Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Fonction et axe de symétrie de la courbe représentative

Première S

Fonction et axe de symétrie de la courbe représentative

Devoir maison de mathématiques, première S: sens de variation d'une fonction, et axe de symétrie d'une courbe représentative
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir maison de mathématiques, première S: sens de variation d'une fonction, et axe de symétrie d'une courbe représentative
Niveau
Première S
Mots clé
sens de variation, axe de symétrie, parité, devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S,

Sujet du devoir

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Source Latex 

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\textheight=25cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-1cm}

%\ul{Nom:}
\hspace{5cm} 
{\Large Correction du devoir � la maison}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.8cm}

\bgex 

1)\vspace{-0.7cm}
\[\bgar{ll}\mbox{Pour tout } x>2, \ \  
  \dsp x-1-\frac{2}{x-2} &=\dsp \frac{(x-1)(x-2)}{x-2}-\frac{2}{x-2} \\
   &=\dsp \frac{(x-1)(x-2)-2}{x-2} \\
   &=\dsp \frac{x^2-3x}{x-2} = f(x)
\enar\]

Ainsi, pour tout r�el $x>2$, $\dsp f(x)=x-1-\frac{2}{x-2}$

\vspd
2) On peut �crire $f$ sous la forme $f=f_1-2f_2$, avec 
$f_1(x)=x-1$ et $\dsp f_2(x)=\frac{1}{x-2}$. 
\bgit
\item $f_1$ est une fonction affine croissante sur $\R$. 
\item On peut d�composer $f_2$ sous la forme: 
  $f_2=u\circ v$\ avec $u(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x-2$. 

  $u$ est d�croissante, tandis que $v$ est croissante; 
  on en d�duit que $f_2$ est d�croissante, et donc que la fonction
  $-2f_2$ est croissante. 

  On en d�duit finalement que $f=f_1+(-2f_2)$ est croissante sur
  $]2;+\infty[$. 
\enit

\enex

\vspq
\bgex

\bgit
\item[1)] La droite $(M'M)$ est perpendiculaire � la droite
  $(\mathcal{D})$ qui est elle-m�me perpendiculaire � l'axe des
  abscisses $(Ox)$. On en d�duit que $(M'M)$ est parall�le � l'axe des
  abscisses, et donc que les points $M'$, $H$ et $M$ ont la m�me
  ordonn�e $y$. 

  \vspd
  De plus les vecteurs $\V{HM}(x-a;0)$ et $\V{M'H}(a-x';0)$ sont
  �gaux, d'o� la relation $x-a=a-x'$, 
  c'est-�-dire $x'=2a-x$. 

  \vspd
  Finalement, le point $M$ a pour coordonn�es $M(2a-x;y)$. 

  \vspd
\item[2)] Soit $x$ dans l'ensemble de d�finition de $f$. 
  Le point $M(x;f(x))$ est un point de la courbe repr�sentative 
  $\mathcal{C}_f$ de $f$. 

  \vspd
  D'apr�s la question pr�c�dente, 
  Le sym�trique de $M$ par la sym�trie d'axe $(\mathcal{D}):x=a$
  est le point $M'(2a-x;f(x))$. 

  La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc sym�trique par rapport � la
  droite $(\mathcal{D})$ si $M'$ est sur $\mathcal{C}_f$, c'est-�-dire
  si $2a-x$ est aussi dans l'ensemble de d�finition de $f$, et que 
  $f(x)=f(2a-x)$. 

  \vspd
\item[3)] $f$ est une fonction polyn�me, donc d�finie sur $\R$. 

\[\bgar{ll}
\multicolumn{2}{l}{\dsp 
  \mbox{Pour tout } x\in\R, 2a-x=2\tm\frac{5}{6}-x \in \R \ ,\ \mbox{ et} 
}\\
\dsp f(2\tm\frac{5}{6}-x)=f(\frac{5}{3}-x)
&\dsp= -3\lp\frac{5}{3}-x\rp^2+5\lp\frac{5}{3}-x\rp-1\vsp \\
&\dsp= -\frac{5^2}{3}+10x-3x^2+\frac{5^2}{3}-5x -1 \vsp\\
&\dsp= -3x^2+5x-1\vsp \\
&\dsp=f(x)
\enar
\]
Ainsi, d'apr�s la question 2), la droite $(\mathcal{D})$ d'�quation 
$\dsp x=\frac{5}{6}$\ \ est un axe de
sym�trie de la courbe repr�sentative de~$f$. 
\enit

\enex


\end{document}

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