"Astroïde" trigonométrique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Courbes paramétréesCourbes paramétrées
Énoncé du sujet
Étudier et tracer la courbe 
d'équations paramétriques
![\[\la\begin{array}{ll}
x(t)=\cos^3t \\
y(t)=\sin^3t
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2/2.png)
d'équations paramétriques
Correction
et 
sont 
-périodiques,
on peut donc restreindre le domaine d'étude à ![$[-\pi,\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/4.png)
.
On remarque ensuite que 
et 
.
On peut donc restreindre le domaine d'étude à ![$[0,\pi]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/7.png)
, on déduira le
reste de la courbe par une symétrie d'axe 
.
De plus 
et 
.
On peut à nouveau réduire l'intervalle d'étude à ![$[0,\pi/2]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/11.png)
,
puis faire une symétrie d'axe 
.
Enfin, on a 
et 
. On peut donc encore réduire l'intervalle d'étude à ![$[0,\pi/4]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/15.png)
, puis faire une symétrie par rapport
à la première bissectrice du repère.
Étudions maintenant les fonctions
et 
sur l'intervalle ![$[0,\pi/4]$](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/18.png)
.
Elles y sont dérivables, de dérivée
![\[x'(t)=-3\cos^2 t \sin t\textrm{ et }y'(t)=3\sin^2 t \cos t.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/19.png)
Ceci permet de dresser le tableau suivant :
![\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$t$ & 0 && $\frac\pi4$ \\\hline
$x'(t)$ & 0 & $-$ & \\\hline
&1&&\\
x&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\\hline
&&&$\frac{\sqrt2}{4}$\\
y&&\Large{$\nearrow$}&\\
&0&&\\\hline
$y'(t)$ & 0 & $+$ & \\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/20.png)
Le point correspondant à
, de coordonnée 
,
est donc un point stationnaire.
On détermine la tangente en ce point en étudiant la limite de
lorsque 
tend vers 0:
![\[\frac{y'(t)}{x'(t)}=\tan t\to 0.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/25.png)
En
, la courbe admet donc une tangente horizontale.
On peut vérifier à l'aide de développements limités que 
est
un point de rebroussement de première espèce pour la courbe.
On obtient finalement le tracé suivant :
![\[\psset{xunit=4cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\rput(0.05,-0.1){$0$}
\parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{6.28}{
t 180 mul 3.14 div cos 3 exp
t 180 mul 3.14 div sin 3 exp
}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/courbesparam/ex2_c/28.png)
Correction
Les fonctions et sont -périodiques,
on peut donc restreindre le domaine d'étude à .
On remarque ensuite que et .
On peut donc restreindre le domaine d'étude à , on déduira le
reste de la courbe par une symétrie d'axe .
De plus et .
On peut à nouveau réduire l'intervalle d'étude à ,
puis faire une symétrie d'axe .
Enfin, on a et . On peut donc encore réduire l'intervalle d'étude à , puis faire une symétrie par rapport
à la première bissectrice du repère.
Étudions maintenant les fonctions
et sur l'intervalle .
Elles y sont dérivables, de dérivée
Ceci permet de dresser le tableau suivant :
Le point correspondant à
, de coordonnée ,
est donc un point stationnaire.
On détermine la tangente en ce point en étudiant la limite de
lorsque tend vers 0:
En
, la courbe admet donc une tangente horizontale.
On peut vérifier à l'aide de développements limités que est
un point de rebroussement de première espèce pour la courbe.
On obtient finalement le tracé suivant :
Tag:Courbes paramétrées
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