Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Calcul numérique approximé

IUT

Calcul numérique approximé

Examen de modélisation et simulation mathématiques, approximation numérique d'équation, intégrale, dérivée et d'une équation différentielle
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Type: Devoir
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Description
Examen de modélisation et simulation mathématiques, approximation numérique d'équation, intégrale, dérivée et d'une équation différentielle
Niveau
IUT
Table des matières
  • Programme en Scilab
  • Résolution approchée d'une équation de degré 3
  • Ajustement affine par moindres carrés
  • Approximation d'une dérivée
  • Résolution approchée d'une équation différentielle
Mots clé
calcul numérique, dichotomie, méthode de Newton, moindres carrés, approximation d'une dérivée, méthode d'Euler, EDO, équation différentielle, Scilab

Corrigé du devoir

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    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
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\usepackage{pst-all}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Evaluation - Méthodes numériques},
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}



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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{\'Evaluation: Modélisation \& simulation}
\title{\TITLE}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}


\lfoot{\href{https://xymaths.fr/IUT/Modelisation-Simulation-Methodes-numeriques.php}{Y. Morel - \ul{IUT SGM}} - 2019/2020}
\rfoot{\TITLE - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
\begin{document}

\vspace*{-2.5em}
\hspace*{-.6em}\includegraphics[scale=.6]{u.bx-img.eps}
\hfill
\includegraphics{IUT-sgm-img.eps}

%\vspace{14em}
\ct{\rule{15cm}{.5pt}}

\vspace{.4em}


\ct{\LARGE\textbf{MOD\'ELISATION ET SIMULATION}}

\vspace{1em}
\ct{\textsc{{Vendredi 24 janvier 2020 - 1h30}}} 

\ct{\textbf{{Sans documents (Formulaire en fin d'énoncé) - Calculatrice autorisée}}} 

\vspace{-.4em}

\ct{\rule{15cm}{.5pt}}


\noindent
\bgmp[t]{12cm}
\bgex 
Quelle est la valeur de la variable \texttt{u}, affichées en fin du programme Scilab ci-contre ?
\enex
\enmp\hfill
\bgmp[t]{4cm}\ \\
\fbox{\bgmp{4cm}
u=0\\
n=4\\
for i=1\!:\,n\\
\hspace*{1em}u=3*u+2\\
end\\
disp(u)
\enmp}\enmp



\bgex \textbf{Résolution approchée d'une équation de degré 3}\\
On cherche à résoudre l'équation 
$(E): 2x^3+5x-2=0$

\bgen
\item En étudiant les variations de la fonction $f$ définie par 
  $f(x)=2x^3+5x-2$ montrer que l'équation~$(E)$ admet une unique 
  solution $\alpha\in[0;1]$. 

\item En utilisant la méthode par dichotomie calculer une valeur approchée 
  de la solution $\alpha$. 

  On effectuera quatre itérations de la méthode, 
  et on précisera à chacune d'entre elle l'encadrement obtenu. 

  %On prendra finalement le milieu du dernier intervalle 
  %comme valeur approchée de $\alpha$. 

\item En utilisant la méthode de Newton, en partant de la valeur initiale 
  $x_0=0$, calculer une valeur approchée de $\alpha$. 

  On effectuera quatre itérations de la méthode, 
  en précisant à chacune d'entre elle les valeurs approchées obtenues 
  (arrondies à $10^{-4}$ près).

%\item La valeur approchée de $\alpha$ est en fait, 
%  à $10^{-4}$ près $\alpha\simeq 0,3783$. 
%
%  Comparer l'efficacité des deux méthodes. 
\enen
\enex

\bigskip
\noindent
\textbf{Exercice 2. Ajustement affine par moindres carrés}
\medskip

Les données ci-dessous sont relatives à des mesures de la limite élastique $y$ 
selon la résistance à la traction $x$, en MPa, 
d'alliages d'or destinés à des prothèses dentaires. 
\[\renewcommand{\arraystretch}{2}\begin{tabular}{|p{1cm}|c|c|c|c|}\hline
$x_i$ & 907 & 1148 & 1638 & 1678 \\\hline
$y_i$ & 617 & 724 & 1260 & 1296\\\hline
\end{tabular}\]
On donne de plus $\overline{x}=1342,75$ et 
$\overline{y}=974,25$.  


