Calculs numériques approchés

Éléments de correction du cours

Exercice 1:

On considère la fonction

définie par

$f(x)=\dfrac{\lp1+10^{-2x}\rp-1}{10^{-2x}}$

Les parenthèses n'ont en fait pas d'intérêt calculatoire et on a simplement

$f(x)=\dfrac{1+10^{-2x}-1}{10^{-2x}} =\dfrac{10^{-2x}}{10^{-2x}}=1$

Ainsi est une fonction constante, égale à 1.
Numériquement (c'est-à-dire en effectuant les calculs avec un outil numérique) on s'aperçoit que effectivement pour des petites valeurs de mais que pour des valeurs plus grandes de .

$\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-.5,-.3)(8.1,1.7) \psline{->}(-.3,0)(8,0) \psline{->}(0,-.1)(0,1.6) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=14]{0}{7.5}{1 10 -2 x mul exp add -1 add 10 -2 x mul exp div} \multido{\i=0+1}{8}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.2){\i}} \psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.3,1){1} \end{pspicture}$
Tout d'abord, le calculateur numérique respecte l'ordre des calculs et les priorités des opérations et commence en particulier par le calcul entre parenthèses. De plus, tout outil numérique a une capacité, de mémoire notamment, limitée. Si celui calcule avec des nombres à 10 chiffres (par exemple), alors pour , on a

$1+10^{-2x}=1+10^{-8}=1,000\,000\,01$

et donc

$f(x)=\dfrac{1,00000001-1}{0,000\,000\,01}=1$

par contre, pour , et toujours en se limitant à 10 chiffres: la valeurs exactes est arrondie pour s'écrire avec seulement 10 chiffres, soit

$1+10^{-2x}=1+10^{-10}=1,000\,000\,000$

et donc

$f(x)=\dfrac{1,000\,000\,000-1}{10^{-10}}=0$

Avec cette fonctions, on peut en fait trouver le nombres de chiffres utilisés par le calculateur numérique qu'on utilise.

Exercice 2:

Résoudre l'équation

avec

$P(x)=x^2-1634x+2$

avec 10 chiffres significatifs.

On calcule le discriminant $\Delta=1634^2-4\tm1\tm2=2\,669\,948>0$ et les deux solutions

$x_1=\dfrac{1634-\sqrt{2\,669\,948}}2\simeq0,0012$

et

$x_2=\dfrac{1634+\sqrt{2\,669\,948}}2\simeq1633,9988$
$P\lp x_1\rp\simeq0,04$ et $P\lp x_2\rp\simeq0,04$ .
On devrait bien sûr trouver exactement 0 à ces deux derniers calculs.
En utilisant cette relation entre les racines on trouve que $P\lp x_1\rp$ et $P\lp x_2\rp$ sont plus proches de 0: on a augmenté la précision.
Le calcul de fait intervenir une soustraction de deux nombres proches, et ainsi un bon nombre de chiffres significatifs s'annulent:
on y perd donc des chiffres significatifs et le résultat final y perd nettement en précision.

Exercice 3:

Les solutions des systèmes linéaires sont directement dans le cours.
La notion fondamentale ici est celle de conditionnement qui permet de caractériser une certaine forme d'instabilité des résultats par rapport aux données du problèmes: une faible erreur, ou une faible variation, dans les données du problème entrâine une variation importante entre les solutions.

Ce conditionnement est l'objet de la suite.

Exercice 4:

$\arrayrulecolor{white} \setlength\doublerulesep{1.5pt} \renewcommand{\arraystretch}{2.4} \begin{tabular}{*4{c||}}\hline \rowcolor{blue!60} \cellcolor{white} & $\lp\sqrt2-1\rp^6$ & $\lp3-2\sqrt2\rp^3$ & $99-70\sqrt2$ \\\hline\hline \rowcolor{blue!40}$\sqrt2\simeq\dfrac75$ &0,004&0,008&1 \\\hline\hline \rowcolor{blue!20}$\sqrt2\simeq\dfrac{17}{12}$ &0,005&0,0046&-0,166 \\\hline \end{tabular}$

Toutes les cases contiennent une valeur approchée: $A\simeq 0,005$ !!

Attention aux puissances (produits répétés): propagation et amplification des erreurs d'arrondi

Voir aussi: