Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Algorithmique et programmation},
pdftitle={Algorithmique et programmation},
pdfkeywords={Mathématiques, algorithmique, programmation,
optimisation,
lycée, 2nde, seconde, 1S,
première, S, 1èreS, 1ère S, terminale, terminale S,
TI, python}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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% Concernant la mise en page des algo:
\newlength{\ProgIndent}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Algorithmique et programmation}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Informatique-Programmation/Exercices/}{xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - Problèmes d'optimisation - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.4cm}
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section} -\hspace{-.6em}}
\ct{\LARGE\bf \TITLE}
\medskip
\ct{\Large\bf Optimisation discrète}
\bigskip
\section{Un algorithme général: algorithme de \dotfill}
\noindent
\bgmp{10cm}
On considère l'algorithme suivant,
dans lequel on entre successivement les valeurs
12, 56, 23, 62, 13, 58.
\medskip
Quelle valeur affiche finalement cet algorithme ?
\medskip
\`A quoi correspond cette valeur ?
\enmp
\hfill\bgmp{8cm}
\fbox{\bgmp{7.6cm}
Affecter 0 à M \\
Pour i allant de 1 à 6\\
\PI Afficher "Entrer un nombre positif"\\
\PI Lire N\\
\PI Si N$>$M \\
\DPI Affecter N a M\\
\PI Fin Si\\
Fin Pour\\
Afficher M
\enmp}
\enmp
\section{Optimisation d'une fonction économique}
\medskip
L'entreprise Motrélec fabrique et vend des moteurs.
Chaque moteur vendu contribue bien évidemment aux bénéfices de l'entreprise,
mais a aussi un co\^ut de fabrication.
La capacité maximale de production de l'entreprise est de 100 moteurs.
Ce co\^ut de fabrication est estimé, pour un nombre $x$ de moteurs,
à $C(x)=\dfrac{x^2}{5}+10x+120$.
En contrepartie, l'entreprise vend tous les moteurs qu'elle fabrique,
et à un prix unitaire de 24 euros.
\bgen
\item Déterminer le co\^ut de fabrication, puis le bénéfice,
pour 10 moteurs produits et vendus,
puis pour 30 moteurs, 50 moteurs et 60 moteurs.
\item Donner l'expression, en fonction du nombre $x$ de moteurs,
du bénéfice réalisé par l'entreprise.
\item En utilisant et adaptant l'algorithme/programme ci-dessus,
déterminer le nombre de moteurs permettant d'obtenir un bénéfice maximal ?
\item \textit{Complément mathématique théorique:}
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,
l'expression algébrique du bénéfice
peut s'écrire sous la forme
$B(x)=-\dfrac15(x-35)^2+125$.
\'Etudier alors le sens de variation de la fonction $B$
sur les intervalles $[0;35]$ puis $[35;+\infty[$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $B$
et retrouver le résultat donné par l'algorithme précédent.
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$,
l'expression algébrique du bénéfice peut s'écrire sous la forme
$B(x)=\dfrac15(-x+10)(x-60)$.
En déduire le signe de $B(x)$ et la production qui permet à
l'entreprise d'\^etre rentable.
\enen
\enen
\label{LastPage}
\end{document}
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