Source Latex
de la correction du devoir
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %
% Generateur automatique de devoir, %
% par Y. Morel %
% https://xymaths.fr %
% %
% Genere le: %
% mardi 06 mars 2012 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[10pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}
\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}
\bgex
\bgen
\item $f$ est une fonction polyn\^ome du troisi\`eme degr\'e d\'efinie et
d\'erivable sur $\R$, avec, pour tout $x$ r\'eel,
$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
On en d\'eduit le tableau de variation de $f$:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
&&&$-1$&&&&\\
$f$ && \psline{->}(-0.6,-0.3)(0.3,0.4)
&&\psline{->}(-0.4,0.4)(0.4,-0.3)
&&
\psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.4)&
\\
&&&&&$-5$&&\\\hline
\end{tabular}
\]
\item $T$ a pour \'equation: $y=f'(0)(x-0)+f(0)=-3x-3$.
\item \ \\
\begin{pspicture}(-3.5,-7.5)(4,2)
\psline{->}(-3.5,0)(3.5,0)
\psline{->}(0,-7.6)(0,1.6)
%
\multido{\i=-3+1}{7}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\i,-7.2)(\i,1.2)
\rput(\i,-0.3){$\i$}
}
\multido{\i=-7+1}{9}{
\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](-3.2,\i)(3.2,\i)
\rput(-0.3,\i){$\i$}
}
%
\psplot[linewidth=1.3pt]{-2.25}{2.25}{x 3 exp -3 x mul add -3 add}
\rput(-2.3,-4.7){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[linewidth=1.3pt]{-1.4}{1.5}{-3 x mul -3 add}
\rput(1.6,-6.7){$T$}
\end{pspicture}
\item Sur $[2;3]$, la fonction $f$ est d\'erivable, strictement
croissante, avec $f(2)=-1<0$ et $f(3)=15>0$.
On en d\'eduit, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, que
l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans
l'intervalle $[2;3]$.
A l'aide de la calculatrice, on trouve que $f(2,10)\simeq -0,039$ et
$f(2,11)\simeq 0,06$, et donc que
$2,10<\alpha<2,11$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item La fonction $f$ doit v\'erifier les conditions suivantes:
\bgit
\item[$\bullet$] $f(0)=0$ soit, comme $f(0)=d$, \ul{$d=0$}.
\vsp
\item[$\bullet$] $f'(0)=0$ soit, comme
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$, donc $f'(0)=c$, et \ul{$c=0$}.
\vsp
On a alors, $f(x)=ax^3+bx^2$.
\vspd
\item[$\bullet$] $f(5)=125a+25b=2$
\item[$\bullet$] $f'(5)=0$ soit, comme $f'(x)=3ax^2+2bx$,
l'\'equation $75a+10b=0$
\enit
Les deux derni\`eres \'equations permettent de calculer $a$ et $b$:
$\la\bgar{ll} 125a+25b=2 \\ 75a+10b=0 \enar\right.
\iff
\la\bgar{ll} a=-\dfrac{4}{125} \\ b=\dfrac{6}{25} \enar\right.
$
En r\'esum\'e, la fonction $f$ s'\'ecrit
\ul{$f(x)=-\dfrac{4}{125}x^3+\dfrac{6}{25}x^2$}.
\item Le point $I$, milieu de $[OA]$ a pour coordonn\'ees
$I\lp \dfrac{5}{2};1\rp$.
De plus,
$f\lp\dfrac{5}{2}\rp
=-\dfrac{4}{125}\lp\dfrac{5}{2}\rp^3+\dfrac{6}{25}\lp\dfrac{5}{2}\rp^2
=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=1
$.
Ainsi, \ul{le point $I$ appartient \`a $\mathcal{C}$}.