\bgen
\item Tracer sur un graphique le nuage de points $\lp x_i;y_i\rp$. 

  Graphiquement, un ajustement affine semble-t'il pertinent ? 
\item Calculer l'équation de la droite d'ajustement des moindres carrés. 
  %% y=1,05x-456,22

\item Estimer la valeur moyenne de la limite élastique pour une résistance 
  à la traction $x=1290$MPa. 
  %% y=1,05x1290-456,22=898,28
\enen

\bigskip
\noindent
\textbf{Exercice 3. Approximation d'une dérivée} 
\medskip

On cherche à approximer la dérivée en $x=1$ de la fonction 
$f$ définie par $f(x)=x^4+5$.

\bgen
\item Donner la valeur exacte de $f'(1)$. 
\item Calculer une valeur approchée de $f'(1)$ avec un schéma décentré à droite en utilisant un pas $h=0,01$, puis avec un schéma centré et le m\^eme pas. \\
  Comparer la précision de ces résultats. 
\enen

\bigskip
\noindent
\textbf{Exercice 4. Résolution approchée d'une équation différentielle} 
\medskip

\noindent 
On se propose de résoudre l’équation différentielle
$y'(t)+3y^2(t) = 0$, 
avec la condition initiale 
$y(0) = 1$.

\bgen
\item Résoudre cette équation 
  et montrer que la solution exacte s'écrit sous la forme 
  $y(x)=\dfrac{1}{1+3t}$. 

  Donner la valeur exacte $y(1)$ de cette solution en $x=1$. 

\item En utilisant le schéma d'Euler, 
  calculer numériquement $y(1)$ avec un pas $h=0,2$. 

\item Quelle est l'erreur relative obtenue 
  pour la valeur approchée de $y(1)$ ? 
\item Citer deux méthodes qui permettent de résoudre numériquement 
  cette équation avec une meilleure précision.
\enen

\ct{\rule{15cm}{.5pt}}

\vspace{.2em}


\ct{\large\textbf{FORMULAIRE}}
\vspace{-.2em}

\ct{\rule{15cm}{.5pt}}
\bigskip

\noindent
\textbf{Algorithme de Newton} \\[-2.5em]
\[x_{n+1}=x_n-\dfrac{f\lp x_n\rp}{f'\lp x_n\rp}\]

\medskip\noindent
\textbf{Ajustement affine.} 
La droite d'ajustement des moindres carrés 
a pour équation 
$y=ax+b$ avec
\[a =\dfrac{\overline{xy}-\overline{x}\,\,\overline{y}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2} \quad \text{ et } \quad b=\overline{y}-a\overline{x}\]
en notant 
$\overline{x}$ la moyenne des valeurs $x_i$, 
$\overline{y}$ la moyenne des valeurs $y_i$, 
$\overline{xy}$ la moyenne des valeurs $x_iy_i$, et  
$\overline{x^2}$ la moyenne des valeurs $x_i^2$. 



\medskip\noindent
\textbf{Schéma décentré à droite}, avec un pas $h$: \quad
$f'(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

\medskip\noindent
\textbf{Schéma centré}, avec un pas $h$: \quad 
$f'(a)\simeq\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$

\medskip\noindent
\textbf{Méthode d'Euler.}
On considère l'équation différentielle du premier ordre:  
$y'(x)=\varphi\lp x,y(x)\rp$. 

Le schéma d'Euler s'écrit: \[y_{i+1}=y_i+h\varphi\lp x_i,y_i\rp\]




\label{LastPage}
\end{document}

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