Source Latex
du cours de mathématiques
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pdftitle={Statistiques descriptives},
pdfkeywords={Mathématiques, 1S, première, S,
statistique, statistiques, statistiques descriptives,
moyenne, écart type, quantiles, décile, quartile,
boîte à moustaches
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\bgsk{\noindent\large{\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{\ul{Définition}}%\hspace{-0.9em}%\hspace{-0.4cm}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Statistiques descriptives}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/1S/}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}
\vspace{-0.4cm}
\section{Quantiles d'une série statistique}
\vspace{-0.7cm}
\bgdef{On considère une série statistique d'effectif total $N$.} \\[.6em]
\hspace*{-2em}\bgmp{20.2cm}{\it\bgit
\item[$\bullet$] La {\bf médiane} est une valeur qui partage la
série ordonnée en deux séries de même effectif.
\vsp
Si $N$ est impair, $N=2n+1$, alors la médiane est la
$(n+1)^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ valeur de la série ordonnée.
Si $N$ est pair, $N=2n$, alors la médiane est la moyenne de la
$n^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ et de la
$(n+1)^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ valeur.
\vsp
\item[$\bullet$] Le {\bf premier quartile} $Q_1$ est une valeur de
la série telle que $25\,\%$ des termes de la série lui sont
inférieurs.
Le {\bf troisième quartile} $Q_3$ est une valeur de
la série telle que $75\,\%$ des termes de la série lui sont
inférieurs.
\vsp
Si $N$ est un multiple de $4$, $N=4n$, alors $Q_1$ est la
$n^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ valeur
et $Q_3$ la $3n^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ valeur de la série
ordonnée.
Si $N$ n'est pas un multiple de $4$, $Q_1$ et $Q_3$ sont les
valeurs de rang directement supérieur à $N/4$ et à $3N/4$.
\vsp
On appelle {\bf interquartile} le nombre $Q_3-Q_1$.
C'est une caractéristique de dispersion de la série.
\vspd
\item[$\bullet$] Les {\bf déciles} $D_1$, $D_2$, $D_3$, \dots $D_9$
sont des valeurs de la série telles que $10\,\%$, $20\,\%$,
$30\,\%$, \dots, $90\,\%$ des termes de la série lui sont
inférieurs.
\enit}\enmp
\vspd
\bgex Soit la série des notes des élèves d'une classe:
\vspd
\begin{tabular}{|*{18}{c|}}\hline
Elèves & A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q\\\hline
Notes & 15&10&12&8&10&18&12&8&8&15&10&8&6&18&12&8&12\\\hline
\end{tabular}
\vspd
On ordonne la série: \vspd
\begin{tabular}{|c|*6{p{1.2cm}|}}\hline
\raisebox{0.2cm}[1cm]{Notes $x_i$} & & & & & & \\\hline
\raisebox{0.2cm}[1cm]{Nombre d'élèves $n_i$} & & & & & & \\\hline
\raisebox{0.2cm}[1cm]{Effectifs cumulés croissants} & & & & & & \\\hline
\end{tabular}
\vspd
Effectif total de la série: $N=\ \dots\ $
\qquad
Médiane de la série: $M_e=\ \dots\ $
\vspd
Quartiles: $Q_1=\ \dots\ $ \ \ ,\ \ $Q_3=\ \dots\ $
\qquad
Ecart inter-quartile:
\enex
\bigskip
\noindent\bgmp{9.6cm}
\paragraph{\ul{Diagrammes en boîte} (boites à moustaches)}
\ \\[-.5em]
On représente ces grandeurs sous la forme
suivante:
\enmp
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-.2,0)(15,3)
\psline[linewidth=1pt,arrowsize=8pt]{->}(-1,0)(20,0)
\multido{\i=0+2}{10}{
\psline[linewidth=0.5pt](\i,-0.1)(\i,0.1)
\rput(\i,-0.5){\i}
}
\psline[linewidth=1.4pt](6,1.5)(8,1.5)
\pspolygon[linewidth=1.4pt](8,1)(12,1)(12,2)(8,2)
\psline[linewidth=1.4pt](12,1.5)(18,1.5)
\psline[linewidth=1.4pt](10,1.)(10,2)
\end{pspicture}
\enmp
\vspd
\bgex
On compare les températures moyennes (en $^{\circ}$ C) de chaque mois
de l'année pour deux communes de Haute-Savoie situées à 1000 m
d'altitude: Chamonix et La Clusaz.
\vspt
\begin{tabular}{|c|*{15}{p{0.8cm}|}}\hline
Mois & 1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\\hline
Chamonix &1,5&4&7,5&12&15,5&20&23&22&19&14&6,5&2\\\hline
La Clusaz &2,5&3,5&6&9,5&14&17&20,5&20,0&17&13&7&3,5\\\hline
\end{tabular}
\vspt
Tracer les diagrammes en boîte de ces deux séries.
\enex
\bgex
Trois classes ont passé un devoir commun. Les notes sont les suivantes:
\bgit
\item classe A:
5 ; 8 ; 6 ; 3 ; 11 ; 4 ; 8 ; 15 ; 8 ; 11 ; 14 ; 12 ; 10 ; 10 ; 1 ; 12 ; 14 ; 14 ; 5 ; 6 ; 10 ; 14 ; 10 ;
8 ; 9 ; 0 ; 8 ; 10 ; 6 ; 16 ; 12
\item classe B:
13 ; 2 ; 13 ; 13 ; 16 ; 16 ; 18 ; 11 ; 15 ; 10 ; 15 ; 11 ; 15 ; 11 ; 19 ; 12 ; 6 ; 10 ; 17 ; 11 ; 12 ;
5 ; 16 ; 10 ; 17 ; 18 ; 2 ; 16 ; 4 ; 9 ; 14 ; 12
\item calsse C: 9 ; 7 ; 12 ; 8 ; 9 ; 8 ; 11 ; 12 ; 10 ; 12 ; 13 ; 9 ; 15 ; 9 ; 14 ; 15 ; 9 ; 14 ; 13 ; 16 ; 5 ; 17 ; 13
\enit
Comparer les trois classes.
\enex
\section{Moyenne, variance et écart-type}
On considère une série statistique générale: \vsp
\begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
Valeurs du caractère & $x_1$&$x_2$&$x_3$&\dots&$x_p$\\\hline
Effectifs & $n_1$&$n_2$&$n_3$&\dots&$n_p$\\\hline
\end{tabular}\hspace{0.5cm}
d'effectif total : $N=n_1+n_2+\dots+n_p$.
\bgdef{
La moyenne de la série est:
$\dsp \overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_px_p}{N}
=\dfrac1N \dsp\sum_{i=1}^p n_i x_i$
}
\bgex Déterminer la moyenne des séries suivantes:
\vspd
\begin{tabular}{p{8cm}l}
$S_1$:\ \ 1; 8 ; 10 ; 10 ; 12; 19 &$\overline{x}=\ \dots\ $. \vspd\\
$S_2$:\ \ 9; 9,5; 10; 10,5; 11 &$\overline{x}=\ \dots\ $.\vspd\\
$S_3$:\ \ 10; 10; 10; 10; 10; &$\overline{x}=\ \dots\ $.\vspd\\
$S_4$:\ \ 3; 7; 12; 16; 18; 8; 9,5; 12,5; 6; 8 & $\overline{x}=\ \dots\ $.
\end{tabular}
\enex
\bgdef{
$\bullet$ La variance de la série est la moyenne des carrés des
écarts à la moyenne:
\[ V=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2
+\dots+n_p(x_p-\overline{x})^2}{N}
=\frac1N\sum_{i=1}^p n_i(x_i-\overline{x})^2
\]
$\bullet$ L'écart-type d'une série est la racine carrée de la variance: $\sigma=\sqrt{V}$.
}
\bgprop{\bgmp[t]{11cm}La variance est la moyenne des carrés des valeurs de la
série moins le carré de la moyenne de la série:\enmp
\hspace{1cm}\bgmp{3cm}
\[ V \ =\ \overline{x^2}-\overline{x}^2
\]\enmp
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} \vspace*{-0.4cm}
\[ \bgar{ll}
V&\dsp=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i(x_i-\overline{x})^2
=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i\Big(\qquad \dots
%x_i^2-2 x_i\overline{x} + \overline{x}^2
\qquad \dots \qquad \Big) \vspd\\
&= \quad \dots
% &\dsp=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i x_i^2
% -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^p 2 n_i x_i \overline{x}
% +\frac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_i \overline{x}^2 \vspd\\
% &\dsp=\hspace{0.8cm}\overline{x^2}
% \hspace{0.8cm}-\frac{2\overline{x}}{N}\sum_{i=1}^n n_i x_i
% \hspace{0.4cm}+\frac{\overline{x}^2}{N}\sum_{i=1}^p n_i\vspd \\
% &\dsp=\hspace{0.8cm}\overline{x^2}
% \hspace{0.8cm}-\frac{2\overline{x}^2}{N}N\overline{x}
% \hspace{1.15cm}+\frac{\overline{x}^2}{N}N\vspd\\
% &\dsp=\hspace{0.8cm}\overline{x^2}
% \hspace{0.8cm}-2\overline{x}^2
% \hspace{1.9cm}+\overline{x}^2
% \hspace{0.8cm}=\overline{x^2}-\overline{x}^2
\enar \]
\bgex
Le tableau suivant donne les tailles de 35 élèves d'une classe.
\vspd
\begin{tabular}{|c|*{15}{c|}}\hline
taille(cm) & 145 & 146 & 151 & 152 & 155 & 160 & 165 & 170 & 172 &
176 & 180 & 186 & 188 & 190 & 193 \\\hline
effectif & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 &
1 \\\hline
\end{tabular}
\medskip
Calculer la moyenne et l'écart-type de cette série.
\enex
\bgex
\bgen
\item \bgmp[t]{5cm}On considère l'algorithme: \\
\fbox{\bgmp{4cm}
Demander $N$ \\
Affecter 0 à S\\
Pour i de 1 à N\\
\hspace*{1em}Demander x\\
\hspace*{1em}Affecter S+x à S\\
Fin\\
Affecter S/N à M\\
Afficher M\enmp}
\enmp
\bgmp[t]{12cm}
\bgen[a)]
\item Qu'affiche cet algorithme si on entre 4 pour $N$,
puis successivement les valeurs 8, 15, 7, 10.
\item Que fait cet algorithme ?
\item Programmer cet algorithme (python, calculatrice, \dots)
\enen
\enmp
\item Modifier l'algorithme/programme précédent pour
que le calcul de la moyenne puisse prendre en compte des coefficients
(à demander avec chaque valeur de x).
\item En utilisant l'algorithme/programme précédent,
écrire un algorithme/programme qui calcule la variance et l'écart type
de la série de valeurs entrées.
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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