\vspd
La pente en $I$ est $f'\lp \dfrac{5}{2}\rp$,
or $f'(x)=-\dfrac{12}{125}x^2+\dfrac{12}{25}x$,
et donc,
\[f'\lp \dfrac{5}{2}\rp
=-\dfrac{12}{125}\lp\dfrac{5}{2}\rp^2+\dfrac{12}{25}\lp\dfrac{5}{2}\rp
=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}=\dfrac{3}{5}\,.\]
La pente en $I$ est donc de $\dfrac{3}{5}$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Pour tout $x\in\R\setminus\la2\ra$,
\[
f'(x)
=\dfrac{(2x+a)(x-2)-(x^2+ax+b)}{(x-2)^2}
=\dfrac{x^2-4x-2a-b}{(x-2)^2}
\]
\item La tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 3 a pour
\'equation:
$y=f'(3)(x-3)+f(3)=f'(3)x-3f'(3)+f(3)$.
On doit donc avoir, pour cette tangente ait pour \'equation $y=8$,
$\la\bgar{ll}
f'(3)=0 \\
-3f'(3)+f(3)=8
\enar\right.$
soit,
$
\la\bgar{ll}
f'(3)=0 \\
f(3)=8
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
-3-2a-b=0 \\
9+3a+b=8
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
2a+b=-3 \\
3a+b=-1
\enar\right.
\iff$
\fbox{
$\la\bgar{ll}
a=2 \\
b=-7
\enar\right.$}
\enen
\enex
\bgex
Pour l'\'equation $\sin 2x=\cos\dfrac{x}{2}$
une solution consiste \`a \'ecrire :
$$\sin 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)$$
(en utilisant la formule:
$\sin x =\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$).\\
L'\'equation se r\'e\'ecrit alors:
$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right) = \cos\frac{x}{2}$$
d'o\`u :
$$\left\{\begin{array}{l}
\dsp \dfrac{\pi}{2}-2x=\frac{x}{2}+2k\pi\qquad k \in
\Z\\
\\
\dsp \frac{\pi}{2}-2x=-\frac{x}{2}+2k\pi\qquad k \in
\Z
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
\dsp \frac{5}{2}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in \Z\\
\\
\dsp \frac{3}{2}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad k \in
\Z\\
\end{array}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{l}
\dsp x=\frac{\pi}{5}+4k\frac{\pi}{5}\qquad k \in \Z\\
\\
\dsp x=\frac{\pi}{3}+4k\frac{\pi}{3}\qquad k \in \Z
\end{array}\right.
$$
\enex
\bgex
\bgen
\item $P(1)=2\tm1^3-17\tm1^2+7\tm1+8=0$, et donc $1$ est bien une
racine de $P$.
On en d\'eduit que $P$ se factorise selon
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$,
d'o\`u, en identifiant les coefficients:
$\la\bgar{ll}
a=2 \\
-a+b=-17 \\
-b+c=7 \\
-c=8
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
a=2 \\
b=-15 \\
c=-8
\enar\right.$
Ainsi, le polyn\^ome $P$ se factorise suivant:
$P(x)=(x-1)(2x^2-15x-8)$.
\item L'\'equation s'\'ecrit, en utilisant le polyn\^ome $P$ pr\'ec\'edent:
$P(\sin x)=0$.
On recherche donc les racines de $P$.
$P(x)=0\iff (x-1)(2x^2-15x-8)=0$.
Le discriminant du trin\^ome du second degr\'e est
$\Delta=(-15)^2-4\tm2\tm(-8)=289=17^2>0$.
Ce trin\^ome admet donc deux racines distinctes:
$x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=8$.
Le polyn\^ome $P$ admet donc 3 racines:
$x_0=1$, $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_3=8$.
\vspd
Les solutions de l'\'equation sont donc les valeurs de $x$ telles que
\bgit
\item[$\bullet$] $\sin x = x_0=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
\item[$\bullet$]
$\sin x = x_1=-\dfrac{1}{2}=\sin\lp-\dfrac{\pi}{6}\rp
\iff x=-\dfrac{\pi}{6} +k2\pi$
ou $x=\pi-\lp-\dfrac{\pi}{6}\rp+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$.
\item[$\bullet$] $\sin x = x_3=8$: impossible, car pour tout $x$,
$\sin x<1$.
\enit
Les solutions de l'\'equation sont donc,
$\mathcal{S}
=\la \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\ ;\
-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\ ;\
\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\ ;\
k\in\Z
\ra$
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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