien $x_{i}$ (kg)&	5&	 10&	 15	& 30&	40&	60\\ \hline
Ration journali�re conseill�e $y_{i}$, (g)&	50 &	90&	120&	200	&250&	340\\ \hline
\end{tabularx}

\vspq

\textbf{Les parties I et II sont ind�pendantes.}

\medskip

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate}
\item D�terminer s'il y a proportionnalit� entre le poids du chien et la ration journali�re conseill�e.

Justifier.

\item Repr�senter graphiquement le nuage de points $(x_i;y_i)$ donn�s
  dans le tableau pr�c�dent (\verb+ Insertion+ $\to$ \verb+graphique+
  ou \verb+diagramme+), et tracer la droite de r�gression associ�e �
  ces points (\verb+Insertion+ $\to$ \verb+Courbe de tendance+ $\to$
  \verb+lin�aire+). 

\end{enumerate}
	


\textbf{Partie II}

\vspd

Le chien d'Arthur p�se 30~kg et mange des croquettes Topdog.\\ 
Arthur d�cide de changer pour la marque Friskas. Mais la transition
doit �tre progressive. 
Arthur suit les recommandations des deux marques et donne � son chien
une ration journali�re de 200~g. 
  
\vspd
  
Arthur choisit de donner le premier jour 20~g de croquettes Friskas,
et le reste de la ration, soit 180~g, en croquettes Topdog ; puis il
�tudie deux programmes d'alimentation : 

\vsp
\begin{itemize}
\item premier programme : augmenter la part de croquettes Friskas de
  15~g par jour. 

  \vsp
\item  second programme: augmenter chaque jour de 20\:\% la part de croquettes Friskas pr�sente dans la ration.
\end{itemize}

\vsp
Dans les deux cas, la ration quotidienne reste au total � 200~g.\\

\vspd

Arthur utilise un tableur pour �tudier les deux programmes d'alimentation de son chien. La feuille de calcul est donn�e � la page suivante. Le format d'affichage est un format num�rique � 0 d�cimale.

\begin{enumerate}
\item  Premier programme
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, entr�e dans la cellule B3, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3:B14.
		\item 	Donner une formule qui, entr�e dans la cellule C2, permet par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules C2:C14.
		\item 	Calculer la quantit� totale de croquettes Topdog que doit pr�voir Arthur dans ce premier programme d'alimentation durant la p�riode de transition.
	\end{enumerate}
\item Second programme

  \begin{enumerate}
  \item Une formule entr�e dans la cellule D3 a permis d'obtenir la
    plage de cellules D3:D16 par recopie vers le bas. Cette formule
    permet de limiter la ration de croquettes Friskas � 200~g.\\
    Recopier la seule des trois formules ci-dessous qui peut convenir. 
    
    \begin{center}
      =D2 * 1,20 \hspace{1cm}  SI(D2 * 1,20 $>$ 200; 200; D2 * 1,20)
      \hspace{1cm}   = \$D\$2*1,20 
    \end{center}
  \item Montrer que la quantit� totale de croquettes Topdog utilis�es
  pendant la p�riode de transition dans le second programme est � 
  l'unit� pr�s �gale � \nombre{1630}~g.  
  
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}
{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E\\ \hline
1&Jour&	 	Premier programme  Quantit� de	croquettes Friskas (g)&Premier programme Quantit� de croquettes Topdog (g)&Second programme  Quantit� de croquettes Friskas (g)&	Second programme
Quantit� de croquettes Topdog (g)\\ \hline
2&	1&	20	&180		&20	&	180\\ \hline
3&	2&	35	&165		&24	&	176\\ \hline
4&	3&	50	& \ldots	&29	&\ldots\\ \hline
5&	4&	65	& \ldots	&35&\ldots\\ \hline
6&	5&	80	& \ldots	&41&\ldots\\ \hline
7&	6&	95	& \ldots	&50&\ldots\\ \hline
8&	7&	110	& \ldots	&60&\ldots\\ \hline
9&	8&	125	& \ldots	&72&\ldots\\ \hline
10&	9&	140	& \ldots	&86&\ldots\\ \hline
11&	10&	155	& \ldots	&103&\ldots\\ \hline
12&	 11&	170	& \ldots	&124&\ldots\\ \hline
13&	12&	185	& \ldots	&149&\ldots\\ \hline
14&	13&	200	&	0	&178&22\\ \hline
15&	 14&		&		&200&0\\ \hline
16&	15&		&		&200&0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{p{4,5cm}X}
Indication de lecture : & 165, le contenu de la cellule C3, est la quantit�, en grammes, de croquettes Topdog pr�sente dans la ration du second jour de transition dans le cas du premier programme d'alimentation.
\\
\end{tabularx}

\enex

\end{document}

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