Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, 2nd degré et angles orientés
Première S
2nd degré et angles orientés
Devoir corrigé de mathématiques, première S: angles orientés de vecteurs et trigonométrie. Condition suffisante pour un trinôme du second degré pour avoir deux racines. Intersection d'une parabole et d'une droite, selon un paramètre. Angle dans le cercle trigonométrique et trigonométrie.- Fichier
- Type: Devoir
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- Description
- Devoir corrigé de mathématiques, première S: angles orientés de vecteurs et trigonométrie. Condition suffisante pour un trinôme du second degré pour avoir deux racines. Intersection d'une parabole et d'une droite, selon un paramètre. Angle dans le cercle trigonométrique et trigonométrie.
- Niveau
- Première S
- Mots clé
- trigo, trigonomérie, droite, vecteur, coordonnées, devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, intersection de deux courbes
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{array} \usepackage{color} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \textheight=25cm \textwidth=18.5cm \oddsidemargin=-1.4cm \evensidemargin=0cm \setlength{\unitlength}{1cm} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \thispagestyle{empty} \vspace*{-1cm} %\ul{Nom:} \hspace{5cm} {\Large Devoir surveill�} \hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008 \vspace{0.8cm} \bgex Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\not=0$. Montrer que si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors la courbe repr�sentative de la fonction $f$ coupe exactement deux fois l'axe des abscisses. \enex \bgex Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par $f(x)=9x^2+3x+1$. On note $\mathcal{P}$ la parabole repr�sentant graphiquement $f$ dans un rep�re. \vspd \bgit \item[1)] Pour $p$ un nombre r�el, on note $(\mathcal{D}_p)$ la droite d'�quation $y=x+p$. \vsp Pour quelles valeurs de $p$ la droite $(\mathcal{D}_p)$ coupe-t-elle la parabole en un seul point ? en deux points disctincts ? \vspd \item[2)] Pour $m$ un nombre r�el, on note $(\Delta_m)$ la droite d'�quation $y=mx$. \vsp Pour quelles valeurs de $m$ la droite $(\Delta_p)$ coupe-t-elle la parabole en un unique point ? \enit \enex \bgex Dans le plan orient�, $ABC$ est un triangle rectangle isoc�le en $A$ tel que $\dsp (\V{CA},\V{CB})=\frac{\pi}{4}$. $M$ est un point de $(AB)$, $N$ est le sym�trique de $M$ par rapport � $(AC)$ et $P$ celui de $N$ par rapport � $(BC)$. On souhaite d�montrer que le triangle $CMP$ est rectangle isoc�le. \vspd \bgit \item[1)] Justifier les �galit�s $(\V{CM},\V{CA})=(\V{CA},\V{CN})$ et $(\V{CB},\V{CP})=(\V{CN},\V{CB})$. \vspd \item[2)] D�terminer une mesure de l'angle $(\V{CM},\V{CP})$. Conclure. \enit \enex \bgex \parbox{11.5cm}{ $ABCDE$ est un pentagone r�gulier inscrit dans un cercle trigonom�trique $\mathcal{C}$ de centre $O$. \vspd \bgit \item[1)] Indiquer les mesures des angles : \[ \lp \V{OA},\V{OB}\rp \ ,\ \lp \V{OA},\V{OC}\rp \ ,\ \lp \V{OA},\V{OD}\rp \ ,\ \lp \V{OA},\V{OE}\rp \, . \] \vspd \item[2)] Quelles sont les coordonn�es des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ ? \vspd \item[3)] Montrer la relation \ $\dsp \V{OB}+\V{OE}=2\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp\V{OA}$. On admettra de m�me la relation $\dsp \V{OC}+\V{OD}=2\cos\lp\frac{4\pi}{5}\rp\V{OA}$. \enit } \hspace{0.4cm} \parbox{6cm}{ \psset{unit=2.5cm}%{xunit=4cm,yunit=4cm} \begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2) \psline[linewidth=0.6pt](-1.2,0)(1.2,0) \psline[linewidth=0.6pt](0,-1.2)(0,1.2) \pscircle(0,0){1} \psline[linewidth=0.6pt](0.31,0.95)(1,0) \psline[linewidth=0.6pt](0.31,-0.95)(1,0) \psline[linewidth=0.6pt](0.31,0.95)(-0.81,0.59) \psline[linewidth=0.6pt](0.31,-0.95)(-0.81,-0.59) \psline[linewidth=0.6pt](-0.81,-0.59)(-0.81,0.59) \put(-0.14,-0.14){$O$} \put(1.1,0.1){$A$} \put(0.31,1){$B$} \put(-0.88,0.7){$C$} \put(-0.88,-0.75){$D$} \put(0.31,-1.1){$E$} \end{pspicture} } \enex \bgit \item[4)] $ABCDE$ �tant un pentagone r�gulier, on a (cette relation vectorielle n'est pas � d�montrer): \[\V{OA}+\V{OB}+\V{OC}+\V{OD}+\V{OE}=\V{0}\,. \] \vsp En d�duire alors une relation reliant $\dsp\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp$ et $\dsp\cos\lp\frac{4\pi}{5}\rp$. \vspd \item[5)] On admet la formule de duplication : pour tout nombre r�el $a$, $\cos(2a)=2\lp\cos(2a)\rp^2-1$. \vspd \bgit \item[a)] Montrer que $\dsp\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp$ est solution de l'�quation : $4x^2+2x-1=0$. \vspd \item[b)] En d�duire la valeur de $\dsp\cos\lp\frac{2\pi}{5}\rp$. \enit \enit \bgex On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $I=]1;+\infty[$ par l'expression : \ $\dsp f(x)=\frac{-x^2+2x+1}{x-1}$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe repr�sentative de $f$ dans un rep�re. \vspd \bgit \item[1)] D�terminer les r�els $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $x\in I$, $\dsp f(x)=\alpha x+\beta + \frac{2}{x-1}$ \vspd \item[2)] Donner le sens de variation de la fonction $f$. \vspd \item[3)] On consid�re la droite $(\Delta)$ d'�quation $y=-x+1$. Pour $x\in I$, on note $P$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x$, et $Q$ le point de $(\Delta)$ d'abscisse $x$. \bgit \item[a)] D�terminer, en fonction de $x$, la distance alg�brique $PQ$. \vspd \item[b)] Quelle est la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de la droite $(\Delta)$ ? \vspd \item[c)] Que peut-on dire de la distance $PQ$ lorsque $x$ devient (tr�s) grand ? \enit \vspd \item[4)] Repr�senter l'allure de $\mathcal{C}_f$. \enit \enex \end{document}
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