Calculs numériques approchés
Éléments de correction
du cours 
Exercice 1:
On considère la fonction
![\[f(x)=\dfrac{\lp1+10^{-2x}\rp-1}{10^{-2x}}\]](fich-IMG/2.png)
- Les parenthèses n'ont en fait pas d'intérêt calculatoire et on a simplement
Ainsiest une fonction constante, égale à 1.
- Numériquement (c'est-à-dire en effectuant les calculs avec un outil numérique) on s'aperçoit que
effectivement pour des petites valeurs de
mais que
pour des valeurs plus grandes de
.
- Tout d'abord, le calculateur numérique respecte l'ordre des calculs et les priorités des opérations et commence en particulier par le calcul entre parenthèses.
De plus, tout outil numérique a une capacité, de mémoire notamment, limitée.
Si celui calcule avec des nombres à 10 chiffres (par exemple), alors
pour
, on a
et donc
par contre, pour, et toujours en se limitant à 10 chiffres: la valeurs exactes est arrondie pour s'écrire avec seulement 10 chiffres, soit
et donc
Avec cette fonctions, on peut en fait trouver le nombres de chiffres utilisés par le calculateur numérique qu'on utilise.
Exercice 2:
Résoudre l'équation
![\[P(x)=x^2-1634x+2\]](fich-IMG/17.png)
avec 10 chiffres significatifs.
- On calcule le discriminant
et les deux solutions
et
-
et
.
On devrait bien sûr trouver exactement 0 à ces deux derniers calculs.
- En utilisant cette relation entre les racines on trouve
que
et
sont plus proches de 0: on a augmenté la précision.
- Le calcul de
fait intervenir une soustraction de deux nombres proches, et ainsi un bon nombre de chiffres significatifs s'annulent:
on y perd donc des chiffres significatifs et le résultat final y perd nettement en précision.
Exercice 3:
Les solutions des systèmes linéaires sont directement dans le cours.La notion fondamentale ici est celle de conditionnement qui permet de caractériser une certaine forme d'instabilité des résultats par rapport aux données du problèmes: une faible erreur, ou une faible variation, dans les données du problème entrâine une variation importante entre les solutions.
Ce conditionnement est l'objet de la suite.
Exercice 4:
![\[\arrayrulecolor{white}
\setlength\doublerulesep{1.5pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2.4}
\begin{tabular}{*4{c||}}\hline
\rowcolor{blue!60} \cellcolor{white}
& $\lp\sqrt2-1\rp^6$ & $\lp3-2\sqrt2\rp^3$ & $99-70\sqrt2$ \\\hline\hline
\rowcolor{blue!40}$\sqrt2\simeq\dfrac75$
&0,004&0,008&1 \\\hline\hline
\rowcolor{blue!20}$\sqrt2\simeq\dfrac{17}{12}$
&0,005&0,0046&-0,166 \\\hline
\end{tabular}\]](fich-IMG/26.png)
Toutes les cases contiennent une valeur approchée:

Attention aux puissances (produits répétés): propagation et amplification des erreurs d'arrondi
Voir aussi: