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1ère S

Suites numériques

Activités mathématiques: introduction aux suites numériques - Évolution d'un capital à intérêts simples et composés - Approximation de la valeur de pi.
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Type: Exercice
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Description
Activités mathématiques: introduction aux suites numériques - Évolution d'un capital à intérêts simples et composés - Approximation de la valeur de pi.
Niveau
1ère S
Mots clé
suites numériques, introduction, activité d'introduction, activité mathématique, maths

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Activité d'introduction mathématiques: suites numériques},
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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% Bandeau en bas de page
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\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths - 1ère S}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf \Large{Introduction aux suites numériques}}
\vspd

\paragraph{Intérêts simples et composés}
On dispose d'un capital de $1\,000$ euros que l'on peut placer de deux
façons différentes: 
\bgit
\item {\it à intérêts simples} au taux annuel de $10\%$. 
  Cela signifie que, chaque année, on percevra le même intérêt $I$
  égal à $10\%$ du capital de départ. 
  \vspd
\item {\it à intérêts composés} au taux annuel de $4\%$. 
  Cela signifie que, chaque année, le capital acquis augmente de $4\%$
  par rapport au capital de l'année précédente. 
\enit

\vspd
On note $s_n$ le capital acquis au bout de $n$ années avec un taux
d'intérêts simples, et $c_n$ le capital acquis au bout de $n$ années
avec un taux d'intérêts composés. 

Ainsi, $s_0=c_0=1000$ est le capital initial, $s_1$ et $c_1$ sont les
capitaux à la fin de la première année, $s_2$ et $c_2$ à la fin de la
deuxième année \ \dots

\vspd
\bgit
\item[1.] Calculer $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $c_1$, $c_2$, $c_3$. 
  \vspd
\item[2.] Calculer $s_{20}$ et $c_{20}$. 
  \vspd
\item[3.] Déterminer, au bout de 50 ans, lequel des deux placements
  est le plus avantageux. 
  \vspd
\item[4.] Au bout de combien d'années, le capital acquis
  atteindra-t-il $10\,000$ euros avec chacun de ces deux placements.
\enit

\vspq
\paragraph{Approximation de la valeur de $\pi$.}

Une des premières utilisations d'une suite de nombres est due à
Archimède (physicien, mathématicien et ingénieur grec du
$3^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ siècle avant J.C.),  
dans le but de trouver la valeur de $\pi$. 

\vsp
Son idée était la suivante: le nombre $\pi$ étant, par définition, le 
rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, il suffit
pour le déterminer de calculer cette circonférence. 

\vsp
Il proposa de procéder par étapes qui donnent autant d'approximations
successives et de plus en plus proches de la valeur exacte de $\pi$: 
\bgit
\item calculer le périmètre d'un triangle équilatéral inscrit dans un
  cercle; 
\item calculer le périmètre d'un hexagone régulier inscrit dans le
  cercle; 
\item calculer le périmètre d'un dodécagone régulier inscrit dans le
  cercle;
\item  \dots \ et ainsi de suite en doublant à chaque étape le nombre de côtés
  du polygône régulier inscrit dans le cercle. 
\enit

\vspd
Dans toute la suite on considère un cercle de rayon 1 (cercle
trigonométrique). 

\vsp
A chaque étape, pour chaque valeur de l'entier $n$
correspondant, on note $H$ le milieu de $[AB]$, 
l'angle $\alpha_n=\widehat{AOH}$, la longueur $l_n=AH$, 
et $P_n$ le périmètre du polygône régulier. 

\vspd
Comme le cercle a pour rayon $1$, la valeur approchée de $\pi$ est
alors donnée, à chaque étape, par $\dsp\pi\simeq\pi_n=\frac{P_n}{2}$. 

\vspd
Compléter les valeurs suivantes 
{\it (indication: dans chacun des cas, quelle est la nature du triangle
$AOB$, et donc du triangle $AOH$ ?). }


\hspace{-0.5cm}
\bgmp{5.1cm}
\mbox{\bf $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}$ approximation, $n=1$}
\mbox{Triangle équilatéral inscrit}
\mbox{ dans un cercle.}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
  \psline[linewidth=1pt](-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=1pt](0,-1.2)(0,1.2)
  \pscircle[linewidth=1pt](0,0){1}
  \psline(1,0)(-0.5,0.866)(-0.5,-0.866)(1,0)
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.1,0.1){$A$}
  \rput(-0.6,0.95){$B$}
  \rput(-0.6,-0.95){$C$}
\end{pspicture}
Nombre de côtés : \ \dots \vspq

$\widehat{AOB}= \ \dots\ $ \vspq

$\alpha_1= \ \dots\ $\vspq

$l_1= \ \dots\ $\vspq

$P_1= \ \dots\ $\vspq

$\pi_1= \ \dots \ $\vspq

\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{5.1cm}
\mbox{\bf $2^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ approximation, $n=2$}
\mbox{Hexagone régulier inscrit}
\mbox{ dans un cercle.}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
  \psline[linewidth=1pt](-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=1pt](0,-1.2)(0,1.2)
  \pscircle[linewidth=1pt](0,0){1}
  \psline(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)(-1,0)(-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)(1,0)
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.1,0.1){$A$}
  \rput(0.6,0.98){$B$}
\end{pspicture}
Nombre de côtés : \ \dots \vspq

$\widehat{AOB}= \ \dots\ $ \vspq

$\alpha_2= \ \dots\ $\vspq

$l_2= \ \dots\ $\vspq

$P_2= \ \dots\ $\vspq

$\pi_2= \ \dots \ $\vspq

\enmp\hspace{0.8cm}
\bgmp{5.4cm}
\mbox{\bf $3^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ approximation, $n=3$}
\mbox{Dodécagone régulier inscrit} 
\mbox{dans un cercle.}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
  \psline[linewidth=0.8pt](-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=0.8pt](0,-1.2)(0,1.2)
  \pscircle[linewidth=0.8pt](0,0){1}
%  \psline(1,0)(0.5,0.866)(-0.5,0.866)(-1,0)(-0.5,-0.866)(0.5,-0.866)(1,0)
  \psline(1,0)(.866,.5)(.5,.866)(0,1)
  \psline(0,1)(-.5,.866)(-.866,.5)(-1,0)
  \psline(-1,0)(-.866,-.5)(-.5,-.866)(0,-1)
  \psline(0,-1)(.5,-.866)(.866,-.5)(1,0)
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.1,0.1){$A$}
  \rput(0.9,0.6){$B$}
\end{pspicture}
Nombre de côtés : \ \dots \vspq

$\widehat{AOB}= \ \dots\ $ \vspq

$\alpha_3= \ \dots\ $\vspq

$l_3= \ \dots\ $\vspq

$P_3= \ \dots\ $\vspq

$\pi_3= \ \dots \ $\vspq

\enmp

\vspq
{\bf\ul{$n^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ approximation}}
Cas général d'un polygône régulier à \dots\,\dots\ côtés inscrit dans un cercle.
\vspq

$\alpha_n= \ \dots\ $ \hspace{5cm}$l_n= \ \dots\ $\vspq 

$P_n= \ \dots\ $\hspace{5cm}
$\pi_n= \ \dots \ $\vspq



Montrer que l'on obtient l'approximation de $\pi$: \ \ 
$\dsp\pi_n=\frac{1}{2}3.2^n\,\sin \alpha_n
  =\pi \frac{\sin\alpha_n}{\alpha_n}$

\vspd
\vspq
{\bf\ul{Limite de $\pi_n$ lorsque $n\to+\infty$}}

\vspd
Lorsque $n\to+\infty$, $2^n\to+\infty$, et donc, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty}\frac{2\pi}{3.2^n}=\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=0$. 


D'après l'expression de $\pi_n$, on cherche donc la limite de
l'expression $\dsp\lim_{n\to+\infty}\frac{\sin \alpha_n}{\alpha_n}$, 
ou encore d'après la remarque précédente la limite 
$\dsp\frac{\sin x}{x}$ lorsque $x\to0$. 

\vspd
Soit $f$ une fonction. 
Que représente le quotient 
$\dsp\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ ? 
et la limite 
$\dsp \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ ?


En déduire alors, en choisissant la fonction $f(x)=\sin x$, 
$\dsp\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$, 
puis $\dsp\lim_{n\to\infty}\pi_n$.

\vspq\vspd
Calculer $\pi_1$, $\pi_2$, $\pi_3$, $\pi_4$ et $\pi_5$. 



\label{LastPage}
\end{document}

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