Étude d'une fonction
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Donner le sens de variation de la fonction
.
Tracer l'allure de sa courbe représentative.
![$f:x\mapsto (x+2)e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2/1.png)
Tracer l'allure de sa courbe représentative.
Correction
est définie sur
, et
,
donc
, avec
, et donc
.
On obtient donc
On trouve donc le sens de variation de
:
![\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline
$x+1$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
$e^{-x}$ && $+$ &$|$&$+$& \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
&&&$e$&&\\
$f$&&{\large$\nearrow$}&&{\large$\searrow$}&\\
&$-\infty$&&&&0\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/9.png)
![\[\begin{pspicture}(-3,-3)(5.4,3.4)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-3,0)(5.4,0)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-3)(0,3.3)
\psline(-2,.1)(-2,-.1)\rput(-1.8,.2){$-2$}
\psline(1,.1)(1,-.1)\rput(1,-.3){$1$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.25){$1$}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.3}{5}{x 2 add 2.718 -1 x mul exp mul}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/10.png)
Correction
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/2.png)
![$f=uv$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/3.png)
![$f'=u'v+uv'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/4.png)
![$v(x)=e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/5.png)
![$v'(x)=-e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/6.png)
On obtient donc
![$f'(x)=1e^{-x}+(x+2)\left( -e^{-x}\right)
=-(x+1)e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/7.png)
On trouve donc le sens de variation de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/8.png)
![\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline
$x+1$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
$e^{-x}$ && $+$ &$|$&$+$& \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
&&&$e$&&\\
$f$&&{\large$\nearrow$}&&{\large$\searrow$}&\\
&$-\infty$&&&&0\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/9.png)
![\[\begin{pspicture}(-3,-3)(5.4,3.4)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-3,0)(5.4,0)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-3)(0,3.3)
\psline(-2,.1)(-2,-.1)\rput(-1.8,.2){$-2$}
\psline(1,.1)(1,-.1)\rput(1,-.3){$1$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.25){$1$}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.3}{5}{x 2 add 2.718 -1 x mul exp mul}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex2_c/10.png)
Tag:Dérivée
